Основы высшей математики_Гусак, Бричикова_2012 -208с

А. А. Гусак, Е. А. Бричикова

ОСНОВЫ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ

Пособие для студентов вузов

Минск «ТетраСистемс»

УДК 51(075.8) ББК 22.1я73

Г96

А в т о р ы:

кандидат физико-математических наук, профессор кафедры общей математики и информатики Белорусского государственного университета А. А. Гусак; доцент кафедры высшей математики № 1 Белорусского национального технического университета Е. А. Бричикова

Р е ц е н з е н т ы:

кандидат физико-математических наук, доцент кафедры экономической информатики и математической экономики Белорусского государственного университета С. В. Рогозин; кандидат физико-математических наук, доцент кафедры теоретической и прикладной механики Белорусского государственного университета О. Н. Вярьвильская

Гусак, А. А.

Г96 Основы высшей математики : пособие для студентов вузов / А. А. Гусак, Е. А. Бричикова. – Минск : ТетраСистемс, 2012. – 208 с.

ISBN 978-985-536-274-7.

Пособие включает следующие разделы: линейная алгебра, аналитическая геометрия, введение в анализ, дифференциальное исчисление функций одной переменной, интегральное исчисление функций одной переменной, ряды, дифференциальные уравнения, дифференциальное исчисление функций нескольких переменных, теория вероятностей, математическая статистика. Содержит краткие теоретические сведения, примеры с подробными решениями и задачи для самостоятельной работы.

Предназначается студентам и преподавателям вузов, а также для самообразования.

УДК 51(075.8) ББК 22.1я73

ПРЕДИСЛОВИЕ

Учебное пособие содержит 14 разделов по программному материалу курса высшей математики. Каждый раздел состоит из соответствующих тем. Каждая тема включает теоретический материал: основные понятия, формулы, уравнения, формулировки теорем, признаков. За теоретическим материалом следуют примеры решения типовых задач различной степени трудности, задачи для самостоятельной работы, ответы к ним, а к некоторым – указания. Изложение учебного материала сопровождается иллюстрациями. В учебном пособии 250 примеров с подробными решениями, 390 задач для самостоятельной работы, 55 рисунков.

Учебное пособие будет полезным при повторении изучаемого материала, при выполнении контрольных работ, при подготовке к зачетам и экзаменам.

Приложен биографический словарь, в котором сообщаются краткие сведения о жизни и деятельности математиков, имена которых названы в учебном пособии.

3

I

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

Глава 1. МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ

1.1. Матрицы. Основные определения

Матрицей называют множество m n чисел, расположенных в прямоугольной таблице из m строк и n столбцов. Числа этой таблицы называют элементами матрицы. Обозначения матрицы:

Элементы ai1, ai2, ..., ain образуют i+ю строку (i = 1, 2, ..., m) , эле-

– k+ый столбец (k = 1, 2, ..., n) ; aik – элемент, который принадлежит i+й строке и k+му столбцу, числа i, k называют индексами элемента. Матрицу, которая имеет m строк и n столбцов называют матрицей размеров m n (читают эм на эн). Используют и более краткие обозначения матрицы размеров m n:

[aik ]mn , aik mn , (aik )mn .

Матрицу обозначают также одной заглавной буквой, например

Если необходимо отметить, что матрица А имеет m строк и n столбцов, то пишут Am×n , или Amn.

Две матрицы Amn = (aik )mn , Bpq = (bik )pq называют равными, если p = m, q = n и aik = bik (i = 1, 2, ..., m; k = 1, 2, ..., n); другими словами, ес-

ли они одинаковых размеров и их соответствующие элементы равны. Матрица, состоящая из одной строки, называется строчной мат-

рицей, или матрицей строкой. Строчная матрица имеет вид

[a1 a2 ... an ]

Матрица

a1a2 ,...

am

4

имеющая один столбец, называется столбцевой матрицей, или матрицей столбцом.

Матрицу, все элементы которой равны нулю, называют нулевой матрицей и обозначают буквой О:

Квадратной матрицей называют матрицу, у которой число строк равно числу столбцов (m = n):

Порядком квадратной матрицы называют число ее строк. Говорят, что элементы a11, a22, …, ann квадратной матрицы образуют ее главную диагональ (индексы одинаковы), а элементы a1n, a2 n–1, …, an1 вторую диагональ (сумма индексов равна n + 1).

Квадратная матрица называется симметрической, если aik = aki , т.е. равны ее элементы, симметричные относительно главной диагонали.

Диагональной матрицей называется квадратная матрица, у которой все элементы, не принадлежащие главной диагонали, равны нулю, т.е. матрица

Скалярной матрицей называется диагональная матрица, у кото-

рой aii = c(c = const ) при i = 1, 2, ..., n .

Единичной матрицей называется диагональная матрица, у которой все элементы главной диагонали равны единице. Единичную матрицу обозначают буквой Е:

Треугольной матрицей называется квадратная матрица, все элементы которой, расположенные по одну сторону от главной диагонали, равны нулю. Различают соответственно верхнюю и нижнюю треугольные матрицы:

5

Матрица AT , полученная из данной матрицы А заменой каждой ее строки столбцом с тем же номером, называется транспонированной относительно А.

1.2. Действия над матрицами

Линейные действия над матрицами. Линейными действиями над матрицами называют сложение и вычитание матриц, умножение матрицы на число. Сложение и вычитание определяются только для мат-

т.е. матрица, элементы которой равны суммам соответствующих элементов матриц слагаемых. Сумма двух матриц А и В обозначается

А + В.

т.е. матрица, полученная из данной умножением всех ее элементов на число α . Произведение матрицы А на число α обозначается Aα (или αA ).

Матрицу (−1) A называют матрицей, противоположной матрице А, и обозначают –А.

З а м е ч а н и е. Разность А – В двух матриц можно определить так:

6

Линейные действия над матрицами обладают следующими свойствами:

1)A +B = B + A ; 2) ( A +B) +C = A +(B +C ) ; 3) A +O = A ;

4)A +(−A) =O; 5) 1 A = A ; 6) α(βA) = (αβ) A ; 7) α( A +B) = αA +αB ;

8)(α+β) A = αA +βA ,

где А, В, С – матрицы одних и тех же размеров; О – нулевая матрица; (–А) – матрица, противоположная матрице А; α,β – любые действительные числа.

Умножение матриц.

Умножение определяется для квадратных матриц одного и того же порядка, а также для прямоугольных матриц, у которых число столбцов матрицы множимого равно числу строк матрицы множителя.

Произведением матрицы Amn = (aik )mn на матрицу Bnl = (bik )nl называется матрица Cml = (cik )ml , для которой

j=1

т.е. элемент сik матрицы Сml равен сумме произведений элементов i+й строки матрицы Аmn на соответствующие элементы k+го столбца матрицы Bnl. Матрица Сml имеет m строк (как и матрица А) и l столбцов (как матрица B). Произведение матрицы А на матрицу В обозначается АВ.

З а м е ч а н и е. Из того, что матрицу А можно умножить на матрицу В, не следует, что матрицу В можно умножать на А.

Если оба произведения AB и BA определены, то в общем случае AB ≠ BA. Если АВ = ВА, то матрицы А и В называются перестановочными или коммутирующими.

При умножении матриц единичная матрица Е играет роль единицы, а нулевая матрица О – роль нуля, так как АЕ = ЕА = А, АО = = ОА = O.

Найти сумму А + В и разность А – В.

В соответствии с определениями суммы и разности матриц, получаем

7

Найти 3A + 4B − 2C.

Принимая во внимание определения произведения матрицы на

щую условию 2А + Х = О, где О – нулевая матрица.

Из последнего равенства получаем, что Х = О – 2А, Х = –2А,

щую условию А + Х = Е, где Е – единичная матрица.

Из последнего равенства следует, что Х = Е – А. Подставляя выра-

Найти матрицу Х, удовлетворяющую условию А +Х = В.

Из последнего равенства следует, что Х= В – А. Подставляя выражения для В и А, находим:

6. Найти произведение АВ и ВА матриц:

8

Обе матрицы являются квадратными одного и того же порядка, поэтому существуют АВ и ВА.

Умножая «строку на столбец», находим:

З а м е ч а н и е. Результат умножения матриц в общем случае зависит от порядка множителей. В данном случае AB ≠ BA.

7. Найти произведения АВ и ВА матриц:

З а м е ч а н и е. Этот пример показывает, что произведение ненулевых матриц может быть нулевой матрицей и то, что AB ≠ BA.

9