Добавил:

Dolin_TOP Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Московский технический университет связи и информатики

Предмет:

Высшая математика

Файл:

Вышмат

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

04.12.2024

Размер:

950.34 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 115 6 7 8 9 10 11 > Следующая >>>

Вариант 26. Часть 1.

Определенные и несобственные интегралам.

I.	Вычислить интегралы:
																sin lnx dx
	6			dx		1		dx				2	dx		e	sin lnx dx
1.					;	2.					; 3.			;	4.		;
1.			1	3x 2	;	2.		x	2	2	; 3.		5 2cosx	;	4.	x	;
	1					1						0			1
	1					1	1					0			1
6.	1			dx		.
6.	1	3 x 1 x				.
	0	3 x 1 x

16xdx

5.1 16x4 1;

II. Геометрические приложения определенных интегралов. Вычислить площадь области, ограниченной кривыми:

1.y ln x 2 , y 2lnx, y 0.

2.Внутриокружности ρ sinφ иодновременновнечетырёхлепестковойрозы

ρ sin2φ .

Вычислить длинудугикривой:

3. x2 y2 10, внутриветвейгиперболы xy 3.

4. Найти длину дуги кривой:		3	0 t		.
	x ch t,			2
	y sh3t,

Часть 2.

Кратные и криволинейные интеграла. Теория поля.

1. Расставить пределы интегрирования двумя способами в двойном интегралеf x,y dxdy в декартовых координатах для области D : y 9 x2 , y 0,

y x .

2. Найти массу неоднородной пластины D : x 2, y x, y 3x,если поверхностная плотность в каждой ее точке x,y 2x2 y2.

3.Найти статический момент однородной пластины D : x2 y2 2x 0, y x 0, y 0, относительно оси Ox , используя полярные координаты.

4.Найти координаты центра масс однородного тела, занимающего область V :

x 0, y 0, z 0, x y z 3.

5.	Найти момент инерции однородного тела относительно оси Oz ,
занимающего область V : z 4 x2 y2 ,		z 2.
6.	Найти объем тела, ограниченного поверхностями: z 6 x,		z 0,
	x2 y 2 2 4, x2 y 1 2 1.
7.	Вычислить (непосредственно или по формуле Грина):
	41

y2dx x y 2 dy, где L контур треугольника ABC : A 1;0 ,	B 1;1 , C 0;1 .
L
8. Найти единичный вектор нормали к поверхности x2 y2 z2	1 в точке

M 0,1,2 ,составляющую острый угол с положительным направлением оси Oz. 9. Найти дивергенцию и ротор векторного поля F yz2 yzi 2xzj 3xyk .

Выяснить, является ли данное поле потенциальным или соленоидальным; если да, то найти соответственно его скалярный или векторный потенциал и сделать проверку соответствующего потенциала.

10. Вычислить (непосредственно или по формуле Остроградского – Гаусса) поток векторного поля F y z i x 6y j yk через внешнюю поверхность пирамиды, образуемую плоскостью x 2y 2z 2 и

координатными плоскостями.

11. Вычислить (непосредственно или по формуле Стокса) циркуляцию векторного поля F (3y 2x)i (6x y) j (4z y2 3)k по контуру

x2 y2 z 1 0,

L : z 2.

Вариант 27. Часть 1.

Определенные и несобственные интегралам.

Вычислить интегралы:

3/4

;

2. 1

x15

1 3x8dx;

3. a x2

a2 x2 dx;

4. 4

;

x 1

1 3sin

x3dx

5. 2

;

6. 0

x2 x 1

64 x2

II. Геометрические приложения определенных интегралов.

Вычислить площадь области, ограниченной кривыми:

1. y 4 1 x2 , y

1 x2

2. Внутриокружности 2(sin сos ) иодновременновнеокружности 6. Вычислить длинудугикривой:

3.Вычислить длину дуги той части кривой y	2	x3	1	x, которая
	3		2

расположена в вертикальной полосе, ограниченной прямыми x 1 и x 4. 4.Найти длину дуги кривой r aeb a,b 0 , находящейся внутри

окружности r a.

Часть 2.

Кратные и криволинейные интеграла. Теория поля.

1.	Расставить пределы интегрирования двумя способами в двойном интеграле
	f x,y dxdy в декартовых координатах для области D : x 2y 6 0,			y x,
	D
y 0.
2.	Найти массу неоднородной пластины D : y x, y x2,если поверхностная
плотность в каждой ее точке x,y 2x 3y.
3.	Найти статический момент однородной пластины D : x2 y2 2x 0,
y x 0,		x y 0,относительно оси Oy , используя полярные координаты.
4.	Найти координаты центра масс однородного тела, занимающего область V :
z 2 x2 y2 , x2 y2 9, z 0.
5.	Найти момент инерции однородного тела относительно оси		Oz ,
занимающего область V : z 3 x2 y2 , z 3.
6.	Найти объем тела, ограниченного поверхностями: z x2 y2,		z 0,	y 2,
	y 2x,	y 6 x.
7.	Вычислить (непосредственно или по формуле Грина):
L	dxx dyy	, где L квадрат ABCD : A 1;0 , B 0;1 , C 1;0 , D 0; 1 .
8.	Найти единичный вектор нормали к поверхности x2 y 2z2		1 в точке
M 1, 2,1 ,составляющую острый угол с положительным направлением оси					Oz.
					Oz.
9.	Найти дивергенцию и ротор векторного поля F 2x x y z i y2 j z2k

10. Вычислить (непосредственно или по формуле Остроградского – Гаусса) поток векторного поляF 2y z i x 2y j yk через внешнюю поверхность пирамиды, образуемую плоскостью x 3y 2z 6 и

координатными плоскостями.

11. Вычислить (непосредственно или по формуле Стокса) циркуляцию векторного поля F (y 3x)i (7x y) j (2xy 3z 4)k по контуру

x2 y2 (z 1)2,

L : z 0.

Вариант 28. Часть 1.

Определенные и несобственные интегралам.

I. Вычислить интегралы:

1/x

; 2.

dx;

3. tg4xdx;

; 5.

;

4x 24

6. 6

3 4 x

II. Геометрические приложения определенных интегралов.

Вычислить площадь области, ограниченной кривыми:

1. y

2)2

, y 1

5x .

2. Внутрикардиоиды ρ 1 cosφ иодновременновнеокружности ρ (1

3)sinφ.

Вычислить длинудугикривой:

3. y arccos

x x2

, a 0,

0 x 1.

x 1 cos2t,

4.Найти длину дуги кривой:

0 t

sin3t,

y sint

Часть 2.

Кратные и криволинейные интеграла. Теория поля.

1. Расставить пределы интегрирования двумя способами в двойном интегралеf x,y dxdy в декартовых координатах для области D : y x, 2x y 3,

y3.

2.Найти массу неоднородной пластины D : x 0, x 2y 2 0, x y 1,если

поверхностная плотность в каждой ее точке x,y x2.

3. Найти статический момент однородной пластины D : x2 y2 2y 0,

y x 0, x y 0, относительно оси Ox , используя полярные координаты.


4.	Найти координаты центра масс однородного тела, занимающего область V :
2z x2 y2, z 3.
5.	Найти момент инерции однородного тела относительно оси Ox ,
занимающего область V : x 2 y2 z2 ,		x 2.

6.Найти объем тела, ограниченного поверхностями: z2 x2 y2, 2 z2 x2 y2 1.

7.Вычислить (непосредственно или по формуле Грина):

x y 2 dx x y 2 dy, где L контур треугольника ABC : A 0,0 , B 1,0 ,

C1,1 .

8.Найти единичный вектор нормали к поверхности x2 y2 z 1 в точке

M 2,1,2 ,составляющую острый угол с положительным направлением оси Oz. 9. Найти дивергенцию и ротор векторного поля F z yzi xzj 2xyk .

10. Вычислить (непосредственно или по формуле Остроградского – Гаусса) поток векторного поля F y z i xj y 2z k через внешнюю поверхность пирамиды, образуемую плоскостью 2x 2y z 2 и координатными

плоскостями.

11. Вычислить (непосредственно или по формуле Стокса) циркуляцию векторного поля F (2y x)i (3x 4y) j (2xy 2z 1)k по контуру

x2 y2 (z 3)2,

L : z 4.

Вариант 29. Часть 1.

Определенные и несобственные интегралам.

I. Вычислить интегралы:

	1
2	1		1		2		2			x					1 2x	dx
1. cos5 xdx;	2.		1	x		dx;	3.		e		dx; 4.	xsinxdx	;	5.			2	;
1. cos5 xdx;	2.		x	2		dx;	3.	e	x		dx; 4.	2	;	5.	x 1 x		2	;
0	2		x				1	e	1		0	1 cos x		1	x 1 x
		2

6.dx .

1 x lnx

II.Геометрические приложения определенных интегралов.e2

Вычислить площадь области, ограниченной кривыми:

1.y xe2x , y xe 2 .

2.Внутриокружности = 3/2 иодновременновнекардиоиды ρ 3(1 cosφ).

Вычислить длинудугикривой:
3. y 1/sin2x ,	6	x	3	.
	6		3		a
4. Найти длину петли кривой:					a	.
4. Найти длину петли кривой:					cos4 4	.
				45

Часть 2.

Кратные и криволинейные интеграла. Теория поля.

1.	Расставить пределы интегрирования двумя способами в двойном интеграле
	f x,y dxdy в декартовых координатах для области D : x 0,					y 1, y 1,
	D		x .
y log1			x .
			2
2.	Найти массу неоднородной пластины D : x 0, y 0, x 2y 1, если
поверхностная плотность в каждой ее точке x,y 2 x2 y2 .
3.	Найти статический момент однородной пластины D : x2 y2 2x 0,
x y 0, y x 0, относительно оси Oy , используя полярные координаты.
4.	Найти координаты центра масс однородного тела, занимающего область V :
z		x2 y2 ,		z 4.
5.	Найти момент инерции однородного тела относительно оси					Oy ,
занимающего область V : y 3 x2 z2 ,					y 3.
6.	Найти объем тела, ограниченного поверхностями: z x2 2,					z 0, y x,
y 2x,			x 0,	y 0.
7.	Вычислить (непосредственно или по формуле Грина):
	x2	y2 dx 2xydy , где L контур треугольника ABC : A 1;1 , B 3;1 , C 3;3
L
.	Найти единичный вектор нормали к поверхности 4x y2 2z2 1 в точке
8.
M 1,1, 1 ,составляющую острый угол с положительным направлением оси							Oz.
							Oz.
9.	Найти дивергенцию и ротор векторного поля F x2 xi 3yj .

10. Вычислить (непосредственно или по формуле Остроградского – Гаусса) поток векторного поля F x z i zj 2x y k через внешнюю поверхность пирамиды, образуемую плоскостью 3x 2y z 6 и координатными

плоскостями.

11. Вычислить (непосредственно или по формуле Стокса) циркуляцию векторного поля F (x y)i (4x 5y) j (x2 5z 2)k по контуру

L : x2 y2 (z 2)2,

z 1.

Вариант 30. Часть 1.

Определенные и несобственные интегралам.

I.	Вычислить интегралы:
	ln5 ex				2				2				2
	ln5 ex		ex 2			2	1 x		2	dx			2	2			lnx
1.			x		dx; 2.			dx;	3.		;	4.	x		lnxdx;	5.			dx;
1.		e	x	3	dx; 2.		1 x	dx;	3.	5 3cosx	;	4.	x		lnxdx;	5.	1 x	2	dx;
	0	e		3	0		1 x		0	5 3cosx			1			0	1 x

6.	x ln sinx dx.
	0
II. Геометрические приложения определенных интегралов.
Вычислить площадь области, ограниченной кривыми:
1.	y arcsinx,				y arctg2x .

2. Внутрикардиоиды ρ 3(1 cosφ) иодновременновнутрикардиоиды ρ 1 cosφ

.
Вычислить длинудугикривой:		5 5			5
3.Вычислить длину дуги той части кривой	y	5 5	x6		5	5	x4 ,	которая
3.Вычислить длину дуги той части кривой	y	6	x6	16			x4 ,	которая
		6		16
расположена в вертикальной полосе, ограниченной прямыми								x 1и x 32.

4.Вычислить длину дуги кардиоиды ρ 2(1 cosφ), находящейся внутри окружности ρ 1.

Часть 2.

Кратные и криволинейные интеграла. Теория поля.

1.	Расставить пределы интегрирования двумя способами в двойном интеграле
	f x,y dxdy в декартовых координатах для области D : x 0, y 0, y 1,
	D
x		4 y2 .
2.	Найти массу неоднородной пластины D : x 0, y 0,		x y 2,если
поверхностная плотность в каждой ее точке x,y x2			y2.
3.	Найти статический момент однородной пластины D :		x2 y2 2y 0,

y x 0, x y 0, относительно оси Ox , используя полярные координаты.

4.	Найти координаты центра масс однородного тела, занимающего область V :
z x2 y2, x2 y2 4, z 0.
5.	Найти момент инерции однородного тела относительно оси Oz ,
занимающего область V : z 3 x2 y2,			z 0.
6.	Найти объем тела, ограниченного поверхностями: z			x2 y2 1,
z		3 x2 y2 .
		47

7. Вычислить (непосредственно или по формуле Грина):

x y 2 dx x y 2 dy, где L контур треугольника ABC : A 0,0 , B 2,2 ,

C4,0 .

8.Найти единичный вектор нормали к поверхности 3x2 y2 z 1 в точке M 1, 1, 1 ,составляющую острый угол с положительным направлением оси

Oz.

9. Найти дивергенцию и ротор векторного поля F 2xyz yzi xzj xyk .

10. Вычислить (непосредственно или по формуле Остроградского – Гаусса) поток векторного поля F zi x y j yk через внешнюю поверхность пирамиды, образуемую плоскостью 2x y 2z 2 и координатными

плоскостями.

11. Вычислить (непосредственно или по формуле Стокса) циркуляцию векторного поля F (2x y)i (6x 5y) j (3y2 6z 1)k по контуру

L : x2 y2 (z 3)2,

z 4.

2. Решение типового варианта

																																								Часть 1.
I. Вычислить интегралы:
																																																		x2 x 1											A							B						C			;
																																																		x2 x 1											A							B						C

																																														x x 1 x 1																x				x 1								x 1
																																												x2 x 1
	4				x		2		x 1											4						x		2			x 1													A x 1 x 1 Bx x 1 Cx x 1
1. 2					x				x 1							dx 2										x					x 1									dx				x 0: 1 A; A 1
1. 2								x3 x								dx 2						x x 1 x 1																		dx				x 0: 1 A; A 1
																																												x				1: 1 2B; B																1
																																																																2					1
																																												x				1: 1 2C; C																					1
	4											4	d				x	1										4 d						x		1																																	2
	4		dx							1		4	d				x	1							1			4 d						x		1									4			1										4		1												4
			dx							1															1																				4			1										4		1												4
2 x										2 2															2			2											ln			x			2			2ln					x 1					2			2ln				x 1							2
																x 1																	x 1						ln			x			2													2														2
																x 1																	x 1
ln4 ln2															1ln3								1ln5											1ln3 ln4 ln2 ln3																						1ln5 ln											6				.
ln4 ln2															1ln3								1ln5											1ln3 ln4 ln2 ln3																						1ln5 ln															.
															2								2											2																						2													5

2.			4			xtg2xdx													Пусть х и dx du,																														tg2xdx dv v tg2xdx
2.						xtg2xdx													Пусть х и dx du,

			0

		1 cos2 x																					dx																																								4


																																															x tgx x													tgx x dx
										2				dx																		dx tgx x																											04
						cos				2	x			dx							cos				2		x					dx tgx x																											04
						cos					x										cos						x																																				0

																4 d cosx													x2											2																	2


	4 1									4			0					cosx															04 4						16			ln								cosx				04			32
																														2												ln								cosx
																														2
									2		ln						2										2								1		ln2.
	4								32		ln						2				4						32								2		ln2.																		1
	4								32								2				4						32								2
				1																							Сделаем замену
				1
				2								dx																																				2			t						dt							2									dt
				2																																												2			t				t	2	dt							2
3.																																						1																	t
3.								x x			2	8x 2																							x			1														1																		1					8
				1				x x				8x 2																							x			t										3				1				8		2						3				t		1					8	2
				3																																		t														t2				t		2										t		t2					t	2
				3																																																t2				t														t2					t
3										dt											1			3										dt								1				3				d t 2
3						1 8t 2t											2				2			3						1 4t t2																3		9
	2					1 8t 2t															2			2						1 4t t2												2 2						9			t 2 2
																	2 t 2													2																		2
		1						arcsin																			3					1					arcsin					2	.
		1																									3					1										2
				2															3								2								2						3
				2															3																2						3		49
																																											49

Отметим, что при замене переменной меняются пределы интегрирования, и возвращаться к исходной переменной не нужно.

															Сделаем замену													tg		x		t,
																														x
	2					dx																							2
4.						dx																							2
4.		5 2sinx 3cosx													sinx					2t				,cosx				1 t	2		,dx						2dt
	0	5 2sinx 3cosx																		2t								1 t									2dt
					2														1 t2									1 t2								1 t2
1					2		dt							1				dt					1				dt				1				d			t 1
1				1 t		2	dt							1									1								1				d			t 1
				1 t									2
				4t				3		3t		2	2		2t		2								t	2	2t 4							t 1					2		3
0	5			4t				3		3t				0	2t		4t 8						0		t		2t 4				0			t 1							3
	5		1 t2						1 t2
			1 t2						1 t2
		1					t 1				1			1							1							.
		1					t 1				1			1							1
				arctg							0					arctg
			3	arctg					3		0			3		arctg						3				6 3
			3						3					3								3				6 3											dx

5. Вычислить несобственный интеграл первого рода																																			е							.
5. Вычислить несобственный интеграл первого рода																																			е		x lnx ln2 lnx					.
																																			е
				dx									d lnx					d lnlnx										1
				dx									d lnx					d lnlnx										1
е									e									e			ln2 lnx												ee		0			1		1.
	x lnx ln2 lnx											lnx ln2 lnx																lnlnx							0			1		1.
	x lnx ln2 lnx											lnx ln2 lnx																lnlnx
е									e									e

Здесь мы использовали справедливость формулы Ньютона-Лейбница для несобственных интегралов.

6. Вычислить несобственный интеграл второго рода 4																		dx		.
6. Вычислить несобственный интеграл второго рода 4																	16 x		2	.
																0	16 x
При			x 4		подынтегральная функция терпит разрыв, поэтому:
4		dx				4		dx		4		dx					x 4
4						4				4
					lim					lim					lim arcsin			0
0	16 x			2	lim			16 x	2	lim	4	2	x	2	lim arcsin		4
0	16 x					0		16 x		0	4		x				4
					0					0					0
															интеграл сходится.
lim arcsin 1							4	arcsin0 arcsin1						2	интеграл сходится.
	0						4							2
II. Вычислить площадь области, ограниченной кривыми:

	2			2		3			2		3		2
1. y		1	x				; y	1 x				Область определения х		1,	х	1;

кривая симметрична относительно обеих координатных осей.

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 115 6 7 8 9 10 11 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Высшая математика

#
05.12.20241.48 Mб1Билеты экзамен.pdf
#
04.12.2024950.34 Кб1Вышмат.pdf
#
04.12.202412.93 Mб36ОТВЕТЫ К ЗАЧЕТУ 1 СЕМ.docx
#
04.12.202416.63 Кб2Список вопросов для экзамена по высшей математике.docx