Основы высшей математики_Гусак, Бричикова_2012 -208с

Умножая «строку на столбец», находим:

10. Найти произведения АВ и ВА матриц:

1

A = [6 5 4] , B = 2 .

⎣3

Матрица А имеет 3 столбца, матрица В – 3 строки, поэтому существует произведение АВ:

1

AB = [6 5 4] 2 = [6 1+ 5 2 + 4 3] = [28].

⎣3

Матрица АВ состоит из одного элемента.

Матрица В имеет один столбец, матрица А – одну строку, поэтому существует произведение ВА. Умножая «строку на столбец», находим:

З а м е ч а н и е. Матрица ВА имеет 3 строки (как и матрица В)

и3 столбца (как и матрица А).

11.Даны две матрицы

Найти произведение АВ. Существует ли произведение ВА? Число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В («ши-

рина» матрицы А равна «высоте» матрицы В), поэтому произведение АВ определено. Умножая строку матрицы А на столбец матрицы В по формуле (1.5), находим:

Произведение ВА не определено, поскольку число столбцов матрицы В отличается от числа строк матрицы А.

10

Найдите матрицу Х, удовлетворяющую условию А + Х = В.

2. Дана матрица A = 1 −2 . Найдите матрицу Х, удовлетворяю-

3 −4

щую условию 3А – 2Х = Е, где Е – единичная матрица. 3. Даны матрицы

Выясните, какие произведения (АВ или ВА) существуют для матриц А и В. Найдите эти произведения.

Ответы

11

1.3. Определители второго порядка и их свойства

Определителем квадратной матрицы второго порядка

Обозначения определителя второго порядка: det A , (это заглавная буква греческого алфавита, называется «дельта»).

следующие свойства:

1. Определитель не изменится при замене строк столбцами с теми же номерами:

2. При перестановке строк определитель изменит лишь только знак:

2 = − .

12

3. Определитель с нулевой строкой равен нулю:

4. Определитель с равными строками равен нулю:

5. Множитель, общий для элементов строки, можно вынести за

6. Определитель с пропорциональными строками равен нулю:

7. Определитель не изменится, если к элементам одной строки прибавить соответствующие элементы другой строки, умноженные на одно и то же число.

1.4. Определители третьего порядка

Определителем квадратной матрицы третьего порядка

= a11a22a33 + a12a23a31 + a21a32a13 −a13a22a31 −a12a21a33 −a23a32a11 (1.6)

Чтобы различать, какие произведения следует брать со знаком плюс, а какие со знаком минус, полезно правило, схематически изображенное на рис. 1.1.

13

которым принадлежит рассматриваемый элемент. Минор элемента

аik обозначают Мik.

Алгебраическим дополнением элемента аik определителя называют его минор, умноженный на (−1)i+k. Алгебраическое дополнение элемен-

та аik обозначают Аik. В соответствии с определением, Aik = (−1)i+k Mik . Отметим, что алгебраическое дополнение равно минору, если сумма индексов (i + k) – четное число, оно отличается от минора только

знаком, если сумма индексов – нечетное число.

Выпишем миноры и алгебраические дополнения элементов первой сроки определителя третьего порядка.

Сгруппировав по+другому члены в правой части формулы (1.6)

иприняв во внимание выписанные формулы, получим:

=a11a22a33 −a11a23a32 + a12a23a31 −a12a21a33 + a13a21a32 −a13a22a31 =

=a11 (a22a33 −a23a32 ) + a12 (a23a31 −a21a33 ) + a13 (a21a32 −a22a31 ) =

которую называют формулой разложения определителя третьего порядка по элементам первой строки.

Аналогично можно получить разложение определителя по элементам любой другой строки и любого столбца.

14

З а м е ч а н и е. Определители четвертого и более высоких порядков можно ввести по формуле:

k=1

аналогичной формуле (1.7).

В формуле (1.8) А1k – алгебраические дополнения элементов а1k, это определители (n –1) –го порядка. По формуле (1.8) при n = 2 получаем определитель второго порядка, при n = 3 – определитель третьего порядка.

Определитель порядка n называется также детерминантом.

Примеры

1. Вычислить определители матриц

Пользуясь определением, получаем:

2. Вычислить определители матриц

Чтобы избежать вычисления произведений трехзначных и четырехзначных чисел, преобразуем определители к другим видам с помощью их свойств. Умножая первую строку на (–1) и прибавляя ко второй, находим:

3. Вычислить определители третьего порядка

Пользуясь определением, по формуле (1.6), получаем:

1 =1+8 +27 −6 −6 −6 = 36 −18 =18 2 =18 +1+12 −6 −9 −4 = 31−19 =12 .

15

=−12 +24 =12 .

За м е ч а н и е. Тот же результат можно получить, например, разлагая определитель по элементам второй строки или по элементам первого столбца.

=2 (−5) −3 (−7) +1 1 =12 .

5.Используя свойства определителей, вычислить определитель

Умножим третью строку на (–2) и прибавим к первой строке, умножим третью строку на (–3) и прибавим ко второй, полученный определитель разложим по элементам первого столбца.

6. Вычислить определитель

13 12 11

24 23 22

35 34 33

Умножим второй столбец на (–1) и прибавим к первому, умножим третий столбец на (–1) и прибавим ко второму, получим определитель с двумя одинаковыми столбцами, который равен нулю:

16

Вычислите определители третьего порядка.

Вычислите определители четвертого порядка

Ответы

1. 10. 2. 12. 3. 100. 4. 6. 5. 48. 6. 168. 7. 78. 8. –16. 9. х1 = 0, х2 = 0, х3 = 4. 10. х1 = –3, х2 = 1, х3 =2.

1.5. Обратная матрица. Ранг матрицы

Квадратная матрица А–1 называется обратной квадратной матрице А, если выполняется условие

AA−1 = A−1A = E ,

где Е – единичная матрица.

Квадратная матрица называется невырожденной или неособенной, если ее определитель отличен от нуля. Если определитель матрицы равен нулю, она называется вырожденной или особенной.

17

Всякая невырожденная квадратная матрица

имеет единственную обратную матрицу

где Аik – алгебраическое дополнение элемента аik матрицы А. (Алгебраическое дополнение элементов каждой строки матрицы записаны в столбец с тем же номером).

Чтобы найти матрицу, обратную данной, необходимо: 1) вычислить определитель данной матрицы; 2) найти алгебраические дополнения Аik ее элементов аik; 3) составить матрицу А’ из алгебраических дополнений Аik, взятых в том же порядке, что и элементы аik в матрице А; 4) в матрице А’ поменять ролями строки и столбцы, записать матрицу А* = (A’)T; 5) каждый элемент матрицы А* разделить на определитель матрицы А.

Рангом матрицы называется наивысший из порядков ее миноров, отличных от нуля. Ранг матрицы обозначается так: r или rangA .

Поскольку det A ≠ 0 , то матрица имеет обратную. В данном случае

a11 = 2 , a12 = 3 , a21 = 4 , a22 = 5 ,

18

Находим матрицу А–1, обратную матрице А:

З а м е ч а н и е. Формула (1.9) при n = 2 принимает вид

так как A11 = a22 , A12 = −a21 , A21 = −a12 , A22 = a11 .

Последняя формула для А–1 означается следующее: чтобы найти матрицу, обратную квадратной матрице второго порядка, необходимо в исходной матрице поменять местами элементы главной диагонали, изменить знаки элементов второй диагонали, полученную матрицу умножить на число, обратное определителю исходной матрицы.

2. Выяснить, существуют ли обратные матрицы для матриц

det B = 0 , то не существует матрицы, обратной матрице В.

3. Выяснить, при каких значениях α существуют матрицы, обрат-

Так как det A ≠ 0 при α ≠1 , то матрица А имеет обратную при всех значениях α , кроме α =1 . Поскольку det B ≠ 0 при α2 −36 ≠ 0 , т.е. при α1 ≠ −6 , α2 ≠ 6 , то матрица В имеет обратную при всех значениях α , кроме значений α1 = −6 , α2 = 6 .

19