razdel3UMK
.pdf
|
|
|
2.2.4. Синусоида – график функции y = sin x |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
График |
|
проходит |
|
|
через |
|
точки |
|
π |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
(πn;0); |
+ 2 πn, 1 ; |
|||||||||||||||
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
− |
+ 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
2 |
πn, −1 ; (n Z). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
− π |
π |
1 |
|
|
|
π |
|
π |
|
|
|
|
2 π x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
π |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
− |
3π |
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
−1 2 |
2 |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2.2.5. Косинусоида – график функции y = cos x
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
0 π |
|
π |
|
|
3π 2 π |
x |
||||
|
3 |
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|||||||||||||||||
− |
|
|
− π |
− |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
+ πn;0 |
|
Характерные точки графика (2 πn;1); (π + 2 πn;−1); |
2 |
, |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где n Z .
51
2.2.6. Тангенсоида – график функции y = tg x
y
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− π |
|
π |
|
π |
π |
|
|
|
|
|
3π |
|
|
|
|
3π |
|
|||||
− |
− |
–1 |
0 |
|
x |
|||||||
2 |
2 |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
2 |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
2 |
|
Точки разрыва x = |
π |
+ πn . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
π |
|
|
|
π |
|
||
Характерные точки: (πn;0) |
− |
|||||||||
; |
4 |
+ πn;1 |
; |
4 |
+ πn; −1 , где n Z . |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2.2.7. Котангенсоида – график функции y = ctg x .
y
− π |
− |
π |
0 |
π |
π 3π |
2 π |
x |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|||
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Точки |
разрыва: x = πn . |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
π |
|
π |
|
|
− |
π |
|
||
Характерные точки: |
+ πn;0 |
; |
4 |
+ πn;1 |
; |
4 |
+ πn; −1 , где n Z . |
|||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
52
2.2.8. График y = arcsin x |
|
|
2.2. 9. График y = arccos x |
||||||
π |
y |
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
– 1 |
1 |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
− π |
|
|
|
|
|
– 1 |
1 |
x |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2.2.10. График y = arctg x . |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
π 2 |
|
|
|
||
|
|
|
|
– 1 |
|
1 |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
− π 2 |
|
|
|
Прямые y = π |
и y = − |
π являются асимптотами. |
|
|
|||||
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
−1; |
− |
π |
|
|
|
Характерные точки (0;0); 1; |
; |
|
. |
|
|
|
|||
|
|
4 |
|
|
|
4 |
|
|
|
2.2.11. График y = arcctg x . |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− π 2 |
|
|
|
|
|
|
|
– 1 |
|
1 |
x |
|
|
Прямые y = 0 и y = π являются асимптотами. |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
53 |
|
|
|
|
|
π |
|
π |
|
−1; |
3π |
||
Характерные точки 0; |
; |
1; |
; |
|
|
. |
||
4 |
||||||||
|
2 |
|
4 |
|
|
|
|
|
ex − e−x |
|
2.2.12. Гиперболический синус y = sh x |
sh x = |
|
|
|
|||
|
|
2 |
|
|
|
|
y
0 x
График проходит через начало координат.
|
|
ex + e−x |
|
2.2.13. Гиперболический косинус y = ch x |
ch x = |
|
|
|
|||
|
|
2 |
|
|
|
|
y
1 |
|
|
|
x |
|
|
||
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|||
0 1 |
|
|
||||||
График проходит через |
|
|
|
|
|
|
|
|
точку (0; 1). |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
sh x |
||
2.2.14. Гиперболический тангенс y = th x |
|
|
|
|||||
|
||||||||
th x = |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
ch x |
y |
|
|
1 |
|
|
0 |
1 |
x |
–1 |
|
|
54
Прямые y = −1 и y =1 являются асимптотами графика. График проходит через начало координат.
|
|
ch x |
|
2.2.15. Гиперболический котангенс y = cth x |
|
|
|
|
|||
cth x = |
|
|
|
|
|
sh x |
|
y |
|
|
1 |
|
|
0 |
x |
|
–1 |
|
Прямые y =1, y = −1 и |
x = 0 являются асимптотами. |
2.3. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ГРАФИКОВ 2.3.1. Построение графика y = f (k x), k ≠ 1, k > 0 .
Если k >1, то график сжимается в k раз вдоль оси 0X .
Если 0 < k <1, то абсциссы всех точек графика увеличиваются в k1 раз
(график растягивается).
ПРИМЕР 2.7. Построить график функции y = cos 2 x .
Решение. График получается из графика y = cos x путем сжатия в 2 раза
вдоль оси |
0X |
|
|
π |
|
|
перейдет в |
точку |
π |
|
π |
|
|
||||||||
. Точка |
;0 |
|
|
;0 ; (π; |
−1) → |
;−1 ; |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
2 |
|
|
||
(2 π;1)→(π;1) и т.д. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
y = cos 2x |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
y = cos x |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
0 π |
|
π |
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
− π |
− |
|
|
|
|
|
|
3π 2 π |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
55
ПРИМЕР 2.8. Построить график функции y = sin |
x |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
Решение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
y = sin |
x |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
y = sin x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
−3π |
|
|
|
|
− π 2 |
|
|
|
0 π |
|
2 π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
2 − π |
|
|
|
|
|
|
3π 2 |
2 π |
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Гра |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|||||||
фик растягиваем вдоль оси 0X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(π;1); |
|||||||||||||||||
в 2 раза. Точка |
2 |
;1 перейдет в точку |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
− |
π |
; − |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
точки (π;0)→ (2 π;0); |
2 |
1 → (− π; −1). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
2.3.2. Построение графика y = m f (x), m ≠ 1, m > 0 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
Если m >1, то все ординаты увеличиваются в m раз, |
т.е. график растя- |
|||||||||||||||||||||||||||||||
гивается вдоль оси 0Y в m раз. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
Если 0 < m <1, то ординаты всех точек графика уменьшаются в |
1 |
|
|
раз, |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
m
график сжимается.
ПРИМЕР 2.9. Построить график функции y = 2 cos x . Решение.
y 2
y = 2cos x
1 |
y = cos x |
− |
3π |
− π |
− |
π |
0 |
2 |
|
2 |
–1 |
||
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
–2 |
π |
π |
3π 2 π |
x |
2 |
|
2 |
|
m = 2 : график растягивается в 2 раза вдоль оси 0Y .
56
|
|
|
Точка (0;1) графика y =cos x переходит в (0; 2); точки (π;−1)→ (π;−2); |
||||||||||||||||
|
− |
π |
;0 |
|
|
− |
π |
;0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
→ |
2 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y = arccos x |
y |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y = |
1 |
arccos x |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
1 x |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
–1 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ПРИМЕР 2.10. Построить график функции y = |
1 |
arccos x . |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение. Построим график функции |
y = arccos x |
и сожмем его вдоль |
|||||||||||||||||
оси Oy в 2 раза. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Точка |
|
(−1; π) |
перейдет в точку |
|
|
−1; |
π |
|
|
|
|
0; |
π |
|
π |
||||||||
|
|
|
; точки |
|
|
2 |
|
→ 0; |
; |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
1 |
|
π |
|
1 |
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
; |
3 |
|
→ |
|
; |
6 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
2.3.3. Построение графика y = f (x −a) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
Если a > 0 , то график сдвигается без изменения вправо на a |
единиц, ес- |
||||||||||||||||||
ли a < 0, то сдвиг производят влево на |
|
a |
|
единиц. |
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
ПРИМЕР 2.11. Построить график функции y = tg x + |
4 |
. |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение. Запишем формулу в виде |
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
y = tg x − − |
. Строим y = tg x |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
и сдвигаем его вдоль оси 0X влево на |
π единиц, так как |
a = − |
π. |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
57
|
π |
y |
y = tg x + |
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
1 |
− |
3π |
− π |
− |
π |
–1 |
2 |
|
2 |
π |
π |
3π |
x |
2 |
|
2 |
|
y = tg x
−
|
Точка |
(0;0) |
|
− |
π |
;0 |
|
π |
|
→ (0;1); |
||||
|
переходит в точку |
4 |
; точки |
|
;1 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
π |
|
|
|
− |
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
;−1 |
→ |
2 |
;−1 . |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ПРИМЕР 2.12. Построить график функции y = arcsin(x −1).
y
π2
|
|
|
1 |
x |
|
|
0 |
||
–1 |
||||
|
|
|
y = arcsin(x −1) |
|
|
|
|
y = arcsin x − π2
Решение. Строим график функции y = arcsin x и параллельным переносом сдвигаем его вправо без изменения на 1 единицу.
2.3.4. Построение графика y = f (x)+b
Если b > 0 , то график сдвигается на b единиц вверх, если b < 0 − на b единиц вниз.
58
ПРИМЕР 2.13. Построить график функции y = x 2 +1.
Решение. Построим график y = x 2 .
y
y = x 2 +1
1 |
|
y = x 2 |
–1 |
0 1 |
x |
График y = x 2 +1 получается путем параллельного переноса на 1 единицу вверх (b =1 > 0).
ПРИМЕР 2.14. Построить график функции y = x −1.
|
|
y |
y = |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
1 |
|
|
y = |
|
x −1 |
|
|
– 1 |
0 |
1 |
2 |
3 |
x |
|
|
|
|
– 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Решение. Строим график y = |
x и смещаем его на 1 единицу вниз, тогда |
ординаты всех точек графика уменьшаются на 1 единицу.
Замечание. В п.п. 2.3.3 и 2.3.4 сдвиг графика по осям можно заменить переносом координатных осей. Т.е. для построения графика y = f (x − a)+ b не-
обходимо найти новое начало координат (a; b) и провести новые оси, параллельно исходным.
ПРИМЕР 2.15. Построить график функции y = 2x−1 −3. Решение. I способ (с помощью переноса графика)
Строим график y = 2x , смещаем его по оси 0X на 1 единицу вправо – получаем график функции y = 2x , затем спускаем полученный график на 3 единицы вниз.
59
y |
y = 2x |
y |
y = 2x−1 |
|
y |
|
|
|
|
y = 2x−1 −3 |
|||
1 |
|
1 |
|
|
1 |
|
-1 0 1 |
x |
-1 0 1 |
x |
-1 |
0 1 |
x |
|
|
|
II способ.
На координатной плоскости xOy через точку (1; −3) проводим пунктир-
ной линией вспомогательные оси |
′ ′ |
|
′ |
′ |
, в которых строим график |
||||||
O x |
и O y |
|
|||||||||
y′ = 2x′ . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
y |
y′ |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
y = 2x−1 −3 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
-1 |
|
0 |
|
1 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
0’ x′
В плоскости xOy этот график будет совпадать с графиком функции y = 2x−1 −3.
2.3.5. Построение графика y = f (− x)
Заметим, что ордината графика y = f (− x) в некоторой точке x0 равно ординате графика функции y = f (x) в точке − x0 .
Следовательно, для построения графика функции y = f (− x)надо график y = f (x) отобразить симметрично относительно оси 0Y .
ПРИМЕР 2.16. Построить график функции y = log2 (− x).
60