Вышмат
.pdf
Вариант 5
В примерах с 1 по 14 решить задачи в соответствии с условиями варианта задания:
в примерах 1- 9, 11 найти общее решение (общий интеграл) или частное решение дифференциального уравнения;
в примере 10 написать общее решение дифференциального уравнения со специальной правой частью, не находя числовых значений неопределенных коэффициентов частного решения;
в примере 12 решить дифференциальное уравнение с помощью формулы Тейлора (найти первые три ненулевых члена разложения по формуле Тейлора);
в примерах 13-14 решить геометрическую и физическую задачу, путем составления дифференциального уравнения.
5.1 x 2y y 1; y 0 1.
5.2y x 2y ; y 1 1. 2x 4y 3
5.3xy2 y x2 y3 .
5.42xydx x2 y2 dy 0.
5.5y 2x y 2 ; y 2 3,y 2 0,25.
5.6y 1x .
5.72yy y 2 y2 .
5.8y 3y 3y y 0; y 0 1,y 0 0,y 0 3.
5.9y 6y 9y 5e 3xsinx .
5.10y 2y 8y ex 8cos2x .1
|
|
|
|
|
|
|
|
9e3x |
|
5.11 |
y |
9y |
18y 1 |
e 3x |
|||||
|
|
||||||||
5.12 |
y x2 |
y2; |
y 0 |
1. |
|||||
2
5.13 Записать уравнение кривой, проходящей через точку A 4; 1 и обладающей
свойством: отрезок, который касательная в любой точке кривой отсекает на оси Oy , равен квадрату абсциссы точки касания.
5.14 Конденсатор С разряжается на цепь, состоящую из последовательно включенных индуктивности L и активного сопротивления R . Найти силу тока i в
контуре, если при t 0;i0 0;dtdi UL0 .
71
Вариант 6
В примерах с 1 по 14 решить задачи в соответствии с условиями варианта задания:
в примерах 1- 9, 11 найти общее решение (общий интеграл) или частное решение дифференциального уравнения;
в примере 10 написать общее решение дифференциального уравнения со специальной правой частью, не находя числовых значений неопределенных коэффициентов частного решения;
в примере 12 решить дифференциальное уравнение с помощью формулы Тейлора (найти первые три ненулевых члена разложения по формуле Тейлора);
в примерах 13-14 решить геометрическую и физическую задачу, путем составления дифференциального уравнения.
6.1 |
y |
4x 2y 1. |
|
|
|
|
|
|||||
6.2 |
y2 x2 y xy y . |
|
|
|
|
|
||||||
6.3 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
. |
|
1 x |
|
y |
2xy 1 |
x |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||
6.4 |
2 2xy dx |
2x dy 0. |
|
|
|
|
||||||
|
y |
|
|
|
|
|
y2 |
|
|
|
|
|
6.5y y 1 y .
6.6xy y x2ex .
6.7xy 5 y 4 0.
6.8y 9y 0; y 0 2,y 0 3,y 0 0.
6.9y 2y y e xcosx .
6.10y 4y xe2x sinx x2 .
|
|
|
2 |
|
2 |
|
6.11 y |
|
|
y sin x . |
|||
|
|
|||||
6.12xy ysinx x; y 1, y 0.
6.13Записать уравнение кривой, проходящей через точку A 4; 10 , если
известно, что отрезок, отсекаемый касательной к кривой на оси ординат, равен полусумме координат точки касания.
6.14 Тело падает с высоты h при начальной скорости 0 0. Найти зависимость
между скоростью и пройденным путем, если сила сопротивления воздуха пропорциональна квадрату скорости.
72
Вариант 7
В примерах с 1 по 14 решить задачи в соответствии с условиями варианта задания:
в примерах 1- 9, 11 найти общее решение (общий интеграл) или частное решение дифференциального уравнения;
в примере 10 написать общее решение дифференциального уравнения со специальной правой частью, не находя числовых значений неопределенных коэффициентов частного решения;
в примере 12 решить дифференциальное уравнение с помощью формулы Тейлора (найти первые три ненулевых члена разложения по формуле Тейлора);
в примерах 13-14 решить геометрическую и физическую задачу, путем составления дифференциального уравнения.
7.11 y2 dx 1 x2 dy 0.
7.2y2 2xy dx x2dy 0.
7.3y 2y 4x .
7.41 y2sin2x dx 2ycos2xdy 0.
7.51 x2 y 1 y 2 0.
7.6y x sinx .
7.7y y 4 y 2 0.
7.8y 3y 2y 0; y 0 0,y 0 5,y 0 1.
7.9y 5y 6y 5e 2xcosx .
7.10y 4 y 3x 10sinx 6cosx .
|
|
|
|
|
|
|
4e 2x |
|
|
7.11 |
y |
6y |
8y 2 e2x . |
||||||
|
|
||||||||
7.12 |
y x3 |
y2; |
y 0 0,5. |
||||||
7.13 Записать уравнения кривых, обладающих свойством: площадь треугольника, образованного касательной к кривой, перпендикуляром, опущенным из точки касания на ось абсцисс, и осью абсцисс, есть величина
постоянная, равная b2 .
7.14 Лодка замедляет свое движение под действием сопротивления воды, которое пропорционально скорости лодки. Начальная скорость лодки равна 2 м/с, а ее скорость через 4 с равна 1 м/с. Через сколько секунд скорость лодки будет равна 0,25 м/с? Какой путь может пройти лодка до остановки?
73
Вариант 8
В примерах с 1 по 14 решить задачи в соответствии с условиями варианта задания:
в примерах 1- 9, 11 найти общее решение (общий интеграл) или частное решение дифференциального уравнения;
в примере 10 написать общее решение дифференциального уравнения со специальной правой частью, не находя числовых значений неопределенных коэффициентов частного решения;
в примере 12 решить дифференциальное уравнение с помощью формулы Тейлора (найти первые три ненулевых члена разложения по формуле Тейлора);
в примерах 13-14 решить геометрическую и физическую задачу, путем составления дифференциального уравнения.
8.1ey 1 x2 dy 2x 1 ey dx 0.
8.2x y 2 1 x y 0.
8.3y 2xy y2ex2 .
8.4xdx ydy ydx 2 xdy .
x2 y2 x
8.5y cos2x .
8.6y y 2 2e y .
8.7y ex 1 y 0.
8.8y 7y 11y 5y 0; y 0 2,y 0 1,y 0 4 .
8.9y 4y x2 .
8.10y 8y 20y 5xe4xsin2x .
8.11 y y |
e x |
2 e x |
8.12y xy y2; y 0 1,y 0 2.
8.13Найти кривую, обладающую следующим свойством: если в любой точке кривой провести касательную, то точка пересечения этой касательной с осью ОХ будет являться вершиной равнобедренного треугольника, у которого основанием является отрезок, соединяющий начало координат с точкой касания.
8.14Метеорит, находящийся под влиянием земного притяжения, из состояния покоя начинает прямолинейно падать на Землю с высоты h . Какой была бы скорость метеорита при достижении им поверхности Земли, если бы отсутствовала земная атмосфера? Радиус Земли R 6377 км.
74
Вариант 9
В примерах с 1 по 14 решить задачи в соответствии с условиями варианта задания:
в примерах 1- 9, 11 найти общее решение (общий интеграл) или частное решение дифференциального уравнения;
в примере 10 написать общее решение дифференциального уравнения со специальной правой частью, не находя числовых значений неопределенных коэффициентов частного решения;
в примере 12 решить дифференциальное уравнение с помощью формулы Тейлора (найти первые три ненулевых члена разложения по формуле Тейлора);
в примерах 13-14 решить геометрическую и физическую задачу, путем составления дифференциального уравнения.
9.12x 1 y2 y 1 x2 .
9.23y 7x 7 dx 3x 7y 3 dy 0.
9.3dydx xy xy2 .
9.43x2y2 y2 dx 2x3y3 5y dy 0.
9.5y 1 y 2 .
9.6xy 1 y 2 ; y 1 0;y' 1 0.
9.72xy y y 2 1.
9.8y 3y 0; y 0 6,y 0 15,y 0 36.
9.9y 2y x2 x .
9.10y y sinx 2e x .
9.11y 3y 2y 3 1e x .
9.12 y x y2; |
y 0 1. |
9.13 Записать уравнения кривых, обладающих свойством: площадь трапеции, ограниченной осями координат, касательной к кривой и перпендикуляром, опущенным из точки касания на ось абсцисс, есть величина постоянная, равная
3a2 .
9.14 В коническую воронку высотой Н и углом при вершине конуса 2 налита вода. Найти зависимость между переменной высотой уровня воды h в воронке
и временем истечения t, если площадь отверстия s см2 . Определить полное время истечения воды.
75
Вариант 10
В примерах с 1 по 14 решить задачи в соответствии с условиями варианта задания:
в примерах 1- 9, 11 найти общее решение (общий интеграл) или частное решение дифференциального уравнения;
в примере 10 написать общее решение дифференциального уравнения со специальной правой частью, не находя числовых значений неопределенных коэффициентов частного решения;
в примере 12 решить дифференциальное уравнение с помощью формулы Тейлора (найти первые три ненулевых члена разложения по формуле Тейлора);
в примерах 13-14 решить геометрическую и физическую задачу, путем составления дифференциального уравнения.
10.1y sinx y .
10.22x 3y 5 3x 2y 5 y 0.
10.3y x y xcosx .
10.4x y dx x 2y dy 0.
10.5y 1x .
10.6y3y 1; y 1 1,y 1 0.
10.7xy xy 2 y 0.
10.8y 3y 0; y 0 6,y 0 0,y 0 3.
10.9y 9y 3cos3x .
10.10y 5 4y 3 x 2 5exsinx .
10.11y 16y sin416 x .
10.12 4x2 y y 0; |
y 1 1, |
y 1 0,5. |
10.13 Записать уравнения кривых, обладающих свойством: площадь треугольника, ограниченного касательной, осью абсцисс и отрезком от начала
координат до точки касания, есть величина постоянная, равная a2 .
10.14 В сосуд, содержащий 20 л воды, непрерывно со скоростью 5 л в минуту поступает раствор, в каждом литре которого содержится 0,2 кг соли. В сосуде раствор перемешивается, и смесь вытекает из сосуда с той же скоростью.
Сколько соли будет в сосуде через 4 мин?
76
Вариант 11
В примерах с 1 по 14 решить задачи в соответствии с условиями варианта задания:
в примерах 1- 9, 11 найти общее решение (общий интеграл) или частное решение дифференциального уравнения;
в примере 10 написать общее решение дифференциального уравнения со специальной правой частью, не находя числовых значений неопределенных коэффициентов частного решения;
в примере 12 решить дифференциальное уравнение с помощью формулы Тейлора (найти первые три ненулевых члена разложения по формуле Тейлора);
в примерах 13-14 решить геометрическую и физическую задачу, путем составления дифференциального уравнения.
11.1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2x |
|
|
|
|
0. |
||
x |
sin |
y |
1 e |
|
cosy y |
|
||||||||||
e |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11.2 |
xy |
yln x . |
x2; y 0 1. |
|||||||||||||
|
||||||||||||||||
11.3 |
y 3x2 y x5 |
|||||||||||||||
11.4 |
2x 1 |
x2 y dx |
x2 ydy 0. |
|||||||||||||
11.5y 2xlnx .
11.6y ex 1 y 0.
11.7y y y 2 y 3 .
11.8y 4y y 6y 0; y 0 9,y 0 13,y 0 47.
11.9y 2y y ex x 3 .
11.10y 4y 2sin2x 3cos2x 1.
11.11y 0,25y 0,25ctg x /2 .
11.12 y x x2 y2; |
y 0 1. |
11.13Записать уравнение кривой, если известно, что расстояние от любой касательной до начала координат равно абсциссе точки касания.
11.14Цилиндрическая катушка изготовлена из медной проволоки. При прохождении через катушку электрического тока выделяется теплота. Вывести
формулу для температуры T T t установившегося режима как функции времени t .
77
Вариант 12
В примерах с 1 по 14 решить задачи в соответствии с условиями варианта задания:
в примерах 1- 9, 11 найти общее решение (общий интеграл) или частное решение дифференциального уравнения;
в примере 10 написать общее решение дифференциального уравнения со специальной правой частью, не находя числовых значений неопределенных коэффициентов частного решения;
в примере 12 решить дифференциальное уравнение с помощью формулы Тейлора (найти первые три ненулевых члена разложения по формуле Тейлора);
в примерах 13-14 решить геометрическую и физическую задачу, путем составления дифференциального уравнения.
12.1y2sinxdx cos2x lnydy 0.
12.2x 2y 1 dx 3x 6y 2 dy 0.
12.3x2 y xy 1 0.
12.4x x2y2 dx 2xy dy 0.
12.5y 2ctgx y sin3x .
12.6xy y x2 .
12.7 y |
y |
|
y |
; y 1 2 |
e, y 1 e. |
||
|
1 |
ln |
|
|
|||
|
|
||||||
|
x |
|
x |
|
|
||
12.8y 2y 0; y 0 6,y 0 7,y 0 20.
12.9y 3y 2y e3x 3 4x .
12.10y 4y 8y e2x sin2x .
12.11y 3y 2y 2e xex .
12.12 1 x y y 0; |
y 0 y 0 1. |
Записать уравнения кривых, для которых точка пересечения любой касательной с осью абсцисс имеет абсциссу, равную 2/ 3 абсциссы точки касания.
12.14 Колебательный контур, представляющий собой замкнутую электрическую цепь, обладает емкостью C , индуктивностью L и активным сопротивлением R . При переходе энергии электрического поля конденсатора в энергию магнитного поля катушки (и обратно) часть энергии контура затрачивается на активном сопротивлении, в результате чего величина напряжения на конденсаторе постепенно уменьшается. Найти закон изменения тока I в контуре.
78
Вариант 13
В примерах с 1 по 14 решить задачи в соответствии с условиями варианта задания:
в примерах 1- 9, 11 найти общее решение (общий интеграл) или частное решение дифференциального уравнения;
в примере 10 написать общее решение дифференциального уравнения со специальной правой частью, не находя числовых значений неопределенных коэффициентов частного решения;
в примере 12 решить дифференциальное уравнение с помощью формулы Тейлора (найти первые три ненулевых члена разложения по формуле Тейлора);
в примерах 13-14 решить геометрическую и физическую задачу, путем составления дифференциального уравнения.
13.1y xy a 1 xy ; y 1 a .
a
13.28x 4y 1 4x 2y 1 y 0.
13.3 |
x2 |
|
3 |
|
|
xdx |
|
y |
|
dy. |
|
y |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2y |
|
|
1 |
|
||
13.4 |
|
|
3 |
y cosxy dx xcosxy |
|
|
dy 0. |
|
x |
x |
2 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
||
13.5xy y xsin yx .
13.61 x2 y 2xy 0; y 0 0,y 0 3.
13.7y y y 2 y4 .
13.8y 2y 0; y 0 8,y 0 0,y 0 6.
13.9y 2y 4x2 3.
13.10y 6y 10y 3xe 3x 2e3xcosx .
|
|
|
|
|
5e x |
|
|
13.11 y |
2y |
y |
3 x 1 . |
||||
|
|
||||||
13.12 y 2cosx xy2; y 0 1.
Записать уравнения кривых, обладающих свойством: длина отрезка оси абсцисс, отсекаемого касательной и нормалью, проведенными из произвольной точки кривой, равна 2l .
13.14 Поглощение светового потока тонким слоем воды пропорционально толщине слоя и потоку, подающему на его поверхность. При прохождении через слой толщиной 1 м поглощается 1/ 4 первоначального светового потока. Какая часть светового потока дойдет до глубины h ?
79
Вариант 14
В примерах с 1 по 14 решить задачи в соответствии с условиями варианта задания:
в примерах 1- 9, 11 найти общее решение (общий интеграл) или частное решение дифференциального уравнения;
в примере 10 написать общее решение дифференциального уравнения со специальной правой частью, не находя числовых значений неопределенных коэффициентов частного решения;
в примере 12 решить дифференциальное уравнение с помощью формулы Тейлора (найти первые три ненулевых члена разложения по формуле Тейлора);
в примерах 13-14 решить геометрическую и физическую задачу, путем составления дифференциального уравнения.
14.1a2 y2 dx 2x ax x2 dy 0; y a 0.
14.2x y dx x y 1 dy 0.
14.3y ycosx cosx; y 0 1.
14.42 9xy2 xdx 4y2 6x3 ydy 0.
14.5xy y 0.
14.6y x 242 5 .
14.71 y 2 2yy .
14.8y y 16y 20y 0; y 0 5,y 0 3,y 0 10.
14.9y y y y 2xex .
14.10y 9y 3e3x cosx .
14.11y 2y y 2e x 3 x .
14.12y y 1; y 1 1, y 1 0. y x
14.13Записать уравнение кривой, проходящей через точку A 2; 4 и
обладающей свойством: длина отрезка, отсекаемого на оси абсцисс касательной, проведенной в любой точке кривой, равна кубу абсциссы точки касания.
14.14 Пустой железный шар находится в стационарном тепловом состоянии (т.е. в состоянии, при котором температура в разных точках тела разная, но в каждой отдельной точке с течением времени не изменяется). Внутренний радиус шара 6
см, внешний – 10 см, температура внутренней поверхности 2000C , а внешней
200C . Найти температуру в точках, находящихся на расстоянии 9 см от центра шара.
80