Основы высшей математики_Гусак, Бричикова_2012 -208с

определены в некоторой окрестности точки M0 ( x0, y0 ) и непрерывны в ней, то fxy′′ ( x0, y0 ) = fyx′′ ( x0, y0 ) .

Полным дифференциалом второго порядка некоторой функции называют полный дифференциал от ее полного дифференциала.

Полным дифференциалом n-го порядка называют полный дифференциал от полного дифференциала (n – 1)-го порядка.

12.4. Дифференцирование неявных и сложных функций

Неявной функцией n переменных x1, x2, ..., xn называют функцию, заданную уравнением F ( x1, x2, ..., xn, u) = 0, не разрешенным относительно u. Частные производные функции, заданной этим уравнением, находят по формулам

150

В частности, если у – функция одной переменной, заданная урав-

сложной функцией независимых переменных x1, x2, ..., xn . Переменные v1, v2, ..., vn называют промежуточными аргументами.

Частные производные сложной функции вычисляют по формулам

Если все промежуточные аргументы являются функциями одной переменной t, то

Примеры

1. Найти область определения функции z = 4 − x2 − y2 . Что представляет собой график данной функции?

Эта функция двух переменных определена, когда подкоренное

выражение неотрицательно, т.е. 4 − x2 − y2 ≥ 0, x2 + y2 ≤ 4 . Последнему соотношению удовлетворяют координаты всех точек, находящихся внутри круга радиуса R = 2 с центром в начале координат и на его границе. Область определения данной функции – указанный круг. Из равенства z = 4 − x2 − y2 следует, что z2 = 4 − x2 − y2 , x2 + y2 + z2 = 4 . Это уравнение сферы радиуса R = 2 с центром в начале координат.

Определяя z из равенства z2 = 4 − x2 − y2 , получаем z = ± 4 − x2 − y2 .

По условию z = 4 − x2 − y2 . Следовательно, графиком дано функции является полусфера, расположенная над плоскостью Оху.

2. Найти линии уровня функции z = 4x2 +9y2 .

Линии уровня в данном случае определяются формулой 4x2 +9y2 =C . При C > 0 это уравнение определяет эллипсы.

151

3.Найти поверхности уровня функции u = x2 + y2 + z2 . Поверхности уровня данной функции определяются формулой

x2 + y2 + z2 =C. При C > 0 это уравнение определяет сферы.

4.Вычислить значения частных производных функции z = x +y y

вточке M0 (−4, 3).

Найдем сначала выражения для частных производных. Считая у постоянным и дифференцируя по х частное, получаем

∂∂xz = 0 ( x + y) −1 y = −( x +yy)2 , fx′( x, y) = −( x +yy)2 .

Считая х постоянным и дифференцируя по у частное, получаем

5. Найти полное приращение и полный дифференциал функции u = x2 + y2 − z2 + xy при переходе от точки M (1, 1, 1) к точке

M1 (11, ; 0,9; 0,8) .

В соответствии с определением полное приращение u = f ( x + x, y + y, z + z) − f ( x, y, z) =

= {( x + x )2 +( y + y)2 −( z + z)2 +( x + x )( y + y)} −(x2 + y2 − z2 +xy) =

= 2x x +2y y + x2 + y2 −2z z − z2 + x y + y x + x y ; u = (2x + y + x ) x +(2y + x + y + x ) y −(2z + z) z .

Подставив в эту формулу значения x =1, y =1, z =1; x =11,−1 = = 0,1; y = 0,9 −1 = −0,1; z = 0,8 −1 = −0,2, получим полное приращение данной функции в точке М.

u= (2 1+1+0,1) 0,1+(2 1+1+0,1−0,1) (−0,1) −(2 1−0,2) (−0,2) =

=3,1 (0,1) +3 (−0,1) +1,8 0,2 = 0,31−0,3 +0,36 = 0,37 .

Поскольку ∂∂xu = 2x + y; ∂∂uy = 2y + x ; ∂∂uz = −2z , то полный дифференциал данной функции выражается формулой du = (2x + y)dx + +(2y + x )dy −2zdz.

152

Используя определения и правила дифференцирования, получаем частные производные второго порядка:

Вычисляем значения вторых частных производных в указанной точке

153

Следовательно, частные производные данной неявной функции выражаются формулами

∂∂xz = − yzxy+−22xz , ∂∂yz = − xzxy−−22yz .

10. Заменяя приращение функции дифференциалом, вычислить

154

Задачи

Постройте линии уровня функции 3. z = 9x2 +4y2 . 4. z =16x2 −9y2 .

Найдите поверхности уровня функции

5. u = x2 − y2 + z2 . 6. u = x2 + y2 − z .

Вычислите значения частных производных в указанной точке

7.u = x2 + y2 + z2 , M0 (1, −2, 2). 8. u = zy−−xz , M0 (2, 1, 3) .

9.Вычислите полное приращение и полный дифференциал функ-

ции u = ( x + y + z)2 при переходе от точки M0 (1, −1, 2) к точке M (1,2; −0,9; 2,1) . 10. Найдите частные производные второго порядка от функции z = x3 + y3 − x2y + xy2 и их значения в точке M0 (2, 1). 11. Найдите второй дифференциал функции z = exy. 12. Найдите

заданной уравнением xyz + x4 + y3 − z2 +7 = 0. 14. Вычислите приближенно (1,003) (1,998)2 (3,005)3.

Ответы

1. Множество точек, лежащих внутри круга радиуса R = 3 с центром в начале координат. 2. Кольцо, определяемое неравенствами 9 ≤ x2 + y2 ≤16. 3. Эллипсы. 4. Гиперболы. 5. x2 − y2 + z2 =C (однополостные гиперболоиды при C >0; конусы при С = 0; двуполостные гиперболоиды при C < 0). 6. x2 + y2 − z =C (параболоиды вращения).

155

12.5. Приложения частных производных

Частные производные применяются к решению геометрических задач, при отыскании экстремальных значений переменных величин.

Касательная прямая к пространственной линии. Касательная плоскость и нормаль к поверхности

Уравнения касательной прямой к линии

x= ϕ1 (t ), y = ϕ2 (t ) , z = ϕ3 (t )

вточке M0 ( x0, y0, z0 ) , где x0 = ϕ1 (t0 ), y0 = ϕ2 (t0 ) , z0 = ϕ3 (t0 ) имеют вид

Нормальной плоскостью кривой в данной ее точке называют плоскость, проходящую через эту точку перпендикулярно касательной прямой к линии в этой точке. Уравнения нормальной плос-

Касательной плоскостью к поверхности в точке М называют плоскость, в которой расположены касательные в этой точке к всевозможным кривым, проведенным на данной поверхности через точку М.

Нормалью к поверхности называют перпендикуляр к касательной плоскости в точке касания.

Координаты направляющего вектора нормали n = (a, b, c) к поверхности F ( x, y, z) = 0 в точке M0 ( x0, y0, z0 ) пропорциональны значениям соответствующих частных производных функции F ( x, y, z) в этой точке:

Координаты вектора n входят в уравнение касательной плоскости к поверхности в точке M0 ( x0, y0, z0 )

и в уравнения нормали к данной поверхности в той же точке

156

Для поверхности z = f ( x, y) уравнения нормали и касательной плоскости в точке M0 ( x0, y0, z0 ) принимают соответственно вид

u1 = f (M1 ), которое больше всех других значений u = f (M ), принимаемых в точках, достаточно близких к точке М1 и отличных от нее.

Минимумом функции u = f (M ) называют такое ее значение u2 = f (M2 ), которое меньше всех других ее значений, принимаемых в точках, достаточно близких к точке М2: f (M2 ) < f (M ).

Максимум и минимум функции называют экстремумом.

Точку, в которой достигается экстремум, называют точкой экстремума.

Н е о б х о д и м о е у с л о в и е э к с т р е м у м а. В точке экстремума все первые частные производные равны нулю.

Стационарными точками называют точки, в которых все первые частные производные равны нулю, или полный дифференциал равен нулю: df (M ) = 0 .

Д о с т а т о ч н о е у с л о в и е э к с т р е м у м а для функции двух переменных z = f ( x, y). Если M0 ( x0, y0 ) – стационарная точка, т.е. точка, для которой df ( x0, y0 ) = 0 , тогда:

1)при d2 f ( x0, y0 ) < 0 (dx2 +dy2 > 0) f ( x0, y0 ) – точка максимума;

2)при d2 f ( x0, y0 ) > 0 (dx2 +dy2 > 0) f ( x0, y0 ) – точка минимума.

=AC −B2 , тогда:

1)если > 0 , то функция f ( x, y) имеет экстремум в точке М0:

<0 (или C < 0 ), минимум при A > 0 (или C > 0 );максимум

2) если < 0 , то нет экстремума в точке М0.

З а м е ч а н и е. В случае = 0 необходимо дополнительное исследование.

Условный экстремум. Если разыскивается экстремум функции нескольких переменных, которые связаны одним или несколькими уравнениями (число их меньше числа переменных), то говорят об условном экстремуме.

157