Добавил:

Harsa Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский национальный технический университет

Предмет:

Высшая математика

Файл:

Основы высшей математики_Гусак, Бричикова_2012 -208с

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.03.2025

Размер:

4.65 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 2110 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 > Следующая >>>

Пример 2. Найти ∫ (1− x )3 dx.

Раскрыв скобки и применив соответствующую формулу, получим

∫ (1− x )3 dx = ∫ (1−3 x +3x − x3 )dx = = ∫ dx −3∫ xdx +3∫ xdx −∫ x3 dx =

= x −3

x 2

−

x 2

+C = x −2x x +

−

x +C .

Пример 3. Найти ∫ cos2

Поскольку

cos2

= 1+cos x

, то

∫ cos2

= ∫ 1+cos x dx =

= 1

∫ dx + 1

∫ cos xdx =

1 x + 1 sin x +C .

Метод подстановки

Этот метод (или метод интегрирования введением новой переменной) основан на формуле

∫ f ( x )dx = ∫ f (ϕ(u))ϕ′(u)du,

где x = ϕ(u) – дифференцируемая функция от u. Пример 4. Найти ∫ sin (3 −8x )dx

Введем новую переменную по формуле u =3 −8x, откуда −8dx = du, или dx = − du8 .

Подставляя полученные выражения в подынтегральное выражение, находим:

∫ sin (3 −8x )dx = ∫ sin u(− du8 )= −18 ∫ sin udu = 18 cos u +C . Возвращаясь к переменной х, получаем

∫ sin (3 −8x )dx = 18 cos u +C = 18 cos (3 −8x ) +C.

Пример 5. Найти ∫	dx
		.
	x 3x +1

Чтобы избавиться от иррациональности, положим 3x +1 = u, откуда 3x +1 = u2 , x = u23−1 , dx = 32 udu. Используя соответствующую формулу, находим:

∫

= ∫

3 udu

= 2∫

= ln

u −1

+C .

3x +1

u2 −1 u

u2 −1

u +1

3x +1 −1

Переходя к переменной х, получаем ∫

= ln

+C.

3x +1 +1

3x +1

Пример 6. Найти ∫

a2 − x2

dx .

В случае, когда подынтегральное выражение содержит a2 − x2 ,

целесообразно

использовать

тригонометрическую

подстановку

x = a sin u или x = acos u . Применяем подстановку x = a sin u, откуда dx = acos udu , поэтому

∫

a2 − x2

dx = ∫

a2 −a2 sin2 u

acosudu = ∫ cos2 u du .

a2 sin2 u

sin2 u

Последний интеграл сводится к табличным интегралам

∫ cos2 u du = ∫ 1−sin2 u du = ∫

−

∫ du = −ctgu −u +C .

sin2 u

Заметив,

что

sin u =

u = arcsin

ctgu = cos u

1−sin2 u

sin u

1−

a2 − x2

, окончательно получим

∫

a2 − x2

dx = −

a2 − x2

−arcsin

+C .

Пример 7. Найти ∫

dx.

(1+ x )8

Преобразуя подынтегральную функцию, получаем

∫

dx =

∫ (x2 +2x +1) −2x −1 dx

= ∫

(1 + x )2 −2x −2 +1 dx =

(1 + x )8

(1+ x )2 −2

(1+ x ) +1

2dx

= ∫

− ∫

dx + ∫

(1+ x )

+ x )

(1+ x )

= ∫

d ( x +1)

−

2∫

d ( x +1)

+ ∫

d ( x +1)

( x +1)

= ∫ ( x +1)−6 d ( x +1) −2∫ ( x +1)−7 d ( x +1) +∫ ( x +1)−8 d ( x +1) =

( x +1)−5

( x +1)−6

( x +1)−7

−5

−2

−6

−7

+C =−

−

+C.

(

x +1

Интегрирование по частям

И н т е г р и р о в а н и е п о

ч а с т я м выполняется по формуле

∫ udv = uv −∫ vdu или ∫ u( x )v′( x )dx = u( x )v( x ) −∫ v( x )u′( x )dx,

где u = u( x ), v = v( x )

– дифференцируемые функции переменной х.

Эта формула получена из равенства d (uv) = udv +vdu . Пример 8. Найти ∫ x cos3xdx.

Положим x = u, cos3xdx = dv . Из первого равенства путем дифференцирования получаем du = dx, а из второго с помощью интегри-

рования определяем функцию v = 13 sin 3x.

По формуле интегрирования по частям получаем

∫ x cos 3xdx = x 13 sin 3x −∫ 13 sin 3xdx = 3x sin 3x + 19 cos 3x +C .

Пример 9. Найти интеграл ∫ x2 sin 2xdx.

Полагая x2 = u, sin2xdx = dv , находим du = 2xdx, v = −12 cos 2x . По формуле интегрирования по частям получаем

∫x2 sin 2xdx = x2 (−12 cos 2x )−∫ (−12 cos 2x )2xdx =

=−12 x2 cos 2x +∫ x cos 2xdx.

Применяя еще раз формулу интегрирования по частям, не выписывая явно u и dv, находим

∫x cos2xdx = ∫ x 12 d (sin2x ) = 12 x sin2x − 12 ∫ sin2xdx =

=12 x sin2x + 14 cos2x +C .

Следовательно,

∫ x2 sin 2xdx = −12 x2 cos 2x + 12 x sin 2x + 14 cos 2x +C .

Пример 10. Найти интеграл ∫ ex sin xdx .

Положим u = ex , dv = sin xdx, отсюда du = exdx , v = −cos x . Применяя формулу интегрирования по частям, получаем

∫ex sin xdx = ex (−cos x ) −∫ (−cos x )exdx = −ex cos x +∫ ex cos xdx

Кинтегралу в правой части снова применяем формулу интегрирования по частям, не вводя явно u и v:

∫ex cos xdx = ∫ exd (sin x ) = ex sin x −∫ ex sin xdx,

∫ex sin xdx = −ex cos x + ∫ ex cos xdx = −ex cos x + ex sin x − ∫ ex sin xdx;

∫ex sin xdx +∫ ex sin xdx = ex sin x −ex cos x,

2∫ ex sin xdx = ex sin x −ex cos x. Следовательно, ∫ ex sin xdx = e2x (sin x −cos x ) +C.

8.2. Интегрирование рациональных функций

Неопределенный интеграл от целой рациональной функции (многочлена) находится непосредственно:

∫(a0 +a1x +a2x2 +... +an xn )dx =

=a0 ∫ dx +a1∫ xdx +a2 ∫ x2dx +... +an ∫ xndx =

=a0x + a21 x2 + a32 x3 +... +an nxn++11 +C .

При нахождении неопределенного интеграла от дробной рацио-

нальной функции R( x ) =	P	( x )		a	+ a x +... + a xn		(n > m) предва-
	n		=	0	1	n
	Qm ( x )		=	b	+b x +... +b xm
	Qm ( x )			b	+b x +... +b xm
				0	1	m

рительно выделяют целую часть, а остаток – правильную рациональ-

ную дробь S ( x ) =				Nk ( x )	(k < m) – разлагают на элементарные дроби
				Qm ( x )

вида	A	,		Bx +C		, где a, p, q, A, B, C – действительные чис-
	( x −a)α		(x2 + px +q)β

ла, α, β – натуральные числа.

Пример 11. Найти интеграл ∫ x5 − x +1 dx . x3 + x

Подынтегральная функция является рациональной, т.е. отношением двух многочленов. Поскольку степень числителя дроби выше степени знаменателя, можно выделить целую часть. В результате деления числителя на знаменатель получаем;

x5 − x +1

= x2 −1+

+ x

Остаток предствляем в виде суммы элементарных дробей

Bx +C

+ x2

, где коэффициенты А, В, С пока не оп-

x3 + x

x (x2 +1)

ределены. Определим эти коэффициенты:

A(x2

+1)+(Bx +C ) x

( A +B) x2 +Cx

+ A

(x2 +1)

x (x2 +1)

1 = ( A +B) x2 +Cx + A .

Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получаем

уравнения: A +B = 0, C = 0 , A =1, откуда A =1, B = −1, C = 0 .

Разложение на элементарные дроби принимает вид

−

x (x2 +1)

x2 +1

Следовательно,

= ∫

xdx

∫

= ∫

−

dx = ∫

−

∫

3 + x

x (x2 +

2 +1

= ∫ dx − 1 ∫

d (x2 +1)

= ln

− 1 ln (x2 +1) +C

= ln

+C .

x 2

x2 +1

Принимая во внимание полученный результат, находим искомый

интеграл

− x +1

−1+

∫

∫ x

dx =

− x

+ln

+C .

3 + x

x2 +1

x3 + x

Пример 12. Найти интеграл ∫

x2 + x +2

dx .

x3 − x2 − x −2

Так как x3 − x2 − x −2 = ( x −2)(x2 + x +1) , то

x2 + x +2

Bx +C

A(x2 + x +1) +(Bx +C )( x −2)

x −2

− x

−2

+ x +1

(

)

+ x

+1)

−1

Приводя подобные члены, находим

x2 + x +2

= ( A +B) x2 +( A +C −2B) x +( A −2C ) .

x3 − x2 − x −2

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, полу-

чаем систему уравнений: A +B =1, A +C −2B =1, A −2C = 2 , из кото-

рой находим, что A = 8 ,

B = −

C = −

3 .

Следовательно,

∫

x2 + x +2

dx =

∫

−

∫

x +3

dx =

x −2

2 + x +1

− x2 − x −

= 8

∫

d ( x −2)

−

∫

x + 2

(x +

1 )−1 ∫

dx =

2 + x +

x −2

2 + x +1

2 7

= 8 ln

x −2

−

x2 + x +1

−

3 arctg

(2x +1)

+C .

З а м е ч а н и е. Интеграл

∫

x +3

сводится к двум таблич-

x2 + x +1

ным интегралам: ∫ du = ln

, ∫

1 arctg u . Действительно,

u2 +a2

(x + 1 )+

x +3

x +

∫

dx = ∫

2 2 dx = ∫

dx +

∫

x2 + x +1

x2 + x +

x2 + x +1

2 + x +1

∫

2x +1

dx +

∫

(x2 + x

+1)′dx

x2 + x +1

d (x2 + x +1)

∫

+ ∫

2 dx

1 3

+ x +1

2 x +

4 )+

(x + 1 )

(2x +1)

1 ln

x2 + x +1

arctg

+ x +1

5 3

arctg

(2x +1) 3

+C.

Пример 13. Найти интеграл ∫

x3 +5x2 −13x −9

dx .

x4 −10x2 +9

Поскольку x4 −10x2 +9=(x2 −1)(x2 −9)

= ( x −1)( x +1)( x −3)( x +3),

то

x3 +5x2 −13x −9

x −

x +

x −3

x4 −10x2 +9

A( x +1)(x2

−9)+B( x −1)(x2 −9)+C

( x −3)(x2 −1)+D( x +3)(x2 −1)

( x −1)( x +1)( x

+3)( x −3)

=x3 ( A +B +C +D) + x2 ( A −B −3C +3D) − x (9A +9B +C +D) + x4 −10x2 +9

+9B −9A +3C −3D . x4 −10x2 +9

Im,n

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях, по-

лучаем систему

уравнений:

A +B +C +D =1, A −B −3C +3D = 5,

9A +9B +C +D =13 ,

9B −9A +3C −3D = −9 ,

решение которой A =1,

B =

1 , C = −1, D =

1 .

Разложение данной дроби на элементарные имеет вид

x3 +5x2 −13x −9

+ 1

−

− 1

, поэтому

−1

x4 −10x2 +9

2 x +1

2 x −3

∫

+5x2 −13x −9

dx = ∫

d ( x −1)

∫

( x +1)

− ∫

d ( x +3)

+ ∫

d ( x −3)

x4 −10x2 +9

x −1

x +1

x +3

x −3

( x −1) ( x +1)( x −3)

+C.

=ln

x −1

+ 2 ln

x +1

−ln

x +3

+ 2 ln

x −3

+C =ln

( x +3)

8.3. Интегрирование рационально-тригонометрических

функций

Интегралы вида ∫ sin ax sin bxdx , ∫ cos ax cos bxdx, ∫ sin ax cos bxdx находят с помощью тригонометрических формул:

sin αsinβ = 12 (cos(α−β) −cos(α+β)), cos αcosβ = 12 (cos (α−β) +cos (α+β)) , sin αcosβ = 12 (sin (α−β) +sin (α+β)).

Интегралы вида Im,n = ∫ sinm x cosn xdx , где m и n – четные числа, находятся с помощью тригонометрических формул

sin2 x = 12 (1−cos 2x ) , cos2 x = 12 (1+cos2x ), sin x cos x = 12 sin 2x . Если хотя бы одно из чисел m или n нечетное, то предварительно

от нечетной степени отделяется один множитель и вводится новая переменная, в частности, если n = 2k +1, то

= ∫ sinm x cos2k+1 xdx = ∫ sinm x cos2k x cos xdx = = ∫ sinm x (1−sin2 x )k d (sin x ) = ∫ tm (1−t2 )k dt .

Интегралы вида ∫ R(sin x, cos x )dx , где R – рациональная функция, приводятся к интегралам от рациональной функции новой переменной t с помощью подстановки

tg x2 = t ,

при этом sin x =		2t	, cos x = 1	−t2	, dx =	2dt	.
1		+t2	1+t2			1+t2

Пример 14. Найти интеграл ∫ sin 7x sin 5xdx.

Так как sin 7x sin 5x = (cos 2x −cos12x ) , то 2

∫sin 7x sin 5xdx = 12 ∫ (cos 2x −cos12x )dx =

=12 (sin22x − sin1212x )+C = 14 sin2x − 241 sin12x +C .

Пример 15. Найти интеграл ∫ sin4 x cos3 xdx .

Поскольку одна из степеней является нечетной (n = 3), то интеграл можно найти так:

∫sin4 x cos3 xdx = ∫ sin4 x cos2 x cos xdx =

=∫ sin4 x (1−sin2 x )d (sin x ) = ∫ (sin4 x −sin6 x )d (sin x ) =

=∫ sin4 xd (sin x ) −∫ sin6 xd (sin x ) = sin55 x − sin77 x +C .

Пример 16. Найти интеграл ∫

2 +3sin x +2cos x

Применяя подстановку tg

= t

и соответствующие формулы, по-

2dt

1 + t2

2dt

лучаем

2 +3sin x +2cos x

3 2t

(1 −t2 )

4 +6t

2 +3t

2 + (1 + t2 ) +

(1 + t2 )

Следовательно,

∫

(3t )

2 +3sin x +2cos x

2 +3t

+3t

= 1 ln

+3t

+C = 1 ln

2 +3tg

+C.

Интегрирование гиперболических функций

Интегралы In,m = ∫ shnxchmxdx

находят с помощью табличных

интегралов, причем при четных n и m используют формулы ch2x =

= 12 (ch2x +1) , sh2x = 12 (ch2x −1), shxchx = sh22x .

Интегралы от нечетных степеней shx , chx находят путем отделения множителей первой степени и введения новой переменной.

Пример 17. Найдите интеграл ∫ ch3xsh3xdx. Преобразуя подынтегральную функцию, находим:

∫ch2x sh3x dx = ∫ ch2x sh2x shx dx = ∫ ch2x (ch2x −1)d (chx ) =

=∫ ch4xd (chx ) −∫ ch2xd (chx ) = ch55x − ch33x +C .

За м е ч а н и е. Здесь использована формула ch2x −sh2x =1.

Пример 18. Найти интеграл ∫ ch2xsh2xdx . Преобразуя подынтегральную функцию, получаем:

∫ sh2xch2xdx = ∫ (shxchx )2 dx = ∫ 1				(sh2x )2 dx =			1	∫ sh22xdx =
	∫ ch4x −1 dx = 1		4				4
= 1			∫ ch4xdx − 1	∫ dx =	1	sh4x		− 1 x +C .
= 1			∫ ch4xdx − 1	∫ dx =	32	sh4x		− 1 x +C .
4	2	8	8		32			8

Пример 19. Найти интеграл ∫ thxdx. Так как thx = chshxx , то

∫ thxdx = ∫ chshxx dx = ∫ d (chchxx ) = ln (chx ) +C .

Пример 20. Найти интеграл ∫ cth2xdx. Преобразуя подынтегральную функцию, находим:

∫ cth2xdx = ∫ ch2x dx = ∫ 1+sh2x dx = ∫

+∫ dx =

sh2x

= −cthx + x +C = x −cthx +C .

Задачи

Найдите неопределенные интегралы

1. ∫ 6x4 −8x3 −4x2 +3x −5 dx . 2. ∫ (2 + x )3 dx. 3.

∫

dx.

x2 −1

4. ∫

dx .

x2 +1

Методом подстановки найдите интегралы

5. ∫ x

2 sin x3dx . 6. ∫

. 7. ∫ x2 x3 −7dx. 8. ∫ x

125 −5x2 dx.

−8x

Методом интегрирования по частям найдите интегралы

9. ∫ ( x +7)exdx. 10. ∫ x ln6xdx . 11. ∫ xarctg4xdx . 12. ∫ x3e−x2dx.

	Найдите интегралы от рациональных функций
	13. ∫					dx					. 14.				∫							(x2 +3)dx												. 15. ∫								2x			2		+5x						+9					dx .
	13. ∫					x3 +1					. 14.				∫		x		3 −2x2 −13x −10															. 15. ∫						x3 +5x2 +2x −																	8	dx .
						x3 +1											x		3 −2x2 −13x −10																					x3 +5x2 +2x −																	8
16. ∫						(x2 +3)dx															.
16. ∫			x3 +7x2 +16x +12																		.
	Найдите интегралы от рационально-тригонометрических функций
	17. ∫ sin3 x cos3 xdx. 18. ∫ cos 7x cos 9xdx . 19. ∫																																																	dx							.
	17. ∫ sin3 x cos3 xdx. 18. ∫ cos 7x cos 9xdx . 19. ∫																																											1		+8cos2 x											.
								dx																																				1		+8cos2 x
20. ∫								dx										.
20. ∫			5 +sin x +2cos x															.
	Найдите интегралы от гиперболических функций
	21. ∫						dx				. 22.				∫ sh24xdx .
	21. ∫					ch2			x		. 22.				∫ sh24xdx .
									x

								4
																													Ответы
	1. 2x3 −4x2 −4x +3ln x +																							5			. 2. 8x +8x x +3x2 +2x2																											x		.
	1. 2x3 −4x2 −4x +3ln x +																							x			. 2. 8x +8x x +3x2 +2x2																													.
							x −1																	x																													5
3. x +				1 ln									. 4.		x −arctgx. 5. −1 cos x3. 6. −1 ln																																	7 −8x							.

							x +1
				2			x +1																							3											8
								3								5												3																		x2
7.	2 (x2 −						7)2 . 8. −									5				(25 − x2 )2									. 9. ( x +6)ex											. 10.						x2				(2ln6x −1).
	9															3																				(x			+1) .								4
11.	1						2	+		1													. 12.						−	1		e	−x		3			3
11.	8		(4x					+		4		)arctg4x − x											. 12.						−	3		e
	8									4																				3																					( x −5)2
								x +1																				3 (2x −1)															x +2
13.		1 ln													+					3		arctg						3 (2x −1)								. 14.				ln			x +2																.
																				3
																																																	x +1
	3						x2 + x +1												3											3																			x +1
15. ln				( x +4)2								x +2			. 16. 12ln											x +3					−11ln						x +2					−					7					.


							x −1																																				( x +2)


17.		sin4 x					−	sin6 x						.	18.						sin 2x				+			sin16x						.	19.				1								tgx
17.				4			−				6			.	18.					4					+				32					.	19.				3	arctg													.
				4							6			x						4									32										3								3
											3tg			x	+1
	1										3tg				+1														x						sh8x							x
20.	1													2															x	. 22.					sh8x							x
					arctg															. 21. 4th																				−			.
			5		arctg								2 5							. 21. 4th									4							16				−	2		.
			5										2 5																4							16					2

З а м е ч а н и е. Во всех ответах присутствует ещё одно слагаемое C – произвольная постоянная.

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 2110 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Высшая математика