Правило Лопиталя. Случай 0/0.
Теорема 1: (Неопределенность вида 0/0)
Пусть
f(x)
и g(x)
дифференцируемы в некоторой окрестности
точки а,
в
этой окрестности и
в
той же окрестности, тогда, если
,
то
Доказательство:
1) a – конечное.
Доопределим функции: f(a)=0 и g(а) = 0; f(x) и g(x) непрерывны на [a;x]
при
f(a)=g(a)=0 =>
2)
Пусть
Введем
функции
и
Теорема доказана.
Замечание: обратное неверно.
Пример:
Билет 24
Правило Лопиталя. Случай .
Теорема:
Пусть
функции f
и g
определены и дифференцируемы в некоторой
окрестности точки a
и
и
в
некоторой выколотой окрестности точки
a,
тогда, если
,
то
и 
Доказательство:
Возьмем
произвольную последовательность
,
,
,
тогда по определению предела по Гейне
и
Тогда
- для f(x)
определение предела вида |f(x)|>C,
где C
=
- аналогично для
g(x)
Тогда можно найти такой номер, для которого будут выполняться оба неравенства:
, 
Используя
термины
можно записать:
,
Пояснение:
,
а т.к.
Найдем
теперь предел отношения
к
:
[
можно добавить или отнять
,
предел от этого не изменится ]
[
воспользуемся теоремой Коши:
или
- смотря, что больше]
- по определению
предела по Гейне.
Мы получили еще
не совсем теорему о сходимости
последовательности через
подпоследовательности, ( ее формулировка:
если
такова, что из любой её подпоследовательности
можно извлечь в свою очередь
подпоследовательность
,
сходящуюся к конечному или бесконечному
А, то предел
=А)
мы пока что только из самой последовательности
выделили сходящуюся подпоследовательность,
а это еще не значит, что сама
последовательность сходится.
Теперь возьмем
произвольную последовательность
и её произвольную подпоследовательность
,
тогда по только что доказанному из
подпоследовательности
мы можем выделить подпоследовательность
,
сходящуюся к
,
т. е.
Теперь мы взяли
произвольную последовательность,
поэтому
Причем важно, чтобы предел отношения производных существовал. Теорема доказана.
Билет 25
Раскрытие неопределенностей вида , , , , .
Кроме
рассмотренных неопределенностей
и
,
встречаются неопределенности вида
,
,
,
,
,
определение которых очевидно. Эти
неопределенности сводятся к
неопределенностям
или
алгебраическими преобразованиями.
Неопределенность (
при
).
Ясно, что
или
.
Неопределенности вида ,
,
для выражения
сводятся
к неопределенности
.
Согласно определению
этой функции
.
,
то
.
Неопределенность (
,
,
при
)
Легко видеть, что
.
Билет 26
Асимптота. Уравнение наклонной асимптоты.
Определение:
Прямая
называется
наклонной асимптотой функции f(x)
при
,
если f
определена в окрестности точки
и
расстояние между графиком и прямой
стремится к нулю.
Уравнение наклонной асимптоты:
Пусть
- асимптота при
,
,
,
,
,
,
значит
,
Замечание: возможен случай, когда k существует, а b – нет, в этом случае асимптот нет!
Билет 27