Добавил:

Harsa Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский национальный технический университет

Предмет:

Высшая математика

Файл:

Основы высшей математики_Гусак, Бричикова_2012 -208с

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.03.2025

Размер:

4.65 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 216 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 > Следующая >>>

= 1	225 +144 +256 = 1	625 = 25 .
2	2	2

С другой стороны, S = 12 AC h, поэтому 252 = 12 AC h = 12 5h отку-

да h = 5.

8. Найти момент силы F (2, −2, −3), приложенной в точке A(4, 5, 6), относительно точки B(2, 3, −3).

Момент силы F относительно точки В определяется формулой


M =				где		a = BA.					Поскольку								BA = (4 −2, 5 −3, 6 −(−3)) =

		a, F ,
= (2, 2, 9), то						= (														)=
							2	9					2	9		2		2			(12, 24, −8),


									, −						,

			a, F				−2	−3					2	−3		2	−2
												= (12,24, −8).
										M		= (12,24, −8).
	Отметим,				что							=		2	+24		2	+(−8)				2	2	2	+6	2	2	) =
														2			2					2	2	2		2	2
								a,	F					12								=	4	(3			+2

= 42 49 = 4 7 = 28.

Задачи

1. Найдите векторное произведение векторов

a= i +2 j −2k , b = 8i +6 j +4k .

2.Даны два вектора a = (2, 1, 2), b = (3, −4, 2). Найдите координа-

ты векторного произведения a, b .

3. Найдите площадь параллелограмма, построенного на векторах

a = (1, −2, 2), b = (3, 0, −4).

4. Вычислите площадь треугольника с вершинами A(−1, 0, 2), B(1, −2, 5), C (3, 0, −4).

5. Дан треугольник с вершинами A(4, −14, 8), B(2, −18, 12), C (12, −8, 12). Найдите длину его высоты, опущенной из вершины С на сторону АВ.

6. Силы F1 = (4, 1, 3), F2 = (−2, 2, 1) приложены в точке A(6, −6, −3). Найдите модуль момента равнодействующей этих сил относительно точки B(5, −8, −5) .

7. Три силы F1 = (2, 4, 6), F2 = (1, −2, 3), F3 = (1, 1, −7) приложены в точке A(3, −4, 8). Найдите момент равнодействующей этих сил от-

носительно точки B(4, −2, 6), его модуль и направляющие косинусы.

Ответы

(10, 2, −11). 3. S =10 2.

= 20i −20 j −10k . 2.

1. a, b

b =

4. S = 14. 5. h = 10. 6.

5 , где

a = BA = (1, 2, 3),

F = (2, 3, 4).

a, F

=15,

a, F = (−10, 10, 5), где a = BA= (−1, −2, 2), F = (4, 3, 2),

a, F

cos α =

−10

= −2 , cosβ = 10

, cos γ =

= 1 .

4.4. Смешанное произведение трех векторов

Смешанным произведением трех векторов a, b, c называют число,

равное векторному произведению

, умноженному скалярно на

a, b

вектор c . Обозначение

abc = a, b c или (a, b, c ). Верны следую-

щие равенства abc = a,

b c = a

b, c

Если поменять местами два вектора, то смешанное произведение

изменит лишь знак. Для трех векторов a, b, c

abc = bca = cab = −bac = −cba = −acb .

Смешанное произведение a, b c трех некомпланарных векторов

равно объему параллелепипеда, построенного на векторах OA = a , OB = b, OC = c (рис. 4.6), взятому со знаком плюс, когда тройка (a, b, c ) – правая, со знаком минус, если эта тройка левая.

Смешанное произведение векторов

a = ( X1, Y1, Z1 ) , b = ( X2, Y2, Z2 ) , c = ( X3, Y3, Z3 )

вычисляется по формуле

	=	X1	Y1	Z1	.
		X2	Y2	Z2
abc		X2	Y2	Z2
		X3	Y3	Z3

Объем параллелепипеда, построенного на этих векторах, определяется формулой

X1	Y1	Z1
V = mod X2	Y2	Z2 .
X3	Y3	Z3

Рис. 4.6

Равенство abc = 0 является необходимым и достаточным усло-

вием компланарности трех векторов a, b, c .

Для указанных векторов равенство принимает вид

X1	Y1	Z1	= 0 .
X2	Y2	Z2	= 0 .
X3	Y3	Z3

Примеры

1. Найти смешанное произведение трех векторов

a = (1, 1, 2), b = (2, 1, 1), c = (1, −2, 3).

В соответствии с формулой для вычисления смешанного произведения по координатам вектора получаем

		1	1	2		1	1	2		−1	−3

	=	2	1	1	=	0	−1	−3	=			= −10 .
abc
		1	−2	3		0	−3	1		−3	1

2. Найти объем параллелепипеда, построенного на векторах

a= (3, 1, 2), b = (2, 2, 3), c = (1, 3, 1).

Всоответствии с геометрическим смыслом смешанного произведения находим


		3		1			2				0	−8		−1					−8		−1


V = mod		2		2			3	= mod			0	−4		1	= mod							=	−12	=12.
V = mod		2		2			3	= mod			0	−4		1	= mod							=	−12	=12.
		1		3			1				1	3		1					−4		1
		1		3			1				1	3		1
3. Доказать, что компланарны векторы
					= (1, 2, −2),							= (1, −2, 1),						= (5, −2, −1).
										b
			a							b						c
Вычисляем смешанное произведение векторов
							1	2	−2				1	2	−2					2	−1


						=	1	−2	1			=	2	0	−1		= −2					= 0.
	abc					=	1	−2	1			=	2	0	−1		= −2					= 0.
							5	−2	−1				6	0	−3					6	−3
							5	−2	−1				6	0	−3

Так как abc = 0, то векторы компланарны.

4. Доказать, что	точки A(3, −4, 1), B(2, −3, 7), C (1, −4, 3),
D(4, −3, 5) лежат в одной плоскости.
Найдем векторы			= (2 −3, −3	−(−4), 7 −1) = (−1, 1, 6),		=
		AB			BC

= (1−2, −4 −(−3), 3 −7) = (−1, −1, −4), CD = (4 −1, −3 −(−4), 5 −3) = = (3, 1, 2), AD = (4 −3, −3 −(−4), 5 −1) = (1, 1, 4) .

Векторы BC и AD – противоположные, они лежат в одной плоскости.

Рассмотрим векторы AB, CD и AD , их смешанное произведение:

				−1	1	6		−1	1	6		4	−4	= (−8 +8) = 0.


AB	CD	AD	=	3	1	2	=	4	0	−4	= −1
				1	1	4		2	0	−2		2	−2
				1	1	4		2	0	−2

Следовательно, эти векторы компланарны; точки A, B, C, D лежат

водной плоскости.

5.Найти объем треугольной пирамиды с вершинами в точках

A(0, −2, 5), B(6, 6, 0), C (3, −3, 6), D(2, −1, 3).

Объем треугольной пирамиды вычисляется по формуле

V1 = 61V , где V – объем параллелепипеда.

Вычислим объем параллелепипеда, построенного на векторах DA = (0 −2, −2 −(−1), 5 −3) = (−2, −1, 2), DB = (6 −2, 6 −(−1), 0 −3) = = (4, 7, −3), DC = (1, −2, 3):

	−2	−1	2			0	−1	0		−10	11


V = mod	4	7	−3	= mod		−10	7	11	= mod			=	10 −55	= 45.
V = mod	4	7	−3	= mod		−10	7	11	= mod			=	10 −55	= 45.
	1	−2	3			5	−2	−1		5	−1
	1	−2	3			5	−2	−1
Следовательно, V					= 1V = 1		45 = 15 .
			1		6	6		2
					6	6		2
6. Вершины треугольной пирамиды находятся в точках A(2, 1, 1),
B(6, −2, 2),		C (4, 3, 2), D(−6, 8, 7). Вычислить длину высоты, опу-

щенной из вершины D.

Искомая высота h равна объему V параллелепипеда, построенного

на векторах AB, AC, AD, деленному на площадь S параллелограмма,

построенного на векторах AB и AC .

Поскольку AB = (4, −3, 1), AC = (2, 2, 1), AD = (−8, 7, 6), то

V = mod	4	−3	1	=1	2	2	−1	4	−3	+6	4	−3	=


	2	2	1
	−8	7	6		−8	7		−8	7		2	2
	−8	7	6

=1 30 −1 4 +6 14 =110,

				= (	−3 1			,	−			4	1	,		4	−3	)= (−5,	−2, 14),


		AB, AC			2		1					2	1			2	2
S =			=	(−5)		2					2		+14		2	=	25 +4 +196 = 225 =15.
						2					2				2
	AB, AC						+(−2)
Следовательно, h = V						= 110				= 22 .
					S		15						3

Задачи

1. Вычислите смешанное произведение векторов

a= (1, 2, 3), b = (3, 1, 2), c = (2, 3, 1).

2.Найдите объем параллелепипеда, построенного на векторах

a= 2i +2 j +3k, b = 3i + j +2k, c = i +3 j + k.

3.Выясните, компланарны ли векторы в каждом из следующих случаев:

1)a = (1, 2, 3), b = (4, 5, 6), c = (7, 8, 9);

2)a = (1, 3, 5), b = (2, 4, 6), c = (8, 9, 7).

4. Докажите, что точки A(−1, 2, 1), B(−3, 1, 2), C (3, −2, 2) и D(3, −4, 3) лежат в одной плоскости.

5. Вычислите объем треугольной пирамиды с вершинами в точках A(6, 1, 4), B(2, −2, 5), C (7, 1, 3), D(1, −3, 7).

6.Вершинытреугольнойпирамидынаходятсявточках A(0, −2, 5), B(6, 6, 0), C (3, −3, 6), D(2, −1, 3). Найдите длину ее высоты, опущенной из вершины С.

7. Треугольная пирамида ABCD имеет объем V = 2, три ее вершины находятся в точках A(2, 1, 3), B(3, 3, 2), C (1, 2, 4). Найдите координаты четвертой вершины D, если известно, что она лежит на оси OZ.

Ответы

1. 18. 2. 12. 3. 1) да; 2) нет. 4. Ук а з а н и е. Рассмотрите векторы AB, AC, AD и их смешанное произведение. 5. 233 . 6. h = 3. 7. D(0, 0, 1), D(0, 0, 9).

Глава 5. ЛИНИИ И ПОВЕРХНОСТИ

ВПРОСТРАНСТВЕ

5.1.Различные виды уравнения прямой в пространстве

Направляющим вектором прямой называют любой ненулевой вектор, лежащий на данной прямой или параллельный ей.

Векторно-параметрическое уравнение прямой имеет вид

r = r0 + at,

где a = (a1, a2, a3 ) – направляющий вектор прямой, r0 – радиус-век- тор точки M0 ( x0, y0, z0 ), через которую проходит прямая, r – ра- диус-вектор любой точки M ( x, y, z) этой прямой (рис. 5.1).

Параметрические уравнения прямой:

x = x0 +a1t , y = y0 +a2t, z = z0 +a3t.

Канонические уравнения прямой:

x − x0

y − y0

z − z0

Уравнения прямой,

проходящей

через

две различные точки

M1 ( x1, y1, z1 ), M2 ( x2, y2, z2 ):

x − x1

y − y1

z − z1

− x

− y

− z

5.2. Различные виды уравнения плоскости в пространстве

Уравнение плоскости, проходящей через данную точку M0 ( x0, y0, z0 ) (рис. 5.2) и имеющей нормальный вектор n = ( A, B, C ) :

Рис. 5.1

Рис. 5.2

A( x − x0 ) +B( y − y0 ) +C ( z − z0 ) = 0.

Общее уравнение плоскости :

Ax +By +Cz +D = 0.

Уравнение плоскости в отрезках, отсекаемых на осях координат:

=1 .

Условия параллельности двух плоскостей

A x +B y +C z +D = 0, A x +B y +C z +D = 0:

≠

а условие их совпадения:

Косинус угла между указанными плоскостями:

cos ϕ =

A1A2 +B1B2 +C1C2

+B2 +C2

A2 +B2

+C2

Условие перпендикулярности двух плоскостей:

A1A2 +B1B2 +C1C2 = 0 .

Расстояние от

точки

M0 ( x0, y0, z0 )

до

плоскости

Ax + By +

+Cz + D = 0 вычисляется по формуле

d =

Ax0 +By0 +Cz0 +D

+B2 +C2

Синус угла между прямой

x = x0 +a1t,

y = y0 +a2t, z = z0 +a3t и

плоскостью Ax +By +Cz +D = 0 вычисляется по формуле

sin ϕ =

Aa1 +Ba2 +Ca3

A2 +B2 +C2

a2 +a2

+a2

Уравнение плоскости, проходящей

через точку

( x0, y0, z0 )

парал-

лельной двум неколлинеарным векто-

рам

= (a1, a2, a3 ),

= (b1, b2, b3 ):

Рис. 5.3

x − x0	y − y0	z − z0	= 0.
x − x0	y − y0	z − z0
a1	a2	a3
b1	b2	b3

Уравнение плоскости, проходящей через три точки M1 ( x1, y1, z1 ),

M2 ( x2, y2, z2 ), M3 ( x3, y3, z3 ) (рис. 5.4), не лежащие на одной прямой:

x − x1 x2 − x1 x3 − x1

y − y1 y2 − y1 y3 − y1

z − z1

z2 − z1 = 0. Рис. 5.4 z3 − z1

5.3. Поверхности второго порядка

Поверхностью второго порядка называют множество точек пространства, определяемое уравнением второй степени относительно прямоугольных координат.

Спомощью преобразований координат уравнение приводится

кследующим каноническим видам:

x2 + y2 + z2 =1 (эллипсоид, рис. 5.5)

2 b2 c2

x2	+	y2	−	z2	=1 (однополостный гиперболоид, рис. 5.6)
a2		b2		c2

x2	+	y2	−	z2	= −1 (двуполостный гиперболоид, рис. 5.7)
a2		b2		c2

x2	+	y2	−	z2	= 0 (конус, рис. 5.8)
a2		b2		c2

x2	+	y2	= 2z		(эллиптический параболоид, рис. 5.9)
a2		b2

x2	−	y2	= 2z		(гиперболический параболоид, рис. 5.10)
a2		b2

x2	+	y2	=1 (эллиптический цилиндр, рис. 5.11)
a2		b2

x2	−	y2	=1 (гиперболический цилиндр, рис. 5.12)
a2		b2

x2 = 2py (параболический цилиндр, рис. 5.13)
x2	−	y2	= 0 (пара пересекающихся плоскостей)
a2		b2

Рис. 5.5

Рис. 5.6

Рис. 5.7

Рис. 5.8

Рис. 5.9

Рис. 5.10

Рис. 5.11

Рис. 5.12

Рис. 5.13

x2 =1 (пара параллельных плоскостей) a2

x2 = 0 (пара совпавших плоскостей)

Примеры

1. Составить уравнение прямой, проходящей через точки A(−3, 6, 9), B(3, 5, 1).

Считая точку А первой (т.е. x1 = −3, y1 = 6, z1 = 9 ), точку В – вто-

рой, получаем уравнения прямой для данного условия:

x −(−3)

y −6

z −9

или

x +3

y −6

z −

3 −(−3)

5 −6 1−9

−1

−8

Это канонические уравнения прямой.

З а м е ч а н и е 1. Если равные отношения обозначить буквой t, то параметрические уравнения данной прямой:

x = −3 +6t , y = 6 −t, z = 9 −8t .

З а м е ч а н и е 2. Если в этих уравнениях 0 ≤ t ≤1 , то точка описывает отрезок АВ. При t = 0 получаем х = –3, y = 6, z = 9, т.е. координаты точки А, при t = 1 – координаты точки В.

2. Найти угол между двумя прямыми:

x 2−4 = y 7−5 = z +8 5 , x8+1 = y−−115 = z−+79 .

Первая прямая имеет направляющий вектор a = (2, 7, 8), вторая –

направляющий вектор b = (8, −11, −7). Угол между двумя прямыми по определению равен углу между их направляющими векторами:

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 216 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Высшая математика