Анализ временных рядов Практическое занятие 1

Модели, построенные по данным, характеризующим один объект за ряд последовательных моментов (периодов), называются моделями временных рядов.

Временной ряд – это совокупность значений какого-либо показателя за несколько последовательных моментов или периодов.

Каждый уровень временного ряда формируется из трендовой (T), циклической (S) и случайной (Е) компонент.

Модели, в которых временной ряд представлен как сумма перечисленных компонент, – аддитивные модели, как произведение – мультипликативные модели временного ряда.

Аддитивная модель имеет вид: Y = Т + S + Е;

Мультипликативная модель: Y = T • S • E.

Автокорреляция уровней ряда – это корреляционная зависимость между последовательными уровнями временного ряда:

,

где ,– коэффициент автокорреляции уровней ряда первого порядка;

,

где ,– коэффициент автокорреляции уровней ряда второго порядка.

Формулы для расчета коэффициентов автокорреляции старших порядков легко получить из формулы линейного коэффициента корреляции.

Последовательность коэффициентов автокорреляции уровней первого, второго и т.д. порядков называют автокорреляционной функцией временного ряда, а график зависимости ее значений от величины лага (порядка коэффициента автокорреляции) – коррелограммой.

Построение аналитической функции для моделирования тенденции (тренда) временного ряда называют аналитическим выравниванием временного ряда. Для этого чаще всего применяются следующие функции:

• линейная ŷ_t = a + b • t;

• гипербола ŷ_t = а + b / t;

• экспонента ŷ_t =e^{a+b • t};

• степенная функция ŷ_t =a • t^b;

• парабола второго и более высоких порядков ŷ_t =a + b₁ • t + b₂ • t² +... + b_k • t^k.

Параметры трендов определяются обычным МНК, в качестве независимой переменной выступает время t = 1,2, ..., n, а в качестве зависимой переменной – фактические уровни временного ряда у_t. Критерием отбора наилучшей формы тренда является наибольшее значение скорректированного коэффициента детерминации .

Задачи для самоконтроля

Задача 1

Приведены данные, отражающие спрос (штук) на некоторый товар за двенадцатилетний период, т.е. временной ряд спроса.

Год, t	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
Спрос, yt	213	171	291	309	317	362	351	361	350	346	339	342

Найти коэффициенты автокорреляции первого, второго и третьего порядков.

Задача 2

По данным задачи 1 выявить с помощью МНК линейную тенденцию.

Задача 3

Имеются следующие данные об уровне безработицы у_t (%) за 8 месяцев:

Месяц	1	2	3	4	5	6	7	8
yt	8,8	8,6	8,4	8,1	7,9	7,6	7,4	7,0

Определите коэффициенты автокорреляции уровней этого ряда первого и второго порядка.

Задача 4

Имеется следующий временной ряд:

t	1	2	3	4	5	6	7	8
xt	20	…	…	…	…	…	…	10

Известно, что , ,.

1. Определите коэффициент автокорреляции уровней этого ряда первого порядка.

2. Установите, включает ли исследуемый временной ряд тенденцию.

Задача 5

Дана выборка курса биржевой стоимости акции некоторого предприятия за 12 месяцев:

Стоимость акции по месяцам (руб.)
Месяц, t	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
Стоимость, yt	13,1	11,9	11,8	17,3	15,9	16,1	20,5	19,2	19,9	23,9	22,8	23,8

1. Найти коэффициенты автокорреляции со смещением на 1,2,3 и 4 месяца.

2. Проверить найденные коэффициенты автокорреляции на значимость с доверительной вероятностью p = 0,95.

3. Построить коррелограмму.

4. Построить модель тенденции временного ряда.