Основы высшей математики_Гусак, Бричикова_2012 -208с

Значит, ϕ =135 .

3. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку M0 (4, 3, −2) и имеющей нормальный вектор n = (1, −7, 5).

Отложим из точки М0 вектор M0N = n и вектор M0M , где М – произвольная точка плоскости. Поскольку M0N M0M, то их скалярное

произведение равно нулю: n M0M = 0, где n = ( A, B, C ) = (1, −7, 5),

M0M = ( x −4, y −3, z +2), т.е. 1( x −4) −7( y −3) +5( z +2) = 0 . Следовательно, уравнение плоскости имеет вид

x−7y +5z +27 = 0.

4.Даны вершина параллелепипеда M (1, 2, 3) и уравнения плоскостей, в которых лежат три его непараллельные грани: 2x − y +2z −3 = 0, x +2y −2z −1 = 0 , 3x − y − z −1 = 0. Составить уравнение одной из плоскостей, в которых лежат три другие грани.

В соответствии с условием параллельности двух плоскостей, урав-

нение плоскости, параллельной плоскости 2x − y +2z −3 = 0 , можно искать в виде 2x − y +2z +D = 0 . Поскольку точка M (1, 2, 3) принадлежит искомой плоскости, то 2 1−2 +2 3 +D = 0, откуда D = –6.

Следовательно, уравнение имеет вид 2x − y +2z −6 = 0 . 5. Найти угол между плоскостями

11x −8y −7z +6 = 0, 4x −10y + z −5 = 0.

Первая плоскость имеет нормальный вектор n1 = (11, −8, −7), вторая – нормальный вектор n2 = (4, −10, 1).

Угол между двумя плоскостями по определению равен углу между их нормальными векторами. Из определения скалярного произве-

Следовательно, ϕ = 45 .

60

и плоскость пересекаются. Решив совместно их уравнения, найдем

Чтобы решить задачу, достаточно найти длину ребра куба, равную расстоянию между данными параллельными плоскостями. Это расстояние равно расстоянию от любой точки одной плоскости до другой плоскости. Выберем на первой плоскости произвольную точку. Приняв, например, что y0 =1, z0 =1 из уравнения x +2y −2z −1 = 0 найдем x0 =1 . По формуле расстояния от точки M0 (1, 1, 1) до плоскости x +2y −2z +5 = 0 получаем

Поскольку V = a3 и a = d = 2 , то V = 8 (куб.ед.)

9. Исследовать взаимное расположение двух прямых

x = 8 +3t , y = −7 −5t, z =11+6t и x = 9 +7t , y =1−2t , z = 3 +4t .

Первая прямая проходит через точку M1 (8, −7, 11), имеет направляющий вектор a = (3, −5, 6); вторая прямая проходит через точку M2 (9, 1, 3), b = (7, −2, 4) – ее направляющий вектор.

Рассмотрим три вектора M1M2 = (9 −8, 1−(−7), 3 −11) = (1, 8, −8) и их смешанное произведение M1M2 a b.

Если M1M2 a b ≠ 0 , то данные векторы некомпланарны; прямые являются скрещивающимися. Если M1M2 a b = 0, то векторы компланарны, прямые расположены в одной плоскости. Смешанное произведение в данном случае выражается так:

61

каются (вторая и третья строки не пропорциональны; если эти строки пропорциональны, то прямые параллельны; если все строки пропорциональны, то прямые совпадают).

Чтобы найти точку пересечения прямых, приравняем выражения для координат предварительно обозначив параметры разными буквами: 8 +3t = 9 +7s, −7 −5t =1−2s , 11+6t = 3 +4s.

Умножая первое уравнение на 2 и вычитая из него почленно третье, имеем: 5 =15 +10s , 10s = −10, s = −1.

При s = −1 получаем t = −2. Подставляя значение t = −2 в уравнение первой прямой (или s = −1 в уравнение второй прямой), находим: x = 2, y = 3, z = −1.

Следовательно, M0 (2, 3, −1) – точка пересечения данных прямых. 10. Выяснить, какую поверхность в пространстве определяет

уравнение

4x2 +9y2 +36z2 +8x +36y −72z +40 = 0.

Спомощью преобразования координат приведем это уравнение

кканоническому виду:

4( x +1)2 +9( y +2)2 +36( z −1)2 = 36 , 4X2 +9Y 2 +36Z 2 = 36 ,

X92 +Y42 + Z12 =1 .

Следовательно, уравнение определяет эллипсоид с полуосями a = 3, b = 2, c =1. Центр эллипсоида находится в точке C (−1, −2, 1).

z = 8 +4t и x = −7 +6t , y = 2 −4t , z =1+8t .

3.Запишите уравнение плоскости, проходящей через точку M0 (5, −3, 2) и имеющей нормальный вектор n = (4, 7, −6) .

4.Запишите уравнение плоскости, проходящей через точку

M (1, 2, 3) и параллельной плоскости 3x −4y +5z −1 = 0 .

62

5x −3y +6z +35 = 0.

9. Исследуйте взаимное расположение прямых x =7 +5t, y =−5−7t, z = −2 −3t и x = t , y = t , z = −3 +2t.

10. Выясните, какую поверхность определяет уравнение

2x2 +3y2 −6z2 −8x −6y −12z −1 = 0 .

Ответы

1. x4−1 = y−+22 = z −3 3 . 2. 0 . 3. 4x +7y −6z +13 = 0 . 4. 3x −4y +

+5z −10 = 0 . 5. ϕ = 45 . 6. ϕ = 30 . 7. M (4, 8, −5) – точка пересечения. 8. N (−4, 1, −2) . 9. M (2, 2, 1) – точка пересечения. 10. Однополост-

ный гиперболоид X32 +Y22 − Z12 =1 .

63

III

ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ

Глава 6. ФУНКЦИИ И ПРЕДЕЛЫ

Функции и пределы – важнейшие математические понятия. Понятие функции прошло длинный путь развития, на каждом этапе которого определялось по-разному. На понятии предела основаны другие важные понятия современной математики.

6.1. Понятия функции, оператора, функционала

Основные определения

Рассмотрим два непустых множества X и Y. Если каждому элементу x X по определенному правилу f поставлен в соответствие единственный элемент y Y , то говорят, что задано отображение множества Х в множество Y и пишут f : X →Y .

Функцией называют отображение числового множества Х в числовое множество Y и обозначают y = f ( x ) , элементы x X называют значениями аргумента, элементы y Y – значениями функции; f (a) – значение функции y = f ( x ) при x = а.

Множество Х называют областью определения функции y = f ( x ) и обозначают D( f ), множество всех значений функции называют областью ее значений и обозначают E ( f ) .

Оператором называют отображение нечислового множества в нечисловое множество. Например, Х – множество дифференцируемых функций, Y – множество их производных.

Функционалом называют отображение нечислового множества в числовое. Например, Х – множество дуг линий, Y – множество их длин.

Употребляются и другие (кроме f ( x )) обозначения функций: y = ϕ( x ), y = F ( x ), y = Φ( x ), y = y ( x ) и т.п. Функцию и аргумент можно обозначать и другими символами: s = f (t ), u = ϕ(t ), r = r (t ), x = x (t ) и т.д.

Рассмотрим функцию y = f ( x ) , определенную на множестве Х. Каждому элементу x X по определенному правилу f ставится в соответствие единственный элемент y Y . В случае, когда каждому элементу y Y ставится в соответствие только один элемент x X,

64

для которого f ( x ) = y, получаем функцию x = ϕ( y), заданную на множестве Y со значениями в множестве Х. Функцию x = ϕ( y) называют обратной по отношению к функции y = f ( x ). Графики взаимно обратных функций симметричны относительно прямой y = x.

Если y = f (u), u = ϕ( x ) – функции своих аргументов, причем область определения функции f (u) содержит область значений функции ϕ( x ) , то каждому значению x D(ϕ) соответствует единственное значение y такое, что y = f (u), где u = ϕ( x ). Эта функция, определяемая соответствием y = f (ϕ( x )) называется сложной функцией или функцией от функции. Например, если y = cosu, u = 2x, то y = cos2x – сложная функция; если y = u2, u = sin x, то y = sin2 x – сложная функция.

Основными элементарными функциями называют функции y = xn, y = ax ( x > 0, a ≠1) , y = loga x, тригонометрические функции, обратные тригонометрические функции.

Элементарными функциями называют функции, полученные из основных элементарных функций с помощью алгебраических действий и образования сложных функций. Например, y = x +sin x, y = lg tgx – элементарные функции.

6.2. Предел последовательности. Предел функции

Числовой последовательностью (или последовательностью) называют функцию xn = ϕ(n), n =1, 2, 3, ... , заданную на множестве натуральных чисел. Этой формулой определяется общий член последовательности. Значения функции x1 = ϕ(1), x2 = ϕ(2), …, называют соответственно первым, вторым, … членами последовательности, а сами значения аргумента – номерами членов последовательности. Последовательность, заданную указанной формулой, обозначают ( x1, x2, x3, ...), или ( xn ).

Число а называют пределом последовательности ( xn ), если для любого числа ε > 0 существует такой номер N, что при всех n > N вы-

65

Число а называют пределом функции при х, стремящемся к b (или в точке b), если для любого числа ε > 0 существует число δ > 0 ,

кое, что для всех х, удовлетворяющих условию x > N выполняется

неравенство f ( x ) −a < ε. Обозначение: lim f ( x ) = a.

x→∞

Рассматривают и односторонние пределы: предел слева

имеют пределы их сумма, разность, произведение и частное, причем

66

Некоторые важные пределы

1. Разделив числитель и знаменатель дроби на n и использовав соответствующие свойства пределов последовательностей, получим:

3. Разделив числитель и знаменатель дроби на n2 и перейдя к пре-

67

4. Разделив числитель и знаменатель на n и перейдя к пределу, найдем

5.Найдя сумму в числителе, разложив на множители знаменатель

иперейдя к пределу, получим

6. Разделив числитель и знаменатель на n, и перейдя к пределу,

(Числитель и знаменатель разделен на 2х, использован результат примера 4).

68