Добавил:

Harsa Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский национальный технический университет

Предмет:

Высшая математика

Файл:

Основы высшей математики_Гусак, Бричикова_2012 -208с

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.03.2025

Размер:

4.65 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 / 2112 13 14 15 16 17 18 19 20 21 > Следующая >>>

Признаки сходимости рядов с положительными членами

Рассмотрим числовые ряды с положительными членами

∞

= a1 +a2 +a3 +...

∑ ak

k=1

∞

= b1 +b2 +b3 +...

∑ bk

k=1

П е р в ы й

п р и з н а к

с р а в н е н и я. Если для

k ≥ k0 ak ≤ bk

второй ряд сходится, то сходится и первый ряд; если ak ≥ bk

для всех

k ≥ k0 и второй ряд расходится, то расходится и первый ряд.

В т о р о й

п р и з н а к с р а в н е н и я. Если существует конечный

и отличный от нуля предел

lim

= l ≠ 0, то оба ряда сходятся или

расходятся одновременно.

k→∞ bk

∞

П р и з н а к

Д а л а м б е р а. Если для ряда

∑ ak = a1 +a2 +... су-

ak+1

k=1

ществует lim

= q, то при q <1 ряд сходится, а при q >1 ряд рас-

k→∞ ak

ходится.

∞

= a1 +a2 +... существует

П р и з н а к

К о ш и. Если для ряда ∑ ak

k=1

lim k a = q, то при q <1 ряд сходится, а при q >1 – расходится.

k→∞

f ( x )

Интегральный

признак Коши. Если

– неотрица-

x > 0,

∞

тельная невозрастающая

функция при

то

ряд

∑ f (k) =

= f (1) + f (2) + f (3) +... и интеграл

+∞

f ( x )dx

k=1

∫

сходятся или расхо-

дятся одновременно.

Примеры

∞

+aq +aq2 +... .

1. Исследовать, сходится ли ряд ∑ aqk−1 = a

k=1

Члены этого ряда образуют геометрическую прогрессию со зна-

менателем q. Ряд называют геометрическим

рядом. Поскольку

a(1−qn )

lim qn

= 0 при

<1, то

lim S

. Следовательно,

1−q

n→∞

<1; его

геометрический ряд сходится тогда и только тогда, когда

сумма Sn =

−q

2. Найти сумму ряда

∞

∑

+... +

+... .

1 2

(n −1)n

k=1 k(k +1)

2 3 3 4

110

Так как

= 1 −

(k =1, 2, 3, ...) , то

k(k +1)

k +1

Sn = (1− 1 )+(

− 1 )+(1

− 1 )+... +(

− 1 )

=1− 1

lim Sn =1 .

n −1

2 3

n→∞

Следовательно, ряд сходится, его сумма S = 1.

3. Найти сумму ряда 1+

+... .

256

Члены ряда образуют геометрическую прогрессию со знаменате-

лем q = 1

и первым членом a =1. Поскольку

<1 , то ряд сходится.

= 4 .

В соответствии с формулой S =

, получаем

S =

1−q

−

4. Исследовать, сходится ли ряд

+...

1 3

3 5

7 9

5 7

Составим nEю частичную сумму ряда

Sn =

+...

(2n −1)(2n +1)

1 3 3 5

5 7

Общий член разложим на элементарные дроби:

A(2k +1) + B(2k −1)

2( A + B)k + A − B

(2k −1)(2k +1)

2k −1

2k +1

(2k −1)(2k +1)

откуда 2( A +B) = 0,

A −B =1;

A +B = 0,

A = −B, 2A =1;

A = 1 ,

B = −

1 .

Следовательно, ak =

(

−

(2k −1)(

2k +1)

2k −1

2k +1

Sn = 1 (1− 1 )+ 1 (1 −

1 )+ 1 (1 −

1 )+... +

(

−

) =

−

2n −1

2n +1

2(2n +1)

3 2 3 5 2 5

= lim

−

Переходя к пределу, получаем

lim S

S = 1 .

n→∞

2(2n +1)

1 .

Итак, ряд сходится, его сумма равна S =

∞

5. Исследовать, сходится ли ряд ∑

k +1

k=1 3k −1

k +1

Общий член ряда определяется формулой a =

. Поскольку

3k −1

k +1

lim

= 1 , т.е. общий член к нулю не стремится, то ряд расходя-

k→∞ 3k −1

щийся (на основании следствия из необходимого признака сходимости ряда).

111

6. Исследовать, сходится ли гармонический ряд

		∞	+ 1		+ 1	+... .
		∑ 1 =1	+ 1		+ 1	+... .
		n=1 n		2	3
Для этого ряда a	= 1	, lim a		= lim		1	= 0 , т.е. выполнено условие
n	n	n→∞ n		n→∞ n

необходимого признака, но ряд расходится. Обозначим его сумму

буквой S, тогда

lim Sn

= S,

lim S2n = S ,

lim (S2n −Sn ) = S −S = 0, что

n→∞

противоречит неравенству S2n −Sn =

+... +

> n

= 1 .

n +1

2n 2

∞

7. Исследовать, сходится ли ряд

∑

k=0 1

Сравним этот ряд с общим членом a

с геометрическим

1+32k

рядом 1+ 1 +

+...

, для которого b

∞

Поскольку

< b ; k = 0, 1, 2, ...)

и ряд

∑

1+32k

32k

k=0 3k

сходится (геометрический ряд со знаменателем q = 1

<1 ), то на осно-

вании первого признака сравнения заключаем, что данный ряд также сходится.

8. Исследовать, при каких α сходится ряд Дирихле

∞			1		1		1
∑	1	=		+		+		+... .
	α		α		α		α
k=1 k		1		2		3			1
Если α≤0, то общий член ряда не стремится к нулю: a =										=k−α ≥1;
									kα
								k

ряд расходится. Если α > 0 , применяем интегральный признак Коши.

Пусть 0 < α <1, положим α =1−h , где h – достаточно малое положи-

∞ dx

∞

h−1

∞

тельное число. Поскольку ∫

= ∫

= ∫ x

dx =

= ∞ , то ин-

1 xα

x1−h

теграл расходится и ряд.

∞

В случае α >1, полагая α =1+h (h > 0), находим ∫

= −

∞ =

1 xh+1

xhh

= lim −

−(−

) =

. Интеграл сходится, а вместе с ним и ряд.

hxh

x→∞

α =1, то

∞

= ln x

1∞

= lim ln x = ∞. Интеграл расходится

Если

∫

∞

x→∞

1 (гармонический).

и ряд ∑

k=1 k

Следовательно, ряд сходится при α >1 . 112

9. С помощью признака Даламбера исследовать сходимость ряда

∞ kk

∑ 3k k! .

k=1

(k +

1)k+1

(k +1)k+1

Поскольку

k+1

(

)

k+1

(

)

k +1 !

k +1 ! 3

(k +1)k+1 3kk!

(k +1)k

lim

ak+1

= 1 lim

(k +1)k = 1 lim

+ 1 )k

k+1 (

)

k→∞ a

3 k→∞

k +1 !

=3e <1 , то ряд сходится.

10.С помощью признака Коши исследовать сходимость ряда

			∞	(3k	−1)	k
			∑	(3k	−1)	.
			k=1	2k +1
Так как lim k ak		= lim k (3k −1)k			= lim		3k −1	= 3	>1, то ряд расхо-
дится.	k→∞	k→∞	2k +1		k→∞ 2k +1			2
дится.

Знакопеременные ряды

Ряд, содержащий как положительные, так и отрицательные члены, называют знакопеременным рядом.

Знакопеременный ряд

∞

∑ ck = c1 +c2 +c3 +...

k=1

сходится, если сходится ряд из модулей его членов, т.е. ряд

∞
∑	ck	=	c1	+	c2	+	c3	+... .
k=1

Первый ряд в этом случае называют абсолютно сходящимся. Сумма абсолютно сходящегося ряда не зависит от порядка членов.

Если первый ряд сходится, а второй расходится, то первый ряд называют условно (неабсолютно) сходящимся. Сумму условно сходящегося ряда путем перестановки его членов можно сделать равной любому данному числу.

Ряд, у которого любые два соседних члена имеют разные знаки, т.е. ряд

∞	(−1)k+1 a	= a −a +a −a +a −...					(a		> 0, k =1, 2, ...)
∑	(−1)k+1 a	= a −a +a −a +a −...					(a	k	> 0, k =1, 2, ...)
k=1	k	1	2	3	4	5		k
k=1

называют знакочередующимся рядом.

113

			∞	(−1)k+1 a
П р и з н а к Л е й б н и ц а. Знакочередующийся ряд ∑				(−1)k+1 a
			k=1	k
сходится, если выполнены условия:			k=1
сходится, если выполнены условия:
lim a	= 0, a ≥ a	k+1	(k =1, 2, 3, ...).
k→∞ k	k	k+1

При замене суммы сходящегося знакочередующегося ряда суммой n первых его членов погрешность не превышает модуля первого


из отброшенных членов, т.е.				Rn			≤		an+1			.

11. Исследовать, сходится ли знакопеременный ряд
1− 1	−	1	+		1		+	1			−		1		−	1	+... .

5	52		53			54				55					56
Составим ряд из абсолютных членов данного ряда
	1+ 1 +					1			+	1				+... .

			5			52				53

Последний ряд сходится как геометрический ряд со знаменателем

q = 1 <1. Следовательно, данный ряд также сходится; он является аб-
5
солютно сходящимся рядом.			∞		=1− 1	+ 1	− 1
			∞					+...
12. Исследовать, сходится ли ряд ∑ (−1)k−1 1								+...
			k=1	k	2	3	4
Условия признака Лейбница здесь выполняются:
1 > 1	> 1	> 1	> ... , lim 1	= 0 .
2	3	4	x→∞ k

Ряд сходится, но не абсолютно, так как ряд из модулей его членов


	∞		=1+		1 +		1 +... .
расходится; это гармонический ряд ∑ 1
∞	k=1 k				2		3
	(−1)k−1		1			1			1		1
13. Сколько членов ряда ∑				=1	−			+		−		+... нужно
			4			4			4		4
k=1		k			2		3			4
взять, чтобы вычислить его сумму с точностью до 0,0001?

Этот ряд является знакочередующимся, удовлетворяющим ус-

ловиям признака Лейбница: 1 >	1	>	1	>	1	> ... ,	lim	1	= 0 . Следо-

24		34		44			k→∞ k4

вательно, данный ряд сходится, причем абсолютно, поскольку ряд

∞

∑

(−1)k−1

= ∑

является сходящимся (ряд Дирихле, α >1 ).

k=1

k=1 k4

Определим число членов ряда, которые нужно взять, чтобы вы-

числить его сумму с заданной точностью. Если

< 0,0001 или

, то k >10 .

10000

114


	Следовательно, нужно взять 10 членов ряда.									Так как
a	=		1	<		1	= 0,0001,	то получим оценку остатка R	< a	< 0,0001.
a	=			<			= 0,0001,	то получим оценку остатка R	< a	< 0,0001.
11		114			104			10	11
		114			104

Задачи

Найдите сумму ряда

											9				∞
1. 1		+ 1	+ 1	+	1	+... . 2. 1− 3				+	9		− 27 +... . 3. ∑					1		.
∞		3	9	27				∞	4	16			64		k=1		(3k −2)(3k +1)
∞			1					∞	1				∞			1
4. ∑							. 5.	∑				. 6. ∑							.
4. ∑	(4k −3)(4k +1)						. 5.	∑	k(k +2)			. 6. ∑		(	5 +k	)(		)	.
k=1								k=1					k=1		5 +k			5 +k +1

С помощью признаков сравнения исследовать, сходится ли ряд

∞	1	∞	1	∞	1	∞	2k
7. ∑		. 8. ∑		. 9. ∑		. 10. ∑		.
	7k +k				+2
k=1		k=1 k2 +6		k=1 k3		k=1 k(2k +1)

С помощью признака Даламбера исследовать, сходится ли ряд

∞	(2k)!		∞		α	∞	k	∞		4
11. ∑		. 12.	∑ k			. 13. ∑	2	. 14. ∑ k			.
	(k!)2						3k (2k −1)
k=1			k=1	6k		k=1		k=1	3k

С помощью признака Коши исследовать, сходится ли ряд

∞	(	3k −1	)	k	∞	(5k −3 )	k	∞	1	∞
15. ∑				. 16.	∑		. 17.	∑ k2k sink		. 18. ∑
									2k2
k=1		4k +2			k=1	3k +1		k=1		k=2

Исследовать, сходится ли знакопеременный ряд

1 .

(ln k)k

	∞	(−1)k		1			∞	(−1)k		1				∞	(−5)		k		∞	(−1)k	k
19.	∑	(−1)k		1		. 20.	∑	(−1)k		1	. 21.			∑	(−5)			. 22.	∑	(−1)k	k	.
k=1				k3			k=1			k!				k=11	+(−5)2k				k=1		2k −1
С точностью до 0,01 вычислите сумму ряда
23.	∞	(	−1)k−1		. 24.		∞ (−1)k		. 25.				∞	(−1)k−1		. 26.		∞ (−1)k−1
23.	∑		4k		. 24.		∑	k2	. 25.				∑	(2k)!		. 26.		∑	kk	.
k=1			4k			k=1		k2					k=1	(2k)!				k=1	kk
									Ответы
3			4			1	1	3					1
1. 2	. 2.		7 . 3.			3 . 4.	4 .	5. 4	. 6.						; 7–9. Сходится. 10. Расхо-
1. 2	. 2.		7 . 3.			3 . 4.	4 .	5. 4	. 6.			(	5 +1)		; 7–9. Сходится. 10. Расхо-

дится. 11. Расходится. 12–15. Сходится. 16. Расходится. 17–21. Сходится. 22. Расходится. 23. 0,21. 24. 0,82. 25. 0,46. 26. 0,79.

115

10.2. Степенные ряды

Степенным рядом называют функциональный ряд вида

∞	( x −a)k = a +a			( x −a) +a		( x −a)2 +... ,
∑ a	( x −a)k = a +a			( x −a) +a		( x −a)2 +... ,
k		0	1		2
k=0
где ak (k =1, 2, ...)	– постоянные, называемые коэффициентами ряда.
Если число а = 0, то ряд принимает вид
	∞		+a x +a x2			+... .
	∑ a xk = a		+a x +a x2			+... .
	k	0		1	2
	k=0

Радиусом сходимости этого ряда называют число R такое, что при x < R ряд сходится, а при x > R расходится.

Интервал (−R, R) в этом случае называют интервалом сходимости данного ряда. На концах интервала сходимости ряд может сходиться или расходиться.

Аналогично определяют радиус и интервал сходимости первого ряда: если при x −a < R ряд сходится, а при x −a > R расходится, то R – радиус сходимости, (a −R, a +R) – интервал сходимости. Степенной ряд в интервале его сходимости можно почленно дифференцировать и интегрировать.

Один из интервалов (a – R, a + R), [a – R, a + R), (a – R, a + R], [a – R, a + R] называется областью сходимости степенного ряда.

Радиус сходимости ряда можно вычислить по одной из формул

= lim k

, R = lim

k→∞

ak+1

Рядом Тейлора называют степенной ряд

f ( x ) = f (a) +

f ′(a)

( x −a) +

f ′′(a)

( x −a)2 +

f ′′′(a)

( x −a)3 +...

При а = 0 получают ряд, называемый рядом Маклорена

f ( x ) = f (0)

f′(0)

x +

f′′(0)

f′′′(0)

+... .

Функция f(x) разлагается в ряд Тейлора, если все ее производные ограничены одним и тем же числом, т.е.

f (n) ( x ) ≤C (n =1, 2, 3, ...).

116

Примеры

1. Найти сумму ряда 1+ x + x2 + x3 +... .

Это геометрический ряд со знаменателем q = x, он сходится при

x <1 . Применяя формулу S = ( a ) (в данном случае а = 1, q = x), 1−q

получаем S =	1	.
	(1− x )

Следовательно,

1=1+ x + x2 + x3 +... .

1− x

За м е ч а н и е. Записав в этом равенстве −x вместо х, получаем

разложение функции f ( x ) = 1+1x в степенной ряд:

=1− x + x2

− x3 +...

(

<1) .

1+ x

<1 .

Отметим, что равенство верно при

∞

(k +1)

2. Найти радиус и интервал сходимости ряда ∑

k=1

Применяем формулу

= lim k

. В соответствии с этой форму-

k→∞

лой находим

= lim k (k +1)k2

= lim (k +1)k 1

= lim

(1+

1 )k 1 = e .

k→∞

2 2

Следовательно, R = 2

– радиус сходимости, (−2

2) – интервал

сходимости.

( x +3)k

∞

3. Найти радиус и интервал сходимости ряда ∑

k2 4k

k=1

Применяя формулу R = lim

, получаем

ak+1

k→∞

= lim 4 (k +1)2

R = lim

= 4 .

(

k+1

k→∞

k +1

Следовательно, радиус сходимости ряда R = 4 и интервал сходи-

мости (–7, 1), так как здесь а = –3.

∞ ( x −4)2k

4. Найти область сходимости ряда ∑

k3 3k

k=1

Чтобы найти область сходимости ряда, достаточно определить его интервал сходимости и выяснить, сходится ли ряд на концах этого интервала.

117

Ряд содержит только четные степени х, при нечетных степенях х коэффициенты равны нулю; пользоваться формулами для определения радиуса сходимости здесь не представляется возможным.

Считая х фиксированным, применяем признак Даламбера к ряду из модулей членов данного ряда:

( x )

( x −4)2k+2 k3

( x −4)2 k3

( x −4)2

lim

k+1

= lim

( x )

( x −4)2k (k

+1)3 3k+1

(k +1)3

k→∞

k→∞ 3

Ряд расходится, если

( x −4)2

x −4

3 . Это значит, что

<1, или

R = 3 – радиус сходимости, (4 −

3, 4 +

3 ) – интервал сходимости.

3, 4 +

Исследуем, сходится ли ряд на концах отрезка 4 −

3 .

∞

(

− 3

)2k

∞

При x = 4 − 3 получается ряд ∑

= ∑

, который сходится

k3 3k

k=1

k=1 k3

(как ряд Дирихле, α = 3 >1 ). При x = 4 +

получаем тот же сходя-

щийся ряд.

Следовательно, областью сходимости данного ряда является отре-

зок 4 − 3, 4 +

3 .

4. Разложите в ряд по степеням х функцию f ( x )

1−3x

Воспользуемся равенством

=1+ x + x2 +...

(

<1) . Записав

− x

в этом равенстве 3х вместо х, получим ряд

=1+3x +(3x )2 +(3x )3

∞

(3x )k .

+... ,

= ∑

1−3x

k=0

Этот ряд сходится, когда

<1,

т.е. при

< 1

R = 1

– радиус

сходимости.

5. Разложите в ряд по степеням (х – 1) функцию

f ( x )

( x +2)

Найти радиус. Преобразуем данную функцию:

x +2

3 +( x −1)

( x

−1)

Использовав результат примера 1 и способ решения примера 4,

получим										2		( x −1)		3
	1			1				x −1
		= 1			= 1	1	−		+	( x −1)	−				+... .
				( x −1)						2			3
	x +2 3				3		3
			1+							3		3
				3

118

Этот ряд сходится, когда	( x −1)	<1, т.е. при	x −1	< 3; R = 3 – ра-


	3
диус сходимости; (−2, 4) интервал сходимости.

6. Разложить в ряд Маклорена функцию f ( x ) = cos x .

Находим производные данной функции и их значения при х = 0:
f ( x ) = cos x, f (0) =1;			f ′( x ) = −sin x = cos (x + π), f ′(0) = 0; f′′( x ) =
		2				(x +	3π	),
= −cos( x ) = cos( x + π) ,			f ′′(0) = −1; f ′′′( x ) = sin x = cos				3π
= −cos( x ) = cos( x + π) ,			f ′′(0) = −1; f ′′′( x ) = sin x = cos
						2
f ′′′(0) = 0; f IV ( x ) = cos x = cos ( x +2π), f (0) =1; …; f						(k) = cos (x + kπ),
f (k) (0) = cos (kπ).						2
f (k) (0) = cos (kπ).
2	f (k) ( x )			cos x + kπ
Поскольку	f (k) ( x )		=	cos x + kπ	≤1 при всех х, т.е. все производ-
				2
				2
ные ограничены одним и тем же числом C =1 , то данная функция

разлагается в ряд Маклорена, сходящийся в промежутке (−∞, + ∞). Подставляя найденные значения функции и ее производных при

х = 0 в общую формулу для ряда Маклорена, получаем искомое раз-

ложение

cos x =1− x2!2 + x4!4 − x66 +... .

Отметим, что разложение содержит только четные степени х (cos x – четная функция).

7. Разложить в ряд Тейлора функцию f ( x )= 1x по степеням x +3.

Искомое разложение можно найти с помощью общей формулы для ряда Тейлора, положив в ней а = –3 и вычислив значения производных этой функции при x = −3 . Его можно получить и другим

путем. В самом деле,

= −

= −3

( x +3) −3

3 −( x +3)

( x +3)

1−

= −

x +3

)

...

( x +

( x +3)2

( x

+3)k

Следовательно,

= −

−

−... −

3k+1

−... .

Этот

ряд сходится, когда

x +3

<1 , т.е. при −3 < x +3 < 3 , или −6 < x < 0 .

З а м е ч а н и е. Здесь использовано разложение

+ t

+...

(1−t )

(

<1 ).

119

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 / 2112 13 14 15 16 17 18 19 20 21 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Высшая математика

#
15.03.2025494.34 Кб01.5.docx
#
15.03.202584.76 Кб0RUIDe36db63eb41f434db1e76322c6c77209.jpg
#
15.03.2025123.04 Кб0Кр Вариант 10.docx
#
15.03.20257.65 Mб1Математический анализ и дифференциальные уравнения, справочное пособие к решению задач, Гусак А.А., 2003.pdf
#
15.03.20252.42 Mб0Метод. указания, задания и варианты кр.pdf
#
15.03.20254.65 Mб1Основы высшей математики_Гусак, Бричикова_2012 -208с.pdf