Основы высшей математики_Гусак, Бричикова_2012 -208с

то для характеристики их связи вводится момент корреляции

где x и y – выборочные средние признаков X и Y, n – объем выборки.

Коэффициентом корреляции называют величину

rxy = Sxy ,

SxSy

где Sx, Sy – выборочные средние квадратические отклонения.

Асимметрия и эксцесс являются характеристиками отклонения эмпирического распределения от нормального.

14.4. Доверительный интервал. Доверительная вероятность

Оценку, определяемую одним числом, называют точечной. Оценку, определяемую двумя числами – концами интервалов, называют

интервальной.

Доверительной вероятностью (надежностью) оценки α параметра α называют вероятность γ, с которой осуществляется неравенство

P ( α−α < δ) = γ или P (α−δ < α < α+δ) = γ.

Эта формула означает следующее: вероятность того, что интервал (α−δ, α+δ) заключает в себе (покрывает) неизвестный параметр α равна γ. Интервал (α−δ, α+δ), который покрывает неизвестный параметр α с заданной надежностью γ, называют доверительным интервалом, а его концы – доверительными границами.

Если случайная величина X имеет нормальное распределение с заданным средним квадратическим отклонением σ и неизвестным математическим ожиданием a, то

P (xâ − σnt < a < xâ + σnt ) = γ,

190

ляется формулой 2Ô(t )= γ; значение t находится с помощью таблиц

значений функции Лапласа; точность оценки выражается формулой

δ = σnt .

14.5.Метод наименьших квадратов. Эмпирические формулы

При обработке результатов наблюдений часто встречаются со следующей задачей: получен ряд значений переменных x и y

Требуется найти аналитическое выражение y = y( x ).

Искомую формулу можно получить с помощью метода наименьших квадратов, называют ее эмпирической формулой.

Если установлено, что между x и y существует линейная зависимость y = ax +b, то значения параметров a и b этой эмпирической формулы находят по методу наименьших квадратов из системы уравнений

Примеры

1. Задано распределение выборки объема n = 60

Построить полигон частот. Чему равна мода этого распределения? В системе координат Oxni строим точки M1 (4, 15), M2 (10, 18), M3 (16, 6), M4 (20, 4), M5 (24, 5), M6 (30, 12). Соединяем последовательно эти точки отрезками прямых. Полученная ломаная является

полигоном частот данного распределения (рис. 14.1).

191

Мода – значение признака, наиболее часто встречающегося в вариационном ряду. В данном случае M0 =10.

2. Задано интервальное распределение частот

Построить гистограмму частот.

В системе координат Ox nhi строим прямоугольники с основаниями h = 3 и высотами nhi . Полученная ступенчатая фигура является гистограммой частот (рис. 14.2).

3.Найти выборочное среднее распределения выборки, заданной

впримере 1.

В соответствии с определением получаем

xâ = x = 601 (4 15 +10 18 +16 6 +20 4 +24 5 +30 12)=

=601 (60 +180 +96 +80 +120 +360) = 89660 ≈14,9.

4.Если выборка задана распределением равноотстоящих вариант, то выборочное среднее xâ и выборочную дисперсию Dâ удоб-

Методом произведений найти выборочную среднюю, выборочную дисперсию и выборочное среднее квадратическое отклонение по статистическому распределению выборки

193

4

Объем выборки n = ∑ ni = 2 + 3 +10 + 5 = 20. Наименьшая варианта

i=1

x1 = 6, поэтому F ( x ) = 0, если x ≤ 6. Значение x < 8, т.е. x1 = 6, на-

F ( x ) = 1520 = 0,75, если 12 < x ≤ 15. Поскольку x4 = 15 – наибольшая

варианта, то F ( x ) = 1, если x > 15.

Следовательно, искомая эмпирическая функция определяется формулами

График функций изображен на рис. 14.3.

6. С помощью метода наименьших квадратов найти параметры эмпирической формулы y = ax + b по результатам измерений переменных x и y:

194

Результаты измерений и итоги их обработки запишем в табл. 2.

Таблица 2

В последней строке записаны коэффициенты системы уравнений для определения a и b, которая в данном случае принимает вид 19a +3b = 4, 3a +6b = 25,5, откуда a = −0,5, b = 4,5.

Следовательно, y = −0,5x +4,5.

7. Найти доверительный интервал для оценки математического ожидания a нормальной случайной величины с надежностью γ = 0,95, зная выборочную среднюю xâ =75,15, объем выборки n = 64, среднее квадратическое отклонение σ = 8.

Доверительный интервал определяется формулой l = (xâ − σnt , xâ + σnt ).

Чтобы найти концы доверительного интервала, нужно знать значение t. Это значение определим из равенства 2Ô(t )=0,95, откуда Ô(t )=0,475. По таблице значений функции Лапласа находим t =1,96. Подставляя значения xâ, σ, t, n в выражения для концов доверитель-

Следовательно, 73,19 < a < 77,11, т.е. (73,19; 77,11) – искомый доверительный интервал.

Постройте полигон частот. Чему равны мода и медиана? Запишите статистическое распределение относительных частот.

195

2. Задано интервальное распределение частот

Найдите выборочное среднее и выборочную дисперсию. Чему равны мода и медиана для этой выборки?

4. Найдите эмпирическую функцию по распределению выборки

5. Найдите доверительный интервал для оценки математического ожидания a нормальной случайной величины с надежностью γ = 0,95, зная выборочную среднюю xâ =65,25, объем выборки n = 81, среднее квадратическое отклонение σ =10.

6. С помощью метода наименьших квадратов определите параметры a и b эмпирической формулы y = ax +b по результатам измерений переменных x и y:

7. Методом произведений найдите выборочное среднее, выборочную дисперсию и выборочное среднее квадратичное отклонение распределения выборки:

8. С помощью метода наименьших квадратов определите параметры a, b, c эмпирической формулы y = ax2 +bx +c по результатам измерений переменных x и y:

196

Ответы

Ук а з а н и е. Используйте формулы, приведенные в книге: Гусак А. А. Высшая математика: учебник для студентов вузов: в 2 т. – Минск: ТетраСистемс, 2003. – Т. 2. – С. 48.

197

ЛИТЕРАТУРА

1.Гнеденко, Б. В. Курс теории вероятностей / Б. В. Гнеденко. – М.: Наука, 1965. – 400 с.

2.Гусак, А. А. Высшая математика: учебник для студентов вузов:

в2 т. / А. А. Гусак. – Минск: ТетраСистемс, 2009. – Т. 1. – 544 с.

3.Гусак, А. А. Высшая математика: учебник для студентов вузов:

в2 т. / А. А. Гусак. – Минск: ТетраСистемс, 2009. – Т. 2. – 448 с.

4.Гусак, А. А. Аналитическая геометрия и линейная алгебра: справочное пособие к решению задач / А. А. Гусак. – Минск: ТетраСистемс, 2009. – 288 с.

5.Гусак, А. А. Математический анализ и дифференциальные уравнения: справочное пособие к решению задач / А. А. Гусак. – Минск: ТетраСистемс, 2009. – 416 с.

6.Гусак, А. А. Теория вероятностей: справочное пособие к решению задач / А. А. Гусак, Е. А. Бричикова. – Минск: ТетраСистемс, 2009. – 288 с.

7.Ниворожкина, Л. И. Теория вероятностей и математическая статистика / Л. И. Ниворожкина, З. А. Морозова. – М.: Эксмо, 2008. – 432 с.

198

БИОГРАФИЧЕСКИЙ СЛОВАРЬ

Бейес Томас (1702–1761) – английский математик, член Лондонского Королевского общества. Занимался исследованиями по теории вероятностей.

Бернулли – семейство швейцарских ученых. В различных поколениях математиками были: Якоб (1654–1705), Иоганн (1667–1748), Николай (1687–1759), Николай (1695–1726), Даниил (1700–1782), Иоганн (1744–1807), Якоб (1759–1789). Трое из них работали в Петербурге.

Бернулли Иоганн (1667–1748) – профессор математики Гронингенского (1695) и Базельского (1705) университетов, почетный член Петербургской академии наук (1725). Ему принадлежит первое систематическое изложение дифференциального и интегрального исчисления. Он разрабатывал методы интегрирования дифференциальных уравнений, включая и уравнение, позже названное его именем. Им

предложено правило раскрытия неопределенностей вида 00 .

Бернулли Якоб (1654–1705) – профессор Базельского университета разрабатывал проблемы анализа бесконечно малых, алгебры, арифметики, теории рядов, теории вероятностей. В книге «Искусство предположений» им доказана теорема (названная позже его именем), имеющая важное значение в теории вероятностей и математической статистике.

Гаусс Карл Фридрих (1777–1855) – немецкий математик, астроном, физик и геодезист, член Лондонского королевского общества (1804), Парижской академии (1820), Петербургской академии наук (1824). С 1807 г. – профессор математики Гёттингенского университета и директор астрономической обсерватории. Работы Гаусса оказали большое влияние на развитие алгебры, теории чисел, дифференциальной геометрии, теории вероятностей, геодезии, небесной механики, астрономии, теории электричества и магнетизма.

Дирихле Петер Густав (1805–1859) – немецкий математик, член Берлинской, иностранный членEкорреспондент Петербургской и других академий. Работал в университетах Германии: Берлинском (1831– 1855), Гёттингенском (1855–1859). Основные исследования вел по математическому анализу, теории чисел, механике, математической физике.

Коши Огюстен Луи (1789–1857) – французский математик, член Парижской, почетный член Петербургской и других академий. Преподавал в Политехнической школе, в Парижском университете. На-

199