Добавил:

Dolin_TOP Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Московский технический университет связи и информатики

Предмет:

Высшая математика

Файл:

Вышмат

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

04.12.2024

Размер:

950.34 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 114 5 6 7 8 9 10 11 > Следующая >>>

	Часть 2.
	Кратные и криволинейные интеграла. Теория поля.
1.	Расставить пределы интегрирования двумя способами в двойном интеграле
	f x,y dxdy в декартовых координатах для области D : x = 1, x = 2, y 0,
	D
y = x2 .
2.	Найти массу неоднородной пластины D : y 0, y 2x, x y 6, если
поверхностная плотность в каждой ее точке x,y x2.
3.	Найти статический момент однородной пластины D : x2 y2 2x 0,

x2 y2 x 0, y 0, относительно оси Ox , используя полярные координаты.

4.	Найти координаты центра масс однородного тела, занимающего область V :
4y x2 z2,		y 9.
5.	Найти момент инерции однородного тела относительно оси		Ox ,
занимающего область V : x2 y2 z2, y2 z2 4, x 0.
6.	Найти объем тела, ограниченного поверхностями: z 4 x2,		y 0,	z y.
7.	Вычислить (непосредственно или по формуле Грина):
	x y 2 dx x y 2 dy, где L : y x2,
L		y x.

8.Найти единичный вектор нормали к поверхности 7x2 4y2 4z2 7 в точке M 1,1,1 ,составляющую острый угол с положительным направлением оси Oz.

9.Найти дивергенцию и ротор векторного поля F y xi zk .

Выяснить, является ли данное поле потенциальным или соленоидальным; если да, то найти соответственно его скалярный или векторный потенциал и сделать проверку соответствующего потенциала.

10. Вычислить (непосредственно или по формуле Остроградского – Гаусса) поток векторного поля F 2x z i y x j x 2z k через внешнюю поверхность пирамиды, образуемую плоскостью x y z 2 и координатными

плоскостями.

11. Вычислить (непосредственно или по формуле Стокса) циркуляцию векторного поля F ( x y)i (7x 5y) j (y2 4z 3)k по контуру

x2 y2 2z 3 0,

L :

z 2.

Вариант 20. Часть 1.

Определенные и несобственные интегралам.

Вычислить интегралы:

;

sinx sin2x sin3xdx;

3. e

sinxdx; 4.

;

x x

5. xe x2 dx;

49 x

II. Геометрические приложения определенных интегралов.

Вычислить площадь области, ограниченной кривыми:

y arcsinx,

y arcsin x 2 , y

2. Внутричетырёхлепестковойрозы ρ

sin2φ

иодновременновнутри

окружности ρ 1.

Вычислить длинудугикривой:

3.Вычислить длину дуги всей кривой

x 1 2 , которая расположена в

вертикальной полосе, левее прямой

x 1.

4.Найти длину дуги кривой:

cost,

0 t 1.

x t

y t2 sint,

Часть 2.

Кратные и криволинейные интеграла. Теория поля.

1. Расставить пределы интегрирования двумя способами в двойном интегралеf x,y dxdy в декартовых координатах для области D : y 0, x2 y,

	D
x		2 y2 .
2.	Найти массу неоднородной пластины D : x 0, y 0, x2 y2 4,если
поверхностная плотность в каждой ее точке x,y 4 x2.
3.	Найти статический момент однородной пластины D : x2 y2 2x 0,

x2 y2 x 0, y 0, относительно оси Oy , используя полярные координаты.

4.	Найти координаты центра масс однородного тела, занимающего область V :
x 5 y2 z2 , x 20.
5.	Найти момент инерции однородного тела относительно оси	Oz ,
занимающего область V : 2z x2 y2, x2 y2 4, z 0.
6.	Найти объем тела, ограниченного поверхностями: x2 y2 z2	4,	x2 y2 9.
	32

7. Вычислить (непосредственно или по формуле Грина):

2 x y dx x y dy , где L часть параболы y x2 и хорда, проходящая

L
через точки A 1;1 , B 1;1 .
8.	Найти единичный вектор нормали к поверхности 4x2 y2 z2 1 в точке
M 1, 2,1 ,составляющую острый угол с положительным направлением оси			Oz.
		F x 2yzi xzj xyk .
9.	Найти дивергенцию и ротор векторного поля

10. Вычислить (непосредственно или по формуле Остроградского – Гаусса) поток векторного поля F 2y z i x y j xk через внешнюю поверхность пирамиды, образуемую плоскостью x 2y 2z 4 и координатными плоскостями.

11. Вычислить (непосредственно или по формуле Стокса) циркуляцию
векторного поля						F (x y)i (3x y)	j (z 2x2 1)k по контуру
L :		2	y	2	z 3	0,
	x
	z	4.

Вариант 21. Часть 1.

Определенные и несобственные интегралам.

I.	Вычислить интегралы:

	3		2					2			4	dx		1	2		3x		2	lnxdx		arctgxdx
1. x					9 x				dx;		2.		;	3. x		e		dx;	4.	x5	;	5.			2	;
1. x					9 x				dx;		2.	2 cosx	;	3. x		e		dx;	4.	x5	;	5.	x	2	2	;
	0										0			0					1
	0										0			0					1			0 1
6.	3a					2x					dx.
6.	3a			x2						2	dx.
	2a			x2					2
		3					a
		3			4		a
					4

II. Геометрические приложения определенных интегралов. Вычислить площадь области, ограниченной кривыми:

1.y ex 1, y ex 4 , y 14.

2.Внутриокружности ρ cosφ иодновременновнекардиоиды ρ 1 cosφ.

Вычислить длинудугикривой:

3. y 6	cos(x /3)	, y 12.
	cos(x /3)

4. Найти длину гиперболической спирали 1, 34,43 . 33

Часть 2.

Кратные и криволинейные интеграла. Теория поля.

1.	Расставить пределы интегрирования двумя способами в двойном интеграле
	f	x,y dxdy в декартовых координатах для области D : y 0, y 1, y x,
	D
x		4 y2 .
2.	Найти массу неоднородной пластины D : y x2, y 2,если поверхностная

плотность в каждой ее точке x,y 2 y.

3.Найти статический момент однородной пластины D : x2 y2 2y 0, x y 0, x 0, относительно оси Ox , используя полярные координаты.

4.Найти координаты центра масс однородного тела, занимающего область V :

y x2			z2, x2 z2 10, y 0.
5.	Найти момент инерции однородного тела относительно оси Oz ,
занимающего область V : z 2 x2					y2 , z 2.
6.	Найти объем тела, ограниченного поверхностями: z2 4y,							x y,	x y 2.
7.	Вычислить (непосредственно или по формуле Грина):
			2		2
	xy2dy x2 ydx , где L эллипс			x		y	1.
	xy2dy x2 ydx , где L эллипс			2		2	1.
L				a		b
8.	Найти единичный вектор нормали к поверхности x2 y2							4z2 1 в точке
M		2,1,1 ,составляющую острый угол с положительным направлением оси								Oz.
										Oz.
9.	Найти дивергенцию и ротор векторного поля F x2 xi 3zk .

10. Вычислить (непосредственно или по формуле Остроградского – Гаусса) поток векторного поля F 2z x i x y j 3x z k через внешнюю поверхность пирамиды, образуемую плоскостью x y 2z 2 и координатными плоскостями.

11. Вычислить (непосредственно или по формуле Стокса) циркуляцию
векторного поля						F (y 3x)i (2x 3y)	j (x2 7z 1)k	по контуру
L :		2	y	2	z 2	0,
L :	x		y		z 2	0,
	z 1.

Вариант 22. Часть 1.

Определенные и несобственные интегралам.

Вычислить интегралы:

3 x 2 2

3. 3 xarctg

;

dx;

2 sin4 x cos2 xdx;

3 x 2

1 x 1 ln

1 3

5. 1

6. 0

;

x2 4x

x 5 x

II. Геометрические приложения определенных интегралов.

Вычислить площадь области, ограниченной кривыми:

y 2lnx,

y lnx,

x e.

2. Внутриокружности ρ sinφ иодновременновнетрёхлепестковойрозы ρ sin3φ. Вычислить длинудугикривой:

3.	Вычислить длину дуги той части кривой y 13			x2 2 3 , которая		8
расположена в горизонтальной полосе, ограниченной прямыми y						8	и y 9.
		4				3
4.		4	t, 0 t		.
4.	Найти длину дуги кривой: x sin		t, 0 t	2	.
	y cos2 t,			2

Часть 2.

Кратные и криволинейные интеграла. Теория поля.

1. Расставить пределы интегрирования двумя способами в двойном интегралеf x,y dxdy в декартовых координатах для области D : x 0, y 1, y 4, y D x.

2. Найти массу неоднородной пластины D : x 0, y 0,	x y 1,если
поверхностная плотность в каждой ее точке x,y x2	y2.

3.Найти статический момент однородной пластины D : x2 y2 2y 0, y x 0, x 0, относительно оси Ox , используя полярные координаты.

4.Найти координаты центра масс однородного тела, занимающего область V :

y 3 x2 z2 , x2 z2 16, y 0.

5. Найти момент инерции однородного тела относительно оси Ox , занимающего область V : x 1 y2 z2, x 0.

6.Найти объем тела, ограниченного поверхностями: x2 y2 z2 6, z x2 y2.

7.Вычислить (непосредственно или по формуле Грина):

x y dx x y dy , где L контур прямоугольника 1 x 4, 0 y 2.

8. Найти единичный вектор нормали к поверхности x2 y2 z 1 в точке

M	1,1,1 ,составляющую острый угол с положительным направлением оси			Oz.
		F x2 y 3yzi 2xzj	xyk .
9. Найти дивергенцию и ротор векторного поля

10. Вычислить (непосредственно или по формуле Остроградского – Гаусса) поток векторного поля F x z i x 3y j yk через внешнюю поверхность пирамиды, образуемую плоскостью x y 2z 2 и

координатными плоскостями.

11. Вычислить (непосредственно или по формуле Стокса) циркуляцию векторного поля F (3x 4y)i (y 5x) j (xy 3z 9)k по контуру

x2 y2 2z 1 0,

L :

z 1.

Вариант 23. Часть 1.

Определенные и несобственные интегралам.

I. Вычислить интегралы:


				3 dx
1.	4 cos3			3 dx	;	2.
		sinx
		2
		2
				dx
5.				dx			;
5.			x2 8x 25				;

3/2

;

3. 1 lnx

dx;

2x x

dx;

1 a

sin

1/2

3/4

II. Геометрические приложения определенных интегралов. Вычислить площадь области, ограниченной кривыми:

1.(y 3)2 4x, y x .

2.Внутриокружности ρ 1 иодновременновнутрикардиоиды ρ 2(1 cosφ).

Вычислить длинудугикривой: 3. 5x3 y2, внутри x2 y2 6.

	a				2,	3
4.Вычислить длину дуги кривой sin2 2		,			2,		2	.

Часть 2.

Кратные и криволинейные интеграла. Теория поля.

1.	Расставить пределы интегрирования двумя способами в двойном интеграле
	f x,y dxdy в декартовых координатах для области D : y 3 x2,	y x .
	D
2.	Найти массу неоднородной пластины D : y x2 1, x y 3,если

поверхностная плотность в каждой ее точке x,y 4x 5y 2.

3.Найти статический момент однородной пластины D : x2 y2 2x 0, y x 0, y 0, относительно оси Oy , используя полярные координаты.

4.Найти координаты центра масс однородного тела, занимающего область V :

3x y2 z2,		x 9.
5.	Найти момент инерции однородного тела относительно оси Oy ,
занимающего область V : y 4 x2 z2,			y 0.	z 0,
6.	Найти объем тела, ограниченного поверхностями: y 0,			z 0,	x y z 4,
	2x z 4.
7.	Вычислить (непосредственно или по формуле Грина):
L	dxx dyy , где L квадрат ABCD : A 1;1 , B 3;1 , C 3;3 , D 1;3 .

8. Найти единичный вектор нормали к поверхности 4x2 y2 z2 16 в точке M 1,2,4 ,составляющую острый угол с положительным направлением оси Oz. 9. Найти дивергенцию и ротор векторного поля F z xi yj .

10. Вычислить (непосредственно или по формуле Остроградского – Гаусса) поток векторного поля F x z i zj 2x y k через внешнюю поверхность пирамиды, образуемую плоскостью 2x 2y z 4 и координатными

плоскостями.

11. Вычислить (непосредственно или по формуле Стокса) циркуляцию векторного поля F ( x 3y)i (2x y) j (z y2 6)k по контуру

x2 y2 z 4 0,

L : z 5.

Вариант 24. Часть 1.

Определенные и несобственные интегралам.

I.	Вычислить интегралы:

	1	3		2	dx		1	a	a	2	x	2
1.		x dx	; 2.		dx	;	3. arcsinx 2 dx;	4.	a		x		dx;	5.	dx		;
1.		8	; 2.		3 cosx	;	3. arcsinx 2 dx;	4.			x		dx;	5.	5	x	;
	0	x 1			3 cosx		0	1			x			3	x ln	x
				3
6.	3	3 x dx.
	0	3 x

II. Геометрические приложения определенных интегралов. Вычислить площадь области, ограниченной кривыми:

1.y2 4x, y2 3 x .

2.Внутрикардиоиды ρ 1 cosφ иодновременновнекардиоиды ρ 1 sinφ.

Вычислить длинудугикривой:
3. y 4ln sin(x /4) ,	x 3 .
4. Найти длину дуги кривой:			4	t,	0 t		.
4. Найти длину дуги кривой:		x cos		t,	0 t	2	.
		y sin4 t,				2

Часть 2.

Кратные и криволинейные интеграла. Теория поля.

1. Расставить пределы интегрирования двумя способами в двойном интегралеf x,y dxdy в декартовых координатах для области D : x 0, x 2, y 0,

yx2 4.

2.Найти массу неоднородной пластины D : y x2 1, x y 1,если

поверхностная плотность в каждой ее точке x,y 2x 5y 8.

4.Найти координаты центра масс однородного тела, занимающего область V :


y		x2 z2 ,	y 4.
5.	Найти момент инерции однородного тела относительно оси Ox ,
занимающего область V : x 3 y2 z2 , x 3.
6.	Найти объем тела, ограниченного поверхностями: z x2,			z 0, x2	y2 1.
7.	Вычислить (непосредственно или по формуле Грина):
2		x2 y2 dx x y 2 dy , где L контур прямоугольника 0 x 5,			1 y 3.

8. Найти единичный вектор нормали к поверхности x2 2y2 2z 1 в точке

M 1, 1,1 ,составляющую острый угол с положительным направлением оси			Oz.
	F y yzi 2xzj	xyk .
9. Найти дивергенцию и ротор векторного поля

10. Вычислить (непосредственно или по формуле Остроградского – Гаусса) поток векторного поля F 3x y i x z j yk через внешнюю поверхность пирамиды, образуемую плоскостью x 2y z 2 и

координатными плоскостями.

11. Вычислить (непосредственно или по формуле Стокса) циркуляцию векторного поля F (4x y)i (5y x) j (x2 8z 1)k по контуру

x2 y2 z 2 0,

L : z 3.

Вариант 25. Часть 1.

Определенные и несобственные интегралам.

I. Вычислить интегралы:

1. e x lnx 2 dx;

2. 2

cosxdx

;

3. 4

xdx

;

4. 3

;

6 5sinx sin

2 4x

5 4x x

xdx

x 1

;

6. x

dx.

2 x

II. Геометрические приложения определенных интегралов. Вычислить площадь области, ограниченной кривыми:

1.y 4,y arctg x икасательнаякэтойлиниивначалекоординат.

2.Внутрикардиоиды ρ 1 cosφ иодновременносправаотпрямой ρ 3/(4cosφ). Вычислить длинудугикривой:


3.	y (x 12) x 6,	y 0.
4.	Найти длину петли кривой:		a	.
4.	Найти длину петли кривой:		sin2 3	.

Часть 2.

Кратные и криволинейные интеграла. Теория поля.

1. Расставить пределы интегрирования двумя способами в двойном интегралеf x,y dxdy в декартовых координатах для области D : x 0, y 0, y 1,

x 3 2 y2 1.
2.	Найти массу неоднородной пластины D : x 0, y 0, y 4, x					25 y2 , если
поверхностная плотность в каждой ее точке x,y x.
3.	Найти статический момент однородной пластины D : x2 y2 2x 0, x y 0,
y 0,		относительно оси Oy , используя полярные координаты.
4.	Найти координаты центра масс однородного тела, занимающего область V :
x y2 z2, y2 z2 9, x 0.
5.	Найти момент инерции однородного тела относительно оси Oz ,
занимающего область V : z 9 x2 y2, z 0.
6.	Найти объем тела, ограниченного поверхностями:			y x2,	z y,	z 2 y.
7.	Вычислить (непосредственно или по формуле Грина):
L	dxx dyy		, где L контур прямоугольника 1 x 3,	0 y 4.
8.	Найти единичный вектор нормали к поверхности			x2 y2	z 0 в точке
M 1,1,0			,составляющую острый угол с положительным направлением оси				Oz.

9.	Найти дивергенцию и ротор векторного поля F y2 yj 3zk .

10. Вычислить (непосредственно или по формуле Остроградского – Гаусса) поток векторного поля F y z i 2x z j y 3z k через внешнюю поверхность пирамиды, образуемую плоскостью 2x y 3z 6 и

координатными плоскостями.

11. Вычислить (непосредственно или по формуле Стокса) циркуляцию векторного поля F (y x)i (5y 2x) j (xy 3z 4)k по контуру

x2 y2 z 3 0,

L :

z 2.

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 114 5 6 7 8 9 10 11 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Высшая математика

#
05.12.20241.48 Mб1Билеты экзамен.pdf
#
04.12.2024950.34 Кб1Вышмат.pdf
#
04.12.202412.93 Mб36ОТВЕТЫ К ЗАЧЕТУ 1 СЕМ.docx
#
04.12.202416.63 Кб2Список вопросов для экзамена по высшей математике.docx