razdel3UMK
.pdfy
y = log2 (− x) |
1 |
|
y = log2 x |
|
|
|
|
|
|
–1 |
0 |
1 |
|
x |
|
|
|
|
|
Решение. Строим график функции y = log2 x и отображаем его симметрично относительно оси 0Y .
2.3.6. Построение графика y = −f (x)
Ординаты графиков функций y = f (x) и y = −f (x) в некоторой точке x0 отличаются друг от друга только знаком.
Следовательно, для построения графика функции y = −f (x) необходимо график функции y = f (x) отобразить симметрично относительно оси 0X .
x
ПРИМЕР 2.17. Построить график функции y = − 12 .
x
Решение. Строим график y = 12
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
||
|
|
|
|
|
|
y = |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
2 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
||
|
|
-1 |
|
|
|
1 |
||||
|
|
|
|
|
|
y = − |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Отображая график симметрично относительно оси 0x , получаем график
y= − 1 x .
2
61
2.3.7. Построение графика y = f ( x )
Если x ≥ 0 , то x = x и f ( x )= f (x), при x < 0 x = −x и f ( x )= f (− x), т.е. при положительных значениях x график не изменяется, а
при отрицательных происходит симметричное отображение относительно оси 0y (справа от оси 0y график сохраняется, при этом левая часть графика отно-
сительно 0y стирается, а затем производится симметрия относительно оси ор-
динат).
ПРИМЕР 2.18. Построить график функции y = arccos x
y |
y |
||||
|
|
π |
|
|
π |
|
|
|
|||
|
|
π 2 |
|
|
π 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|||||
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
–1 |
|
|
|
1 |
|
–1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
||||||||||||||||
|
y = arccos x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
y = arccos |
|
x |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2.3.8. Построение графика функции y = |
|
|
f (x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
Если f (x)≥ 0 , то графики функций y = f (x) и y = |
|
|
f (x) |
|
совпадают , |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
при f (x)< 0 |
|
f (x) |
|
= −f (x). |
|
f (x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
Поэтому, для построения графика y = |
|
|
часть графика, расположен- |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
ная выше оси 0x не изменяется, нижняя же ее часть отображается симметрично относительно оси 0x , т.е. весь график будет располагаться в верхней полуплоскости.
62
ПРИМЕР 2.19. Построить график функции y = tg x .
Решение. Строим график функции y = tg x . Отображаем нижнюю полуплоскость на верхнюю симметрично относительно оси Ox .
|
|
|
|
|
y |
y = tg x |
|
|
|
|
|
|
y |
y = |
|
tg x |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−π |
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−π |
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
||||
|
|
π |
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
x |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
0 |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2.3.9. Порядок действий при построении графика y = f (x + a + b)
Необходимо помнить, что порядок преобразования графиков имеет существенную роль.
Для построения графика y = f (x + a + b)
1)построить график функции y = f (x);
2)в зависимости от знака числа b сдвинуть график y = f (x) влево или вправо на b единиц (п.2.3.3);
3)отобразить полученный график симметрично относительно оси Oy
(п.2.3.7);
4)в зависимости от знака числа а сдвинуть его вправо или влево на a
единиц (п.2.3.3).
ПРИМЕР 2.20. Построить график функции y = log2 ( x + 2 +1).
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
||||||
|
|
|
|
|
y = log2 x |
|
|
y = log2 (x +1) |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
-1 |
|
0 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
-1 |
|
0 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
63
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
y |
|
||||||||||
y = log2 ( |
|
x |
|
+1) |
|
y |
= log2 ( |
|
x + 2 |
|
+1) |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
-1 |
|
0 |
|
1 |
|
|
|
|
-1 |
|
|
|
0 |
|
1 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ПРИМЕР 2.21. Построить график функции y = 2 x−3 −1. Решение.
y |
|
|
y |
|
|
|
|
|
y = 2x |
|
|
y = 2x−1 |
|
|
|
|
|
|
||
1 |
|
x |
1 |
|
x |
|
-1 0 |
1 |
-1 0 |
1 |
|||
|
|
y |
|
|
y |
y = 2 x−3 −1 |
|
|
|
|
y = 2 x −1 |
|
|
||
|
|
|
|
|
||
1 |
|
x |
1 |
|
x |
|
-1 0 |
1 |
-1 0 |
1 |
|||
|
|
2.3.10. Порядок действий при построении графика функции y = m f (k x −c)+ b
|
|
c |
|
|
Преобразуем функцию к виду y = m f k x − |
|
|
+ b; |
|
|
||||
|
|
k |
|
y = m f [k (x −a)]+b, где a = kc .
64
Для построения графика необходимо
1)построить график функции y = f (x);
2)произвести сжатие или растяжение вдоль оси 0x - построить график функции y = f (k x) (п.2.3.1);
3)произвести сжатие или растяжение вдоль оси 0y - построить график
функции y = m f (k x) |
(п.2.3.2); |
|
4) |
произвести сдвиг вдоль оси 0x - построить график y = m f (k (x − a)) |
|
(п.2.3.3); |
|
|
5) |
произвести |
сдвиг вдоль оси 0y - построить график |
y = m f (k (x − a))+ b (п.2.3.4).
Замечание: 1) п.п. 2 и 3 можно поменять местами;
2)п.п.4 и 5 можно поменять местами;
3)сдвиги п.п.4 и 5 можно заменить смещением осей координат.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 x + |
π |
+ 2. |
|
ПРИМЕР 2.22. Построить график функции y = −sin |
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
+ 2 . |
|
||||||
Решение. Запишем функцию в виде y = −sin 2 |
x + |
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|||||
1) y = sin x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
− π |
π |
|
1 |
|
|
|
|
π |
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
π |
|
|
|
2 π |
|
|
||||
|
|
− |
3π |
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
−1 |
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2) y = sin 2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
y = sin 2x |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− π |
− |
π |
0 |
π |
|
π |
|
|
|
|
x |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
-1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
65
3) y = −sin 2x
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
y = −sin 2x |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− π − |
π |
|
|
0 |
π |
|
π |
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
-1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4) y = −sin |
2 x + |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
y = −sin |
2 x + |
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
−π |
− |
π |
|
6 |
0 |
π |
π |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
-1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5) |
|
|
|
|
π |
+ 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y = −sin |
2 x + |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
+ 2 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= −sin |
2 x + |
6 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−π |
− |
π |
− |
π |
0 |
π |
π |
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
6 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
66
2.4. ПОСТРОЕНИЕ КРИВОЙ, ЗАДАННОЙ В ПОЛЯРНОЙ СИСТЕМЕ КООРДИНАТ
2.4.1. Полярная система координат.
Полярная система координат определяется заданием начальной точки O - полюса и луча Oρ, исходящего из полюса. Тогда любая точка M на плоскости
определяется двумя величинами: расстоянием ρ = OM , (ρ ≥ 0) и углом ϕ,
который образует вектор OM
π
6
M1
O 1
с осью Oρ - M(ρ; ϕ). |
|
|
|
Например, |
M1 |
|
π |
2; |
отмечается на |
||
|
|
|
6 |
луче, который образует с осью Oρ угол
π6 , на расстоянии 2 от точки O .
Если совместить полярную и декартовую системы координат так, чтобы Oρ
ρсовпадала с положительной полуосью Ox , то получим формулы, связывающие декартовые и полярные координаты:
x= ρcos ϕ; y = ρsin ϕ.
2.4.2.Построение кривой.
Кривая определяется заданием формулы, связывающей угол ϕ с ρ, т.е.
ρ = ρ(ϕ). Необходимо определить при каких значениях ϕ значение ρ ≥ 0 . Затем придавая полярному углу ϕ возможные различные значения, вычислить соответствующие значения ρ и составить таблицу зависимости ϕ и ρ
ϕ
ρ
Откладывая от полярной оси заданные значения ϕ, на лучах отмерять соответствующее расстояние ρ. Соединить полученные точки плавной линией.
ПРИМЕР 2.23. Построить кривую ρ = cos 2ϕ в полярной системе координат.
67
|
Решение. cos 2ϕ ≥ 0; |
|
|
− |
|
π |
+ 2πn ≤ 2ϕ ≤ π + 2πn ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− π |
+ πn ≤ ϕ ≤ |
π + πn , |
n Z. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
n = 0 : − π |
|
≤ ϕ ≤ |
π |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
n =1: |
3π |
≤ ϕ ≤ |
5π |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
4 |
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
n = 2 : |
− π |
+ 2π ≤ ϕ ≤ |
π |
+ 2π - эта часть плоскости совпадает с частью |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
плоскости при n = 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
Итак, кривая располагается между лучами ϕ = − π |
и |
ϕ = |
π |
, а также ме- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
жду лучами ϕ = |
3π |
и ϕ = |
5π |
. Построим таблицу соответствия ϕ и ρ. |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
ϕ |
|
− π |
|
− π |
|
0 |
|
|
|
|
|
π |
|
π |
|
|
3π |
|
|
5π |
|
|
|
π |
|
|
|
7π |
|
|
5π |
|
|||||||||||
|
|
|
|
6 |
|
4 |
|
4 |
|
6 |
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
4 |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
4 |
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
ρ |
|
0 |
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
0 |
|
0 |
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
0 |
|
|||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
Отметим полученные точки на плоскости |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
5π |
|
|
3π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
O |
1 |
ρ |
7π |
|
|
− |
π |
5π |
− |
π |
6 |
|
6 |
|
|||
|
4 |
|
4 |
|
|
|
|
|
68
Данная кривая называется лемнискатой Бернулли.
2.5.ПОСТРОЕНИЕ КРИВОЙ, ЗАДАННОЙ
ВПАРАМЕТРИЧЕСКОМ ВИДЕ
Кривая задана в параметрическом виде, если задана система двух функ-
x = x(t),
ций ( ) Связь между переменными x и y осуществляется через проме-
y = y t .
жуточную переменную t , которая называется параметром.
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x = |
|
|
, |
|
1 |
|
|
1 |
|
4 |
|
|
t |
Тогда t = |
|
y = |
+ |
|
|||||
Например, |
|
|
|
; |
|
|
- функция задана в яв- |
||||
|
|
x |
x 2 |
x |
|||||||
|
|
|
2 |
+ 4t. |
|
|
|
|
|||
y = t |
|
|
|
|
|
|
|
|
ном виде.
Однако, не всегда есть возможность выразить переменную y через переменную x , или наоборот, поэтому переходить к явному заданию функции не целесообразно.
Построение кривой, заданной в параметрическом виде, начинается с ана-
лиза:
1)при каких t определена функция;
2)множество значений x (если возможно);
3)множество значений y (если возможно);
4)точки пересечения с осями координат
а) Oy : x = 0 - найти параметр t , а затем соответствующее значениеy ; б) Ox : y = 0 - найти параметр t , а затем соответствующее значениеx .
5) характер изменения x и y при t → ∞.
Далее составляется таблица значений t, x, y причем, желательно параметру t придавать возрастающие значения.
t |
t1 |
t 2 |
t3 |
… |
t n |
x |
x1 |
x 2 |
x3 |
… |
xn |
y |
y1 |
y2 |
y3 |
… |
yn |
|
M1 |
M2 |
M3 |
… |
Mn |
69
В декартовой системе координат нанести точки M1 (x1; y1 ), M2 (x 2 ; y2 ), … ,
Mn (x n ; yn ), которые соединить последовательно плавной линией.
ПРИМЕР |
2.24. Построить кривую, заданную в параметрическом виде |
||||
x = t 2 +1 |
|
||||
|
1 |
|
. |
||
|
|
||||
y = |
|
|
|
−1 |
|
|
t |
|
|||
|
|
|
|
Решение. Проведем анализ по пунктам:
1)t ≠ 0 , т.е. x =1 является точкой разрыва;
2)x >1;
3)y R ;
4)а) x ≠ 0 для любого t , следовательно, с осью Oy кривая не пересекается;
б) y = 0 , тогда t =1 и x = 2 . Итак, точка пересечения с осью Ox A(2;0);
5)если t → ∞, то x → +∞, а y → −1;
6)если t → 0 + 0 , то x →1, y → +∞;
если t → 0 − 0, то x →1, y → −∞. Составим таблицу соответствия
t |
− 3 |
− 2 |
−1 |
− |
1 |
|
|
1 |
|
1 |
2 |
|
3 |
|
||||||
|
|
|
2 |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
x |
10 |
|
5 |
2 |
|
5 |
|
|
|
5 |
|
2 |
5 |
|
10 |
|
||||
|
4 |
|
|
4 |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
y |
− |
4 |
|
−1,5 |
− 2 |
− 3 |
|
1 |
|
0 |
− |
1 |
|
− |
2 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
3 |
|
Построим график
y
2
1
-1 |
0 |
1 |
4 |
6 |
8 |
10 |
x |
-2 -3
70