Основы высшей математики_Гусак, Бричикова_2012 -208с

4. Найти матрицу, обратную матрице

Вычисляем определитель матрицы А

Так как det A ≠ 0, то существует матрица А–1, обратная матрице А. Вычисляем алгебраические дополнения элементов матрицы А:

Составляем матрицы А’ и А*:

В соответствии с формулой (1.9), которая при n = 3 принимает вид:

получаем обратную матрицу А–1:

5. Выяснить, существуют ли обратные матрицы для матриц

20

det B ≠ 0 , то существует матрица, обратная матрице В.

6. Выяснить, при каких значениях α существуют матрицы, обрат-

Так как det A = −5(1−α) ≠ 0 при α ≠1 , то матрица, обратная для матрицы А, существует при всех значениях α , кроме α =1. Поскольку det B = α(α2 −1) ≠ 0 при α1 ≠ −1 , α2 ≠ 0 , α3 ≠1 , то матрица, обратная матрице В, существует при всех значениях α , кроме значений α1 = −1 ,

α2 = 0 , α3 =1 .

Определитель этой матрицы равен нулю, так как содержит пропорциональные строки. Все определители второго порядка также равны нулю, в чем можно убедиться непосредственно. Матрица содержит элементы, отличные от нуля. Наивысший порядок миноров, отличных от нуля, равен единице, следовательно, ранг матрицы равен единице: r = 1.

З а м е ч а н и е. Ранг матрицы не меняется при элементарных преобразованиях. Умножим первую строку на (–2) и прибавим ко второй; умножим первую строку на (–3) и прибавим к третьей:

21

Из последней матрицы видно, что ее ранг равен единице, значит, ранг исходной матрицы также равен единице.

Задачи

Выясните, при каких значениях α существует матрица, обратная

Ответы

1.Да. 2. Нет. 3. Да. 4. Нет. 5. Нет. 6. Да. 7. Нет. 8. α ≠ 5 . 9. α ≠ 4 .

10.α ≠ −7 , α ≠ 7 . 11. α ≠ −6 , α ≠ 6 . 12. α ≠ 0 , α ≠ 1 . 13. α ≠ 2 , α ≠ 3 .

22

Глава 2. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ

АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

2.1. Решение линейных систем уравнений с помощью определителей. Формулы Крамера

Рассмотрим систему n линейных алгебраических уравнений с n неизвестными х1, х2, …, хn:

Если хотя бы один из свободных членов bi ≠ 0 , то система уравнений (2.1) называется неоднородной. Если все свободные члены bi = 0 (i =1, 2, ..., n) , то данная система уравнений называется однородной.

Решением системы (2.1) называется множество значений неизвестных

при которых каждое из уравнений системы обращается в числовое равенство.

Система уравнений, имеющая решения, называется совместной, а система уравнений, не имеющая решений – несовместной.

Определителем системы уравнений (2.1) называется определитель, составленный из коэффициентов аik при неизвестных:

Если определитель неоднородной системы уравнений отличен от нуля, т.е. ≠ 0 , то система имеет единственное решение, определяе-

(2.3) заменой i+го столбца столбцом свободных членов.

Однородная система уравнений всегда совместна, так как имеет нулевое решение x1 = x2 = ... = xn = 0 . Ненулевые решения она имеет тогда и только тогда, когда ее определитель равен нулю: = 0 .

23

З а м е ч а н и е. При рассмотрении систем в случаях n = 2, n = 3, будем записывать x, y, z вместо х1, х2, х3 соответственно.

Формулы (2.4) называют формулами Крамера.

Примеры

1. Определить, при каких значениях параметра α имеет единственное решение система уравнений

Определитель будет отличным от нуля, когда α3 −9α ≠ 0 , или α(α2 −9) ≠ 0 . Система имеет единственное решение при всех значе-

= α3 +2 +4 −2α−4α−α , = α3 −7α+6 .

Определитель равен нулю, когда α3 −7α+6 = 0 . Решим это уравнение. Так как α3 −7α+6 = α3 −α−6α+6 = α(α2 −1) −6(α−1) =

= (α−1)[α(α+1) −6] = (α−1)(α2 +α−6) = (α−1)(α−2)(α+3) , то (α−1)(α−2)(α+3) = 0 , α1 = −3 , α2 =1 , α3 = 2 .

Определитель будет отличным от нуля, когда α1 ≠ −3 , α2 ≠1 , α3 ≠ 2 . Система имеет единственное решение при всех значениях α ,

кроме значений α1 = −3 , α2 =1 , α3 = 2 . 3. Решите систему уравнений

{4x +3y = 5, 5x +2y = 8.

24

Задачи

С помощью определителей решите системы уравнений

Ответы

За м е ч а н и е. Ответы х = а, y = b будем записывать в виде (a, b),

аответы х = а, y = b, z = c в виде (a, b, c).

1.(5, –4). 2. (4, –2). 3. (1/2, –1/3). 4. (2,1,–1). 5. (3, –1, 2). 6. (3, 2, 1).

7.(–2, 1, –1). 8. (3, 1, 2). 9. (–0,25; 0,25; 0,5). 10. (1, –1, 2). 11. (3, 2, 1).

12.(2, 3, 1).

2.2.Метод последовательного исключения неизвестных

Метод последовательного исключения неизвестных, или метод Гаусса, применим к любой системе линейных уравнений. С помощью этого метода система m линейных уравнений с n неизвестными

может быть приведена к одной из следующих систем:

cnn xn = dn.

где cii (i =1, 2, ..., n) – некоторые коэффициенты, причем cii ≠ 0 ; di – свободные члены;

26

где k ≤ n , dk ≠ 0 .

Система (2.6) имеет единственное решение; значение xn находится из последнего уравнения, значение xn–1 – из предпоследнего, значение х1 – из первого.

Система (2.7) имеет бесконечное множество решений. Из последнего уравнения этой системы можно выразить одно из неизвестных (например, xk) через остальные n – k неизвестные (xk+1, xk+2, …, xn), входящих в это уравнение; из предпоследнего уравнения можно выразить xn–1 через эти неизвестные и т.д. В полученных формулах, вы-

ражающих х1, х2, …, xk через xk+1, xk+2, …, xn, неизвестные xk+1, xk+2, …, xn могут принимать любые значения.

Система (2.8) несовместна, так как никакие значения неизвестных не могут удовлетворить ее последнему уравнению.

Метод последовательного исключения неизвестных называют также методом Гаусса.

Решая систему линейных уравнений методом Гаусса, преобразования совершают не над уравнениями, а над матрицами, составленными из коэффициентов при неизвестных и свободных членов.

Примеры

6. Методом Гаусса решить систему уравнений

x −2y +4z = 3,

+ − =

2x y 6z 2,3x −6y + z = −2.

Составляем матрицу из коэффициентов уравнений и свободных

(вертикальной чертой отделен столбец, составленный из свободных членов). Преобразуем эту матрицу. Умножая первую строку на (–2) и прибавляя ко второй, умножая первую строку на (–3) и прибавляя к третьей, получаем

27

Последней матрице соответствует система уравнений

Решая эту систему, находим: z =1, 5y −14z = −4 , 5y =10 , y = 2 , x = 2y −4z +3 = 2 2 −4 1+3 = 3 .

Исходная система имеет то же решение: x = 3, y = 2, z =1 . 7. Решить систему уравнений

x + y −4z =1,

+ − =

x 2y 3z 5,3x −2y +4z = 4.

Составим расширенную матрицу и преобразуем ее:

Третьей матрице соответствует система уравнений

Из которой находим: z =1, y = 3, x = 2 .

Исходная система имеет единственное решение: x = 2, y = 3, z =1 . 8. Решить систему уравнений

x −2y +3z = 4,

+ − =

2x y 4z 3,3x − y − z = 7.

Составим расширенную матрицу и преобразуем ее:

28

Переменные x и y выражаем через переменную z:

y = 2z −1 , x = 4 +2y −3z = 4 +2(2z −1) −3z = 4z −3z +4 −2 = z +2.

Решения системы определяются формулами x = z +2 , y = 2z −1 , где z может принимать любые действительные значения.

Задачи

Методом Гаусса решите системы уравнений

Ответы

1.x = 2, y = 3, z = 1. 2. x = 3, y = 2, z = 1. 3. x = 1/2, y = 1/3, z = –1/4.

4.x = 4, y = –1, z = –1. 5. x = 0,5; y = 0,25; z = –0,5; 6. x = z + 18, y = z – 7, z может принимать любые действительные значения. 7. x = 1, y = 2, z = –1. 8. x = 3, y = 1, z = 2. 9. Система несовместна.

29