Билеты экзамен

Вопрос 1.11

Неопределяемые понятия и аксиомы стереометрии

Простейшие фигуры в пространстве: точка, прямая, плоскость 1 Аксиома) В пространстве существуют плоскости. В каждой плоскости выполняются все аксиомы планиметрии.

2 Аксиома) Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна.

3 Аксиома) Какова бы ни была плоскость, существуют точки которые принадлежат и не принадлежат этой плоскости.

4 Аксиома) Если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки прямой лежат в этой плоскости. (Прямая лежит на плоскости или плоскость проходит через прямую)

Из аксиомы 4 следует, что если прямая не лежит в данной плоскости, то она имеет с ней не более одной общей точки. Если прямая и плоскость имеют одну общую точку, то говорят, что они пересекаются.

5 Аксиома) Если две плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой.

6 Аксиома) Любая плоскость разбивает множество не принадлежащих ей точек пространства на 2 пустых множества, так что:

1.Любые 2 точки, принадлежащие разным множествам, разделены 2.Любые 2 точки, принадлежащие одному множеству, не разделены

7 Аксиома) Расстояние между двумя дюбыми точками пространства одинаково для любой плоскости, которой принадлежат точки.

Следствия из аксиом

1)Через прямую a и не лежащую на ней точку А проходит плоскость, и притом только одна.

2)Через две пересекающиеся прямые a и b проходит плоскость, и при том только одна.

Вопрос 1.12

Следствия из аксиом стереометрии:

Следствие 1. Через любую прямую и не лежащую на ней точку можно провести плоскость, и притом только одну

Следствие 2. Через две пересекающиеся прямые можно провести плоскость, и притом только одну

Вопрос 1.13

Взаимное расположение двух прямых в пространстве

1)Две прямые называются параллельными в пространстве, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются

2)Две прямые называются пересекающимися, если они имеют единственную общую точку

3)Две прямые, которые не имеют общих точек и не параллельны, называются скрещивающимися

Признак скрещивающихся прямых

Если одна из двух прямых лежит в плоскости, а вторая пересекает эту плоскость в точке, не принадлежащей первой прямой, то эти прямые скрещиваются

Вопрос 1.14

Взаимное расположение двух прямых в пространстве. Если прямые в пространстве имеют общую точку, то либо они совпадают, либо пересекаются. Если же две прямые не имеют общих точек, то возможны два случая: они лежат в одной плоскости( и тогда параллельны ), либо не лежат в одной плоскости. Этот случай является специфическим именно для стереометрии.

Признак параллельности прямой и плоскости. Если прямые, не лежащие в плоскости, параллельны какой-либо прямой, лежащей в этой плоскости, то эти прямые и плоскость параллельны.

Теорема о линии пересечения плоскостей. Если плоскость проходит через прямую, параллельную другой плоскости, и пересекает эту плоскость, то линия пересечения плоскостей параллельна данной прямой.

Следствия из теоремы о линии пересечения плоскостей:

Следствие 1. Если через каждую из двух параллельных прямых проведена плоскость, причем эти плоскости пересекаются, то линия их пересечения параллельна каждой из этих прямых.

Следствие 2. Если прямая a параллельна прямой b, а прямая a b параллельна прямой c, то a параллельна c.

Следствие 3. Если прямая параллельна каждой из двух пересекающихся плоскостей, то она параллельна их линии пересечения.

Вопрос 1.15

Взаимное расположение плоскостей в пространстве

1)Две плоскости называются параллельными, если они не имеют общих точек (Признак - если две пересекающиеся прямые одной плоскости

параллельны двум прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны)

2)Две плоскости называют пересекающимися, если они не совпадают, и у них есть общие точки. В случае, когда две плоскости пересекаются, пересечением этих плоскостей является прямая линия.

Свойства параллельных плоскостей

1)Если две плоскости параллельны третьей, то они параллельны друг другу

2)Линии пересечения двух параллельных плоскостей третьей плоскостью параллельны

3)Отрезки параллельных прямых, заключенные между параллельными плоскостями, равны

4)Через каждую точку пространства, не лежащую в данной плоскости, можно провести плоскость, параллельную данной, и при этом только одну

Вопрос 1.16

Две плоскости называются параллельными, если они не имеют общих точек.

Свойства параллельных плоскостей:

1.Если две плоскости параллельны третьей, то они параллельны друг другу.

2.Линии пересечения двух параллельных плоскостей третьей плоскостью параллельны.

3.Отрезки параллельных прямых, заключенные между параллельными плоскостями, равны.

Вопрос 1.17

Линейная функция — функция вида y = kx + b

Графиком линейной функции является прямая

(k — тангенс угла между «верхней» частью прямой и её положительным направлением на оси Ox)

Общее уравнение прямой на плоскости — ax + by + c = 0 (a2 + b2 0)

Признак перпендикулярности двух прямых на плоскости: k1*k2 = -1 Признак параллельности двух прямых на плоскости: k1=k2

Угол между двумя прямыми (не превышает 90 град.):

Вопрос 1.18

Квадратичная функция — функция вида y = ax2 + bx + c (a 0).

Квадратное уравнение — уравнение вида ax2 + bx + c = 0 (a 0).

Теорема Виета:

Пусть для чисел x1 и x2 верны утверждения x1 + x2 = -p; x1x2 = 0, тогда x1 и x2 – корни уравнения

x2 + px + q = 0

Формулы для координат вершины параболы:

;

Вопрос 1.19

Необходимые и достаточные условия расположения корней квадратного трёхчлена относительно заданного числа

Вопрос 1.20

Градусная мера угла — измерение углов основано на сравнении их с углом, принятым за единицу измерения. В градусной мере за единицу измерения угла принимают один градус-угол, равный 1/180 части развернутого угла.

Радианная мера угла — величина угла в радианах. Углом в 1 радиан называют центральный угол, длина дуги которого равна радиусу окружности.

Тригонометрическая окружность. Тригонометрической окружностью называется окружность единичного радиуса с центром в начале

координат( точка (0;0) в осях xOy). За начало координат берется точка P0 (1;0). За положительное направление обхода берется направление против часовой стрелки.

Соответствие между действительными числами и точками на тригонометрической окружности:

1.Числу 0 ставится в соответствии точка P0 на окружности с координатами (1;0)

2.Положительному числу ставится в соответствие точка окружности , такая, что длина дуги , рассматриваемой против часовой стрелки, равна

3.Отрицательному числу ставится в соответствие точка , такая, что длина

, рассматриваемая по часовой стрелке, равна