Вопросы к экзамену по математическому анализу ПМ-11, ПИН-11-15, ИКТ-11-13
1.Определение модуля непрерывности функции на множестве. Примеры нахождения модуля непрерывности.
2.Эквивалентные определения равномерной непрерывности функции на множестве. Сравнение непрерывности и равномерной непрерывности.
3.Теорема о равномерной непрерывности функции, непрерывной на отрезке.
4.Производная. Определение, непрерывность функции, имеющей производную. Геометрический смысл производной. Необходимое условие существования производной.
5.Дифференциал функции. Определение. Геометрический смысл.
6.Необходимое и достаточное условие дифференцируемости.
7.Арифметические свойства производной
8.Производная сложной функции. Дифференциал сложной функции. Инвариантность формы первого дифференциала.
9.Производная обратной функции. Нахождение производных элементарных функций.
10.Производные высших порядков. Производные высших порядков для основных элементарных функций.
11.Формула Лейбница.
12.Вычисление производных и дифференциалов неявно заданных функций.
13.Вычисление производных функций, заданных параметрически.
14.Дифференциалы высших порядков. Неинвариантность формы дифференциалов высших порядков.
15.Возрастание (убывание) функции в точке. Необходимое условие, достаточное условие возрастания (убывания) функции в точке. Экстремумы. Теорема Ферма.
16.Теорема Ролля. Геометрический и физический смысл.
17.Теорема Коши. Физический смысл.
18.Теорема Лагранжа. Геометрический и физический смысл. Формула конечных приращений.
19.Условие монотонности функции на отрезке. Условие постоянства функции на отрезке.
20.Достаточные условия экстремума.
21.Формула Тейлора для многочленов.
22.Формула Тейлора для дифференцируемых функций с остаточным членом в форме Лагранжа.
23.Формула Тейлора для дифференцируемых функций с остаточным членом в форме Пеано. Единственность разложения.
24.Формула Маклорена для основных элементарных функций с остаточным членом в форме Пеано и Лагранжа
25.Разложения по формуле Тейлора в окрестности произвольной точки с помощью стандартных разложений.
26.Вычисление пределов с помощью формулы Тейлора.
27.Выпуклость функции в точке. Достаточное условие.
28.Точка перегиба. Достаточное условие.
29.Общая теорема об экстремумах и точках перегиба.
30.Правило Лопиталя. Случай 00 . Раскрытие неопределенностей различных видов с помощью правила Лопиталя.
31.Первообразная. Неопределенный интеграл. Свойства.
32.Замена переменной в неопределенном интеграле.
33.Интегрирование по частям.
34.Интегрирование элементарных (простейших) дробей.
35.Интегрирование рациональных дробей.
36.Интегрирование тригонометрических выражений. Рационализация.
37. Вычисление интегралов вида |
dx |
|
и |
|
dx |
|
. |
||
|
|
|
|
|
|
||||
|
n |
|
|
n |
|
||||
|
sin |
|
x |
|
cos |
|
x |
||
38.Интегрирование выражений, содержащих квадратичную иррациональность. Тригонометрические подстановки.
39. Интегрирование выражений вида R
ax + b p x, +cx d
ax + b |
q |
|||
. |
||||
,..., |
|
|
||
|
||||
cx + d |
|
|||
|
|
|
|
|
40. Подстановки Эйлера.
1.
2.
3.
4.
5.
1.
а)
Типовые задачи
Вычисление производных, в том числе с помощью предварительного дифференцирования. Найти второй дифференциал функции y(x) : y3 x2 + ey3 x2 =1.
Найти производную порядка 2016 функции f (x) = x3 sin 2x .
Разложить по формуле Тейлора в окрестности точки |
x0 = 2 функцию y = |
|
2x +1 |
до п-го |
||
|
|
|||||
x2 + 2x − 3 |
||||||
порядка с остаточным членом в форме Пеано, используя стандартное разложение. |
|
|||||
Вычисление интегралов. |
|
|
|
|
|
|
Упражнения к повышенному уровню |
|
|
|
|
|
|
Найти модуль непрерывности функций на множестве A : |
|
|
|
|
|
|
f (x) = x3 , A =[0;2]; б) f (x) = x2 , A =[−2;1]; в) f (x) =1/ x, |
A =[1;2]; г) f (x) = sin |
1 |
A = (0;1]. |
|
||
x |
|
|||||
|
|
|
|
|
||
2.Верно ли утверждение: «Если функция дифференцируема в точке, то она непрерывна в некоторой окрестности этой точки» ? Если да, то доказать, если нет – привести пример.
3.Верно ли утверждение: «Если функция возрастает в точке, то она возрастает в некоторой окрестности этой точки»? Если да, то доказать, если нет – привести пример.
4.В каких случаях инвариантна форма:
а) второго дифференциала; б) третьего дифференциала?
|
|
|
|
|
(3x2 − 6x + 5) ln3 (x −1+ |
|
) |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
x2 − 2x + 2 |
||||||||||||||||||
5. |
Для функции f (x) = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
вычислить f (1). |
||||
|
|
|
|
|
|
2x2 − |
4x + 5 |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
6. |
Решить уравнение ax = log |
a |
x при a = e−e . |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
7. Пусть функции |
f (x), |
g (x), |
|
h(x) |
непрерывны на отрезке [a, b] и дифференцируемы в интервале |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
f (a) |
|
f (b) |
|
|
f ( ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
(a, b). Доказать, что |
|
g(a) |
|
g(b) |
|
g ( ) |
= 0 при некотором (a, b). |
|||||||||||||||
|
|
|
|
h(a) h(b) |
|
h ( ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
8. Дифференцируемая функция |
|
f (x) такова, что |
f (a) = f (b) = 0. Доказать, что существует |
|||||||||||||||||||
точка c (a, b) такая, что |
f (с) = f (с). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
9. Доказать, что 2 sin x x2 +1 |
|
при всех |
x. |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
10. |
О дифференцируемой функции f (x) |
известно, что f (2) =1,5 f (3). Доказать, что существует число |
||||||||||||||||||||
|
такое, что f |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
( ) = − f ( ). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
11. |
Пусть |
f (x) – дифференцируемая функция такая, что f (3) − f (2) = 5. Доказать, что существует |
||||||||||||||||||||
|
число (2; 3) |
такое, что |
|
f ( ) = 2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
12. |
Определить, сколько действительных решений имеет уравнение x(x −1) (x − 5) +10 = 0. |
|||||||||||||||||||||
13. |
Функция f (x) |
непрерывна на отрезке [1, 2] |
и дифференцируема на интервале (1, 2). Доказать, |
|||||||||||||||||||
|
что существует такое c (1, 2), что f |
(2) − f (1) = c f (c) ln 2. |
||||||||||||||||||||
14. |
Найти |
f (2016) (0) и f (2017) (0), если |
f (x) = arctg(x). |
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
ex − e−x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
15. |
Для функции f (x) = |
|
|
|
|
|
при x 0, |
найти |
f |
IV |
(0). |
|
|
|||||||||
x |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 при x = 0 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
16. |
Найти |
f (2016) (0) и f (2017) (0), |
|
если |
f (x) = arcsin(x). |
|
|
|
||||||||||||||
17. |
Найти |
f (4) (0) , если |
f (x) = |
x2 + x +1 |
|
с помощью рекуррентной формулы. |
||||||||||||||||
x2 − x +1 |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||