Основы высшей математики_Гусак, Бричикова_2012 -208с

Рис. 4.1 Рис. 4.2

В соответствии с определениями строим векторы a +b , a −b (рис. 4.1): a +b =OB, a −b = BA. ОВ является гипотенузой прямоугольного треугольника ОАВ c катетами OA = 4 , AB = 3 . По теореме Пифагора получаем a +b = 42 +32 = 5 . Аналогично находим a −b = 5 .

10. Дан прямоугольник ABCD (рис. 4.2). Среди векторов AB , BC ,

CD , AD , AC , DB указать коллинеарные, равные и противоположные. Выразить векторы-диагонали через векторы-стороны.

Векторы AB и CD коллинеарны, векторы BC и AD так же коллинеарны, причем BC = AD , векторы AB и CD противоположны.

В соответствии с определениями AC = AB +BC , DB = AB − AD . Это выражения для векторов-диагоналей.

11. В параллелограмме ABCD заданы точка A(3, 8, −5) и векторы

AB = (−4, −4, −2) и CB = (−3, −6, 1). Найти сумму координат точки пересечения его диагоналей.

Так как диагонали параллелограмма в точке пересечения делятся пополам, то достаточно найти координаты точки С и середину отрезка АС. Предварительно необходимо найти и координаты точки В.

40

Задачи

1. Даны векторы a = (2, 1, −3) , b = (4, −5, 2) . Найти их сумму

иразность a −b , а также векторы 3a , −2b .

2.Даны три вектора a = (1, −2, 3) , b = (2, 1, 4) , c = (−3, 4, 5) . Найдите вектор d = 2a −3b +4c .

3.Найдите вектор M1M2 , если начало его находится в точке M1(3, 5, −2) , а конец в точке M2 (6, −7, 4) .

4.При каких значениях p и q векторы a = (8, p, 10) , b = (4, 2, q) коллинеарны?

5.Даны точки A(2, p, 5) , B(−1, 1, 4) , C (−q, 3, 3) . При каких зна-

чениях р и q AB = BC ?

6. Векторы a = (10, p, 4) , b = (q −2, 6, 2) коллинеарны. Найдите сумму p + q.

7. Точки A(9, −11, 5) , B(7, 4, −2) , C (−7, 13, −3) являются последовательными вершинами ромба. Найдите четвертую вершину D.

соответствующие векторы и воспользуйтесь условием равенства векторов. 8. r = 13 (r1 + r2 + r3 ). 9. M (2, 5, 3).

4.2. Скалярное произведение векторов

Скалярным произведением векторов a и b называют число, равное произведению их длин на косинус угла между ними:

a b = a b cosϕ .

Скалярное произведение обозначают и так: a b, (a, b). Поскольку b cosϕ = npa b , a cosϕ = npba (рис. 4.3), то скалярное

произведение можно представить в двух других видах: a b = a npa b, a b = b npba .

41

Свойства скалярного произведения:

a b=b a, a (b+c )=a b+ a c, (αa ) b=α(a b).

Если a = ( X1, Y1, Z1 ), b = ( X2, Y2, Z2 ), то

a b = X1X2 +Y1Y2 + Z1Z2 .

Необходимое и достаточное условие пер-

пендикулярности векторов выражается ра-

Рис. 4.3

венством a b = 0 , или X1X2 +Y1Y2 +Z1Z2 = 0 . Скалярным квадратом вектора называют скалярное произведение

вектора на себя:

a2 = a a = a a cos0 = a 2 .

Скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины. Так как

a = X12 +Y12 + Z12 , т.е. длина вектора равна корню квадратному из суммы квадратов его координат.

Косинус угла между указанными векторами определяется формулой

Механический смысл скалярного произведения: работа W, производимая силой F, точка приложения которой прямолинейно перемещается из точки М1 в точку М2, вычисляется по формуле

W = (F, M1M2 ) .

Примеры

1. В четырехугольнике ABCD заданы AB = (3, −1, −2) , BC = = (−2, 5, 1) , AD = (−3, 4, 8) . Найти скалярное произведение его диагоналей AC и BD .

Отметим, что AC = AB +BC , BD = AD − AB (так выражаются диагонали через стороны в векторном виде). Находим AC и BD :

AC = (3 +(−2), −1+5, −2 +1) = (1, 4, −1) ,

BD = (−3 −3, 4 −(−1), 8 −(−2)) = (−6, 5, 10) .

Скалярное произведение двух векторов равно сумме произведений одноименных координат:

AC BD =1 (−6) +4 5 +(−1) 10 = −6 +20 −10 = 4 .

42

2. Найти угол между векторами a = (7,2,−8) , b = (11, −8, −7) .

3. Найти работу силы F = (1,2, −1) , если точка ее приложения перемещается прямолинейно из точки M1 (0, 1, 5) в точку M2 (−1, 2, 1) .

Находим вектор M1M2 = (−1, 1, −4) и вычисляем работу

W=1 (−1) +2 1+(−1) (−4) = −1+2 +4 = 5 .

4.Какой угол образуют единичные векторы m и n , если векторы

a = 3m +6n и b =10m −8n перпендикулярны?

Поскольку a b , то a b = 0 . Находим их скалярное произведение a b = (3m +6n )(10m −8n ) = 30m2 −24mn +60mn −48n2 .

5. На кривой y = 2x2 −3x +5 задана точка A(1, y1 ) и точка В пересечения этой кривой с кривой y = 2x2 −2x +3 . Найти скалярное про-

изведение OA OB .

Из уравнения первой линии получаем точку A(1, 4). Решая систему уравнений y = 2x2 −3x +5, y = 2x2 −2x +3, находим точку B(2, 7).

Вычисляем OA OB =1 2 +4 7 = 30 . OA = (1, 4) , OB = (2, 7) .

6. Вычислить скалярное произведение векторов a = (6, −2, 1) , b = (1, 8, −3) .

Поскольку скалярное произведение векторов равно сумме произведений одноименных координат, то a b = 6 1+(−2) 8 +1 (−3) = −13.

7. При каком значении α векторы a = (1, 2, α) , b = (α, −3, 2) перпендикулярны?

Условие перпендикулярности векторов a и b выражается равен-

ством ab = 0 , которое в данном случае принимает вид α−6 +2α = 0 , или 3α−6 = 0 , откуда α = 2 .

8. Вычислить работу, произведенную силой F = (4, 7, −1) при прямолинейном перемещении точки ее приложения из A(3, 5, 9) в B(4, 8, 11) .

43

Найдем сначала вектор AB = (4 −3, 8 −5, 11−9), AB = (1, 3, 2). Так как работа W равна скалярному произведению F AB , то W = 4 1+

+7 3 +(−1) 2 = 4 +21−2 = 23.

9.Вычислить работу, производимую равнодействующей F трех

a = 2i −3 j +5k , b = 4i +6 j +7k , c = 8i +2 j −9k .

Эти векторы заданы своими разложениями по базису i, j, k . Векторы имеют координаты: a = (2, −3, 5) , b = (4, 6, 7) , c = (8, 2, −9) . Используя свойство скалярного произведения (a +b)c = ac +bc , получаем:

(a +b) c = (2 8 −3 2 +5 (−9)) +(4 8 +6 2 +7 (−9)) = −35 −19 = −54.

11.Найти угол между векторами a = (4, −10, 1) , b = (11, −8, −7) .

угол ϕ = π4 .

12. Даны три вектора a = (1, 2, 2), b = (4, −2, −5), c = (6, −1, 3). Най-

b d = 4x −2y −5z, c d = 6x − y +3z. В соответствии с условием получаем систему трех уравнений с тремя неизвестными

x +2y +2z = 3,

− − =

4x 2y 5z 5,6x − y +3z =1

44

Решая эту систему, находим: x =1 , y = 2 , z = −1 , т.е. d = (1, 2, −1). 13. Найти расстояние между точками M1 (2, −1, −2), M2 (4, 3, −5)

и расстояние от точки М1 до начала координат.

Эти расстояния равны соответствующим длинам векторов M1M2

Задачи

1. Вычислите скалярное произведение векторов a = (1, −3, 4),

b= (5, 1, 2).

2.Найдите внутренние углы треугольника с вершинами A(1, 7, 2), B(5, −3, 3), C (12, −1, −5) и внешний угол при вершине С.

3.Единичные векторы a, b, c удовлетворяют условию

a +b +c = 0. Вычислите a b +b c +c a .

4. Какой угол образуют единичные векторы m и n , если известно, что векторы a = 3m +6n и b =10m −8n перпендикулярны.

5. Даны три вектора a = 7i −5 j +3k, b = −2i +4 j −7k, c = 4i +4 j −2k. Вычислите (b +c ) a.

6. На кривой y = 2x2 −3x +5 задана точка A( x1, y1 ) с абсциссой x1 = 2 и точка В пересечения этой кривой с кривой y = 2x2 −2x +3 .

Найдите скалярное произведение OA OB .

7. Найдите угол между диагоналями четырехугольника с верши-

45

Ответы

1. 10. 2. A = 45 , B = 90 , C = 45 . Ук а з а н и е. Угол А – угол между AB и AC . Аналогично определяются углы В и С; α = 135 . 3. –1,5. Ук а з а н и е. Условие a + b + c = 0 означает, что эти векторы образуют равносторонний треугольник. 4. ϕ = π3 . 5. –53. 6. 53. 7. 90 . Ук а з а н и е. Убедитесь в том, что диагонали перпендикулярны.

8. Ук а з а н и е. Найдите векторы AB , BC , CD , DA , скалярные произведения AB BC , CD DA. 9. 16.

4.3. Векторное произведение векторов

Упорядоченную тройку векторов называют правой, если при наблюдении из конца третьего вектора кратчайший поворот от первого ко второму совершается против часовой стрелки (рис. 4.4 а); в противном случае тройку называют левой (рис. 4.4 б). Прямоугольную систему координат в пространстве называют правой, если тройка

базисных векторов i, j, k является правой; если эта тройка левая, то система координат левая.

Будем пользоваться правыми системами координат.

Векторным произведением вектора a на вектор b называют вектор c , удовлетворяющий следующим условиям:

1) c = a b sin ϕ , где ϕ – угол между векторами a и b ;

2)c a , c b ;

3)упорядоченная тройка a, b, c – правая.

Обозначения векторного произведения c = a, b , c = a b .

Свойства векторного произведения:

1)a, b = − b, a ;

Рис. 4.4

46

Векторное произведение векторов a = ( X1, Y1, Z1 ) , b = ( X2, Y2, Z2 ) можно записать в виде символического определителя

Разлагая этот определитель по элементам первой строки, получают координаты векторного произведения

З а м е ч а н и е . Эти координаты можно получить так: Записать матрицу из координат векторов

Закрыв первый столбец, получим первую координату-определи- тель второго порядка; закрыв второй столбец, возьмем определитель со знаком минус; закрыв третий столбец, получим третью координату.

Из условия 1) следует, что модуль векторного произведения a, b

Механический смысл векторного произведения. Точка А твердого тела закрепле-

47

возникает вращательный момент M (момент силы). По определе-

нию момент силы F относительно точки А находится по формуле

M= AB, F .

Примеры

1. Найти векторное произведение векторов

a = 2i +11j −10k , b = 3i +6 j −2k .

Запишем векторное произведение в виде символического определителя, разложим определитель по элементам первой строки, вычислим определители второго порядка и найдем:

Находим модули векторов и модуль их векторного произведения:

a = 22 +12 +22 = 3 , b = (−2)2 +22 +12 = 3 ,