razdel3UMK
.pdf
|
|
Доказательство. |
Пусть |
lim f (x)= A . |
|
|
|
Тогда |
ε > 0 δ > 0, |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→x0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
x : |
|
x − x0 |
|
< δ, x ≠ x0 |
|
|
f (x)− A |
|
< ε |
|
(f (x)− A)−0 |
|
< ε, это |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
означает, |
что функция f |
(x)− A имеет предел, равный нулю, то есть яв- |
||||||||||||||||||||||||||||||
ляется б.м.ф., |
которую |
|
обозначим |
|
через |
|
|
|
α(x):f (x)− A = α(x) |
|||||||||||||||||||||||||
f (x)= A + α(x). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
Пусть теперь f (x)= A + α(x), где α(x)− б.м.ф. при x → x0 , то есть |
||||||||||||||||||||||||||||||||
ε > 0 δ > 0, x : |
|
x − x0 |
|
< δ, |
|
x ≠ x0 |
|
|
|
α(x) |
|
|
|
< ε. Так как по условию |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
f (x)= A + α(x), то |
|
α(x)= |
|
f (x)− A . Тогда |
|
|
α(x) |
|
|
= |
|
f (x)− A |
|
< ε для всех |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
x , удовлетворяющих неравенству |
|
x − x0 |
|
< δ, |
|
|
x ≠ x0 . А это и означает, что |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
lim f (x)= A . Теорема доказана |
|
полностью |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
x→x0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
Замечание. Теоремы 1.1, 1.2, |
|
1.3 были рассмотрены |
для случая, когда |
|||||||||||||||||||||||||||||
x → x0 , но они справедливы и для случая, когда x → ∞. |
|
|
|
|
|
1.5. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ О ПРЕДЕЛАХ
Рассмотрим теоремы, которые облегчают нахождение пределов функции.
Формулировка и доказательства теорем для случаев x → x0 и x → ∞ анало- |
||||||||||||
гичны. В приводимых теоремах будем считать, что пределы lim f (x) |
и |
|||||||||||
|
lim ϕ(x) существуют. |
|
|
|
|
|
|
|
x→x0 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
x→x0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Теорема 1.4. Предел постоянной величины равен самой постоянной. |
|
||||||||||
|
Доказательство. Пусть |
y = C , требуется доказать, что lim C = C . |
Из |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
→x0 |
|
определения предела следует, |
что |
C − предел в том случае, |
если ε > 0 : |
|||||||||
|
y −C |
|
< ε. Но так как y = C , то |
|
C −C |
|
= 0 < ε, следовательно, |
lim C = C . |
||||
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→x0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Теорема 1.5. Предел суммы (разности) двух функций равен сумме (раз- |
|||||||||||
ности) их пределов: lim [f (x)± ϕ(x)]= lim f (x)± lim ϕ(x). |
|
|
||||||||||
|
|
|
x→x0 |
|
|
|
|
|
x→x0 |
x→x0 |
|
|
|
Доказательство. Пусть |
lim f (x)= A и |
lim ϕ(x)= B. Тогда по тео- |
|||||||||
|
|
|
|
x→x0 |
|
|
|
x→x0 |
|
|
||
реме 1.3 о связи функции с ее пределом можно записать f (x)= A + α(x), |
||||||||||||
ϕ(x)= B +β(x). Следовательно, |
f (x)+ ϕ(x)= A + B + α(x)+β(x). Здесь |
α(x)+β(x)− б.м.ф. как сумма б.м.ф. Тогда снова по второй части теоремы 4.3 |
||
можно записать: lim |
[f (x)+ ϕ(x)]= A + B = lim f (x)+ lim ϕ(x). |
|
x→x0 |
x→x0 |
x→x0 |
21
В случае разности функций доказательство аналогично. Теорема справедлива и для алгебраической суммы любого конечного числа функций, имеющих предел.
Теорема 1.6. Предел произведения двух функций равен произведению их |
||
пределов: lim [f (x) ϕ(x)]= lim f (x) |
lim ϕ(x). |
|
x→x0 |
x→x0 |
x→x0 |
Доказательство. Так |
как lim f (x)= A , lim ϕ(x)= B, то согласно |
|
|
x→x0 |
x→x0 |
теореме 1.3 имеем f (x)= A + α(x), ϕ(x)= B +β(x), где α(x),β(x)− б.м.ф. |
||
Следовательно, f (x) ϕ(x)= (A + α(x))(B +β(x)), то есть |
||
f (x) ϕ(x)= A B + (A β(x)+ B α(x)+ α(x) β(x)). Выражение в |
||
скобках является б.м.ф. (теорема 1.1). Поэтому по теореме 1.3 |
||
lim f (x) ϕ(x)= A B = lim f (x) lim ϕ(x). |
||
x→x0 |
x→x0 |
x→x0 |
Отметим, что теорема справедлива для произведения любого конечного |
числа функций.
Следствие 1.1. Постоянный множитель можно вынести за знак предела |
||||||||||||||||||||||||||
|
lim С f (x)= С |
lim f (x). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
x→x0 |
|
|
|
|
|
|
x→x0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Теорема 1.7. Предел дроби равен пределу числителя, деленному на пре- |
||||||||||||||||||||||||||
дел знаменателя, если предел знаменателя не равен нулю: |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
f (x) |
|
|
lim f |
(x) |
|
lim ϕ(x)≠ 0 . |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
lim |
= |
x→x0 |
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
ϕ(x) |
lim ϕ(x) |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
x→x0 |
|
|
x→x0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x→x0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
lim f (x)= A и |
lim ϕ(x)= B ≠ 0 сле- |
|||||||||
Доказательство. Из равенств |
||||||||||||||||||||||||||
дуют соотношения f (x)= A + α(x) |
x→x0 |
|
|
|
|
|
x→x0 |
|
||||||||||||||||||
, ϕ(x)= B +β(x). Тогда |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
f (x) |
|
A |
+ α(x) |
|
|
A |
|
|
|
A + α(x) |
|
A |
A |
|
B α(x)− A β(x) |
|
|||||||||
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
= |
|
|
+ |
|
|
|
− |
|
= |
|
+ |
|
|
. |
|||
|
ϕ(x) |
B |
+β(x) |
|
B |
|
|
|
|
B |
B2 + B β(x) |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
B +β(x) |
|
B |
|
|
Второе слагаемое есть б.м.ф. как частное от деления б.м.ф. на функцию, имею- |
||||||||||
щую отличный от нуля предел (теорема 1.1). Поэтому по теореме 1.3. |
||||||||||
|
f (x) |
|
A |
|
|
lim f (x) |
|
|
|
|
lim |
= |
= |
x→x0 |
|
. |
|
|
|||
|
B |
lim ϕ(x) |
|
|
||||||
x→x0 |
ϕ(x) |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
x→x0 |
|
|
|
|
Теорема 1.8. (о пределе промежуточной функции). |
|
|||||||||
Если |
в |
окрестности |
точкиx0 |
выполняются |
неравенства |
|||||
ϕ(x)≤ f (x)≤ ψ(x) и |
lim ϕ(x)= lim ψ(x)= A , то lim f (x)= A . |
|||||||||
|
|
|
|
|
x→x0 |
x→x0 |
x→x0 |
|
Доказательство. Из равенств
22
|
lim ϕ(x)= lim ψ(x)= A |
|
|
|
(1.6) |
|||||||||||||
|
x→x0 |
x→x0 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
вытекает, что для любого ε > 0 существуют числа δ1 и δ2 > 0 такие, что: |
||||||||||||||||||
|
ϕ(x)− A |
|
|
|
< ε, x : |
|
|
|
x − x0 |
|
< δ1, |
x ≠ x0 . |
(1.7) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
ψ(x)− A |
|
< ε, x : |
|
x − x0 |
|
< δ2 , |
|
|
x ≠ x0 . |
(1.8) |
|||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
−ε < ϕ(x)− A < ε. |
|
|
|
(1.9) |
|||||||||
|
|
|
|
|
−ε < ψ(x)− A < ε. |
|
|
|
(1.10) |
|||||||||
Пусть δ − наименьшее из чисел |
δ1 и δ2 . Тогда в δ −окрестности точки |
|||||||||||||||||
x0 выполняются оба неравенства |
(1.9) |
|
|
и (1.10). |
Из неравенств |
|||||||||||||
ϕ(x)≤ f (x)≤ ψ(x) находим ϕ(x)− A ≤ f (x)− A ≤ ψ(x)− A . |
||||||||||||||||||
Из последнего неравенства с учетом неравенств (1.9) и (1.10) следуют не- |
||||||||||||||||||
равенства −ε < f (x)− A < ε |
или |
|
f (x)− A |
|
< ε. Мы |
доказали, что |
||||||||||||
|
|
ε > 0 δ > 0, x : |
|
x − x0 |
|
|
< δ |
|
f (x)− A |
|
< ε, то есть lim f (x)= A . |
||
|
|
|
|
||||||||
ПРИМЕР 1.6. Найти lim (6x 2 + 7x − 4). |
|
|
|
x→x0 |
|||||||
|
|
|
|
||||||||
|
|
x→1 |
|
|
|
|
|
|
|
||
Решение. lim (6x 2 + 7x − 4)= lim 6x 2 + lim 7x −lim 4 = |
|||||||||||
x→1 |
|
|
|
|
x→1 |
x→1 |
x→1 |
||||
= 6lim x lim x + 7 lim x − 4 = 6 1 1+ 7 1− 4 = 9 . |
|||||||||||
x→1 x→1 |
|
x→1 |
|
|
|
|
|
|
|
Из решения видно, что нахождение предела этой функции свелось к подстановке в данное выражение предельного значения аргумента. Сказанное остается справедливым и в более общем случае. Если рассмотреть целую рациональную функцию (многочлен) вида
P (x)= a |
0 |
x n + a |
1 |
x n−1 +K+ a |
n |
, (a |
0 |
≠ 0), |
||||
n |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
то ее предел при x → x |
0 |
равен значению многочлена в этой точке, то есть |
||||||||||
lim Pn (x)= Pn (x0 ) (рекомендуем показать это самостоятельно). |
||||||||||||
x→x0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пользуясь этим, легко убедиться, что предел всякой дробно- |
||||||||||||
рациональной функции равен: lim |
Pn (x) |
|
|
= |
Pn (x0 ) |
, если только знамена- |
||||||
Qm (x) |
|
|||||||||||
|
|
|
|
x→x0 |
|
Qm (x0 ) |
тель не обращается в нуль, то есть Qm (x0 )≠ 0 .
23
ПРИМЕР 1.7. lim |
4x3 − 2x +5 |
|
= |
|
4 1− 2 1+5 |
|
= |
7 |
. |
||||||
6x 4 −3x3 + 6x −1 |
6 |
1−3 1+ 6 |
1−1 |
8 |
|||||||||||
|
|
x→1 |
|
|
|
||||||||||
Будем говорить, что предел отношения двух функций |
|
f (x) |
есть неопре- |
||||||||||||
|
g(x) |
|
|||||||||||||
деленность вида |
0 |
или |
∞ , если числитель и знаменатель дроби одновременно |
||||||||||||
|
|||||||||||||||
0 |
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
стремятся к нулю или к бесконечности. Раскрыть эти неопределенности – зна- |
||||||||||||||||||
чит вычислить предел отношения |
f (x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
, |
если он существует или установить, |
||||||||||||||||
g(x) |
||||||||||||||||||
что этот предел не существует. |
x 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x + 2)(x + 4) |
|
|
||||
ПРИМЕР |
1.8. |
lim |
+ 6x + |
8 |
= |
|
0 |
|
= lim |
= |
||||||||
|
|
|||||||||||||||||
|
x3 +8 |
|
|
0 |
|
(x + 2)(x 2 − 2x + 4) |
||||||||||||
|
x + 4 |
|
|
x→−2 |
|
|
|
|
|
|
x→−2 |
|
||||||
= lim |
|
= |
− 2 + 4 |
= |
1 |
. |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
(− 2)2 − 2(− 2)+ 4 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
x→−2 x 2 − 2x + 4 |
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
Здесь мы сократили на множитель x + 2 , который при x → −2 стремится к нулю. Однако из определения предела следует, что аргумент x стремится
ксвоему предельному значению, но никогда с ним не совпадает, поэтому
x+ 2 ≠ 0 и сокращение правомерно.
Из рассмотренного примера следует правило: чтобы раскрыть неопреде-
ленность вида 00 при x → x0 функции, заданной в виде отношения двух мно-
гочленов, необходимо в числителе и знаменателе выделить множитель x − x0
и дробь на него сократить.
При вычислении пределов отношения двух многочленов при x → ∞ для
∞
раскрытия неопределенности вида ∞ надо числитель и знаменатель дроби разделить на x в старшей степени.
ПРИМЕР 1.9. Найти предел lim |
x 2 +3x −5 |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
x→∞ 3x 2 + 4x −1 |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
5 |
|
|
||||
|
x2 +3x −5 |
|
∞ |
|
|
1 |
+ |
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
Решение. lim |
= |
|
= lim |
|
x |
|
x2 |
|
= |
|||||||
|
∞ |
|
|
4 |
|
1 |
|
|||||||||
x→∞ 3x2 + 4x −1 |
|
x→∞ |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
3 |
+ |
|
|
− |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
x |
x2 |
|
|
24
|
lim 1 |
+ lim |
3 |
|
|
− lim |
5 |
|
|
1+ 0 −0 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
= |
x→∞ |
x→∞ x |
|
x→∞ x 2 |
= |
= |
|
. |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
lim 3 |
+ lim |
4 |
|
− lim |
1 |
|
|
3 + 0 −0 |
|
3 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
x→∞ |
|
x→∞ x |
|
|
x→∞ x 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
ПРИМЕР 1.10. Найти предел дробно-рациональной функции |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
lim |
a 0 x n + a1x n−1 + a 2 x n−2 +K+ a n |
, (a0 , b0 |
≠ 0). |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
x→∞ b0 x m + b1x m−1 + b2 x m−2 +K+ bm |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
0 |
x n + a |
x n−1 |
+ a |
2 |
x n−2 +K+ a |
n |
|
||||||||||||||
|
|
Решение. |
|
lim |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x→∞ b0 x m + b1x m−1 + b2 x m−2 +K+ bm |
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
x n |
|
+ |
a |
1 |
+ |
|
a |
2 |
|
|
+K+ |
|
a |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
a 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
x |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
lim |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
x n |
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
x→∞ |
x m |
+ |
1 |
|
+ |
2 |
|
|
+K+ |
|
b |
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
b0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
x |
|
x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a 0 |
+ |
|
a1 |
+ |
|
a 2 |
+K+ |
a n |
|
|||
= lim x n−m lim |
x |
x 2 |
x n |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
bm |
|
|||||
x→∞ |
x→∞ b0 |
+ |
b1 |
|
+ |
b2 |
|
+K+ |
|
|||||
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
x |
|
|
x 2 |
|
|
x m |
|
0, n < m
= a 0 , n = mb0
∞, n > m.
При вычислении этого предела учтено, что
|
0, |
если |
n < m, |
|
lim x n−m = |
1, |
если |
|
n = m, |
x→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞, |
если |
n > m |
|
a 0 |
+ |
a1 |
+K+ |
a n |
|
|
a0 |
|
||
и lim |
x |
x n |
|
= |
. |
||||||
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
b1 |
|
|
bm |
|
|
||||
x→∞ |
b0 |
+ |
+K+ |
|
|
|
b0 |
||||
|
|
x |
|
x m |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Следует отметить, что еще использованы свойства бесконечно малых и бесконечно больших функций.
1.6. ПЕРВЫЙ ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЙ ПРЕДЕЛ
При вычислении пределов выражений, содержащих тригонометрические функции, часто используют предел
lim |
sin x |
=1. |
(1.11) |
|
x |
||||
x→0 |
|
|
Данное равенство называют первым замечательным пределом. Читается
так:
Теорема 1.9. Предел отношения синуса бесконечно малой дуги к самой дуге, выраженной в радианах, равен единице.
25
Доказательство. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
y |
|
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
x |
B |
x |
|
|
|
|
|
|
|
A |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 1.11 |
|
|
Возьмем круг радиуса 1 (рис. 1.11), обозначим радианную меру |
||||||||||
центрального угла |
MOB через |
x . |
Пусть 0 < x < π. Из рисунка видно, что |
|||||||
AM = sin x, BC = tg x, MB = x . |
2 |
|
||||||||
|
|
|||||||||
Рассмотрим площади трех фигур: треугольника MOB, кругового сектора |
||||||||||
MOB, треугольника COB. |
|
|
|
|
|
|
||||
Очевидно, что S |
MOB< SсекMOB < S COB . |
|
||||||||
1 OB MA |
< OB 2 x < |
1 OB BC . Отсюда |
|
|||||||
2 |
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 sin x < 1 x < 1 tg x . |
|
(1.12) |
|||||
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
2 |
|
|
Разделив все члены неравенства (1.12) на |
1 sin x > 0, получим |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
1 < |
|
x |
< |
|
1 |
или |
|
cos x < sin x <1. |
(1.13) |
|
|
sin x |
|
cos x |
|
|
|
x |
|
||
Неравенство (1.13) мы получили в предположении |
x > 0; замечая, что |
|||||||||
cos(− x)= cos x |
и |
sin (− x) = sin x |
, |
заключаем, что оно верно и при x < 0. |
||||||
|
|
− x |
|
|
x |
|
|
|
|
|
Но lim cos x =1 и lim1 =1. Следовательно, функция sin x заключена между |
||||||||||
x→0 |
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
26 |
|
|
двумя функциями, имеющими один и тот же предел, равный 1; таким образом, на основании теоремы 1.8 предыдущего параграфа
lim |
sin x |
=1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
ПРИМЕР 1.11. Найти предел lim tg x |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x→0 |
x |
|
|
|
|
|
|
|||
Решение. lim |
tg x |
= lim |
sin x |
|
|
1 |
|
= lim |
sin x |
lim |
1 |
|||||||
|
|
cos x |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
x→0 x |
x→0 x |
|
|
|
x→0 x |
|
x→0 cos x |
||||||||
ПРИМЕР 1.12. Найти предел lim sin αx |
|
|
|
|||||||||||||||
Решение. |
|
|
|
|
|
x→0 |
x |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
lim |
sin αx |
= lim |
α sin αx |
= α |
lim |
sin αx |
= α 1 = α |
|||||||||||
|
α x |
αx |
||||||||||||||||
x→0 |
x |
|
|
x→0 |
|
|
|
x→0 |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(αx→0) |
|
|
|
|
|
=1 11 =1.
(α = const).
ПРИМЕР 1.13. Найти предел lim |
sin αx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→0 sinβx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin αx |
|
|
|
|
|
|
|
lim |
sin αx |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
sin αx |
|
α |
|
|
|
|
|
αx |
|
|
|
|
α |
|
|
|
|
αx |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→0 |
|
|
|
|||||||||||||||||||
Решение. |
lim |
|
|
= lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
sin βx |
|
β |
|
sin βx |
|
β |
|
|
|
|
sin βx |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
x→0 |
|
|
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
βx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
βx |
|||||||||||
(α,β = const) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→0 |
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
ПРИМЕР 1.14. Найти предел lim |
1−cos x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→0 |
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
1−cos x |
|
|
|
2sin |
2 |
x |
|
|
|
|
|
|
sin |
x |
|
|
x |
||||||||||||||||||
Решение. lim |
|
= lim |
|
2 |
|
|
= lim |
2 |
|
sin |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
x→0 |
x |
|
|
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
→0 |
|
x |
|
|
|
2 |
||||||||||||||
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
sin |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
= lim |
2 |
|
lim sin |
=1 0 = 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
x→0 |
x |
|
|
x→0 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos πx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
ПРИМЕР 1.15. Найти предел lim |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
1− x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= αβ 11 = αβ
=
27
|
|
|
|
|
cos πx |
|
Решение. lim |
|
2 |
||||
1− x |
||||||
|
|
x→1 |
|
|||
|
sin |
πt |
= πlim |
|||
= lim |
2 |
|
||||
t |
|
|
||||
t→0 |
|
|
|
2 t→0 |
= |
|
1− x = t, x =1− t |
|
|||||
|
|
|||||||
|
|
x →1 |
|
t → 0 |
|
|||
|
|
πt |
|
|
|
|
|
|
sin 2 |
= |
π |
1 = |
π |
. |
|
||
|
πt |
2 |
2 |
|
||||
|
|
|
|
|
||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
− |
π |
|
|
|
cos |
2 |
2 |
t |
||
= lim |
|
|
|
= |
||
|
t |
|
|
|
||
t→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1.7. ВТОРОЙ ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЙ ПРЕДЕЛ |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
Рассмотрим последовательность чисел |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
{x n }= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=1,2,3,K (n N). |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
1+ |
|
|
|
|
|
, где n |
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
Установлено, |
|
что эта последовательность монотонно возрастает и явля- |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
n |
|
|
|
|
|
|
n N . Следовательно, при n → ∞ |
||||||||
ется ограниченной: |
|
|
2 ≤ 1+ |
|
|
|
|
|
|
|
< 3, |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
n |
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
существует предел |
|
lim |
1+ |
|
|
|
, |
|
заключенный между числами 2 и 3. |
Этот |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n→∞ |
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
предел обозначают буквой e: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
+ |
1 |
n |
|
= e. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
lim 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
n→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
Число |
e − |
иррациональное |
|
число, его приближенное |
значение |
равно |
|||||||||||||||||||||||||
2,72 (e = 2,718281K). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
1 x |
при x → ∞ стремится к пределу e: |
||||||||||
|
|
|
Теорема 1.10. Функция 1 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 x |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
1+ |
|
|
|
|
|
= e . |
(1.14) |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n→∞ |
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
Доказательство. |
1. Пусть x → +∞. Каждое значение x заключено меж- |
||||||||||||||||||||||||||||||
ду двумя положительными целыми числами: n ≤ x < n +1. |
Отсюда следует |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
1 |
|
< |
1 |
≤ |
1 |
|
|
1+ |
|
|
1 |
|
<1+ |
1 |
≤1+ |
1 |
, поэтому |
|
|
||||||||||||||
|
n +1 |
x |
n |
|
|
n +1 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
n |
|
|
28
|
|
|
1 |
|
|
n |
|
|
|
|
|
1 |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 n+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
1+ |
|
|
|
|
|
|
< |
1 |
+ |
|
|
|
|
≤ |
|
1+ |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
n +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
Если x → +∞, |
|
то очевидно, и n → ∞. Найдем пределы переменных ве- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
личин, между которыми заключена функция 1+ |
|
|
|
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
1 n+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 n |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
n |
|
|
1 |
|
|
|||||||||||||||||||||||
lim |
1 |
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
lim 1 |
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1+ |
|
|
|
= lim 1 |
+ |
|
|
lim 1 |
+ |
|
|
= |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
n |
n |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
n |
→∞ |
|
|
n |
|
|
|
|
n |
→∞ |
|
|
n |
|
|
|
|
|
n→∞ |
|
|
|
n→∞ |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
= e 1 = e. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
n |
|
|
lim 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n + |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
+ |
|
|
|
= |
|
n→∞ |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
= |
|
= e. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
lim |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
n |
→∞ |
|
|
n +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim 1+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
n +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
Следовательно, по теореме 1.8 (о пределе промежуточной функции) |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
1+ |
|
|
|
|
|
= e. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1.15) |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→+∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
2. |
Пусть теперь x → −∞. Введем новую переменную |
t = −(x +1) |
или |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x = −(t +1). При x → −∞ будет t → +∞. Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
−t−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
−t−1 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
lim |
|
1+ |
|
|
|
|
|
|
|
= |
lim 1− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
lim |
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x |
→−∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
t→+∞ |
|
|
|
t +1 |
|
|
|
|
t→+∞ t |
+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
= lim |
t +1 t+1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
= |
lim 1 |
+ |
|
|
|
|
|
|
|
1+ |
|
|
|
|
|
= e 1 = e, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
t |
|
|
|
t |
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
t→+∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
t→+∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
1+ |
|
|
|
|
|
= e. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1.16) |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→−∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Из равенств (1.15) и (1.16) вытекает равенство (1.14), теорема доказана.
Замечание. Если в равенстве (1.14) положить 1x = α, то при x → ∞ имеем
α → 0 и мы получаем
lim (1+ α)1 α = e. |
(1.17) |
x→0 |
|
29
Равенства (1.14) и (1.17) называют вторым замечательным пределом.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
1 |
3x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
ПРИМЕР 1.16. Найти предел lim |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
1 3x |
|
|
|
|
|
|
1 x |
|
1 x |
|
|
|
1 |
|
x |
|
|
|
|||||||||||
Решение. lim 1+ |
|
|
|
= lim 1 |
+ |
|
|
|
|
1 |
+ |
|
|
1 |
+ |
|
|
|
|
|
= |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
x→∞ |
|
|
x |
|
|
x→∞ |
|
|
x |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
1 x |
|
|
|
|
1 x |
|
|
|
|
|
1 x |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
||||||||||
= lim 1 + |
|
|
|
lim 1 + |
|
|
lim 1+ |
|
|
|
|
= e e e = e |
|
|
. |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
x→∞ |
|
x |
x |
→∞ |
x |
x→∞ |
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
3 |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
ПРИМЕР 1.17. Найти предел lim |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
3 x |
|
|
|
x = 3t, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
3t |
|
3 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
Решение. lim 1 |
+ |
|
|
|
|
= |
|
x → ∞ t → ∞ |
= lim 1+ |
|
|
|
|
= e |
|
. |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
t |
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
x→∞ |
|
|
x |
|
|
|
|
t→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
ПРИМЕР 1.18. Найти предел lim x + 2 2x+7 x→∞ x +3
Решение.
x + 2 |
2x+7 |
x +3 −1 |
2x+7 |
|
|
1 |
2x+7 |
||||
lim |
|
|
= lim |
|
|
|
= lim 1 |
− |
|
|
= |
|
x +3 |
|
|||||||||
x→∞ x +3 |
|
x→∞ |
|
x→∞ |
|
x +3 |
|
= |
1 |
|
|
|
|
|
1 |
−3 |
= lim (1 + t)2 − |
|||||||||
t = − x + 3 , |
x = − t |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
x → ∞ t → 0 |
|
|
|
|
t→0 |
||||||||||||
|
|
lim(1 + t) |
||||||||||||||||
= lim (1 + t) |
− |
2 |
+1 |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
= |
|
|
|
t→0 |
|
|
|
|||||||||
t |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|||||||||||
|
t→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
lim(1 + t) |
|
|
lim(1 + t) |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
t |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t→0 |
|
|
|
|
t→0 |
1 |
−3 |
|
+7 = |
|
|
|
|
||
t |
= e1e = e−2 .
1.8. СРАВНЕНИЕ БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ ФУНКЦИЙ. ЭКВИВАЛЕНТНЫЕ БЕСКОНЕЧНО МАЛЫЕ
Пусть α(x) и β(x)− бесконечно малые функции при x → x 0 , то есть |
|||||
lim α(x)= 0 и |
lim β(x)= 0 . |
|
|
|
|
x→x0 |
x→x0 |
α(x) |
|
||
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.20. Если lim |
= A ≠ 0 , то α(x) и β(x) называ- |
||||
β(x) |
|
||||
|
x→x0 |
|
ются бесконечно малыми одного порядка.
30