Вышмат

Добавил:

Dolin_TOP Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Московский технический университет связи и информатики

Предмет:

Высшая математика

Файл:

характеристический многочлен k3 k 2 5k 3

делится на k 1:

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

04.12.2024

Размер:

950.34 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 / 1111

y2 1

ydy

разделяем переменные:

;

dy dx

;

xdx c ;

y2 1

d (y2 1)

c ;

d (y2 1)

2x 2c ; ln

2x 2c ;

;

y2 1

y2 1 e2ce2x ;

y2 c2e2x 1;

c2e2x 1. При x 0 отсюда

c2 1

знак будет «+» и c2

1 y

e2x 1– единственное решение исходной задачи

Коши.

8. y y 5y 3y 0; y(0) 0; y (0) 1; y (0) 2

Уравнение является линейным однородным с постоянными коэффициентами. Его

характеристическое уравнение имеет вид k3 k 2 5k 3 0

2k2 5k

2k2 2k

3k 3

Теперь решаем уравнение k 2 2k 3 0. В соответствии с теоремой Виета, его корнями являются k2 1, k3 3.

Таким образом, корнями характеристического уравнения являются

k1,2 1, k3 3

.Этим корням соответствует следующая фундаментальная система решений исходного дифференциального уравнения: y1 ex , y2 xex , y3 e 3x общее

решение этого уравнения записывается в виде y c1ex c2xex c3e 3x . Теперь найдем постоянные c1, c2 , c3 из начальных условий:

y c1ex c2 (ex xex ) 3c3e 3x ;
y c1ex c2 (ex ex xex ) 9c3e 3x . Отсюда
y(0)			c1					c3			0
			c1		c2			3c3			1 Решаем систему методом Гаусса:
y (0)			c1		c2			3c3			1 Решаем систему методом Гаусса:
			c1		2c2			9c3		2
y (0)			c1		2c2			9c3		2
1 0 1				0	1 0			1		0			1
1 0 1				0	1 0			1		0
	1	1	3	1		0	1	4		1		2 ; c3		;
	1	1	3	1		0	1	4		1	8c3	2 ; c3	4	;
	1 2 9			2		0 0		8		2			4


									101

c2 4c3 1 c2 1 1; c2 0; c1 c3 0 c1 14 и решение исходной задачи Коши имеет вид y 14ex 14e 3x

9. y y 2y 18xex

Общее решение этого уравнения имеет вид y y y , где y общее решение соответствующего однородного уравнения, а y частное решение исходного

части Pk (x)e x 18xex : 1 является корнем характеристического уравнения k 2 k 2 0 кратности r 1, и y следует искать в виде

y xrQk (x)e x x(AX B)ex (AX 2 Bx)ex . Подставим это выражение в исходное уравнение, опуская для удобства символ

: y (2Ax B)ex (Ax2 Bx)ex (Ax2 2Ax Bx B)ex ;

y (2Ax 2A B)ex (Ax2 2Ax Bx B)ex 2(Ax2 Bx)ex 18xex ;

Ax2 4Ax Bx 2A 2B Ax2 2Ax Bx B 2Ax2 2Bx 18x .

Приравняем коэффициенты при одинаковых степенях x слева и справа:

6A 18		A 3, 3B 6, B 2 y x(3x 2)ex и
		A 3, 3B 6, B 2 y x(3x 2)ex и
2A 3B 0		ex x(3x 2)ex – общее решение исходного уравнения.
y c e 2x	c	ex x(3x 2)ex – общее решение исходного уравнения.
1	2

10. y 9y 9x2 x cosx sin3x

Характеристическое уравнение для соответствующего однородного уравнения имеет вид k 2 9 0, его корни k1,2 3i , и общее решение однородного

уравнения можно записать в виде y c1 cos3x c2 sin3x .

Так как правая часть исходного неоднородного уравнения есть сумма трех функций специального вида, то частное решение этого уравнения можно искать

виде суммы y y y y , где			y частное решение уравнения y 9y 9x2		,
1	2	3	1
y2 частное решение уравнения			y 9y x cos x ,	y3 частное решение
уравнения

y 9y sin3x .

Для 1ого из этих уравнений 0, кратность r этого как корня характеристического уравнения k 2 9 0 равна 0, и y1 следует искать в виде

y1 Ax2 Bx C .

102

Для 2ого уравнения 0, 3, i 3i , кратность этого числа как корня характеристического уравнения r 0 , и y2 следует искать в виде

y2 (Dx E)cos x (Fx G)sin x .

Для 3ого уравнения 0, 3, i 3i , кратность этого числа как корня характеристического уравнения r 1, и y3 следует искать в виде

y3 x(H cos3x I sin3x).

В итоге получим общее решение исходного уравнения

y c cos3x c

sin x Ax2

Bx C (Dx E )cos x (Fx G)sin x x(H cos3x I sin3x

(в этой формуле A, B, C,

D, E, F, G, H, I неопределенные коэффициенты,

значения которых можно найти).

11. y

e2x

5y cosx

Характеристическое уравнение для соответствующего однородного уравнения

имеет вид k 2 4k 5 0, его корни k

1 2 i , и общее решение

1,2

однородного уравнения имеет вид y c e2x cos x c

e2x sin x (1).

Так как правая часть исходного уравнения не является функцией специального вида, то для нахождения частного решения неоднородного уравнения y

применим метод вариации произвольных постоянных: будем искать y по той

же

формуле (1), считая, что в ней c1 c1(x), c2 c2 (x) . Тогда для нахождения производных этх коэффициентов получим следующую систему уравнений:

sinx 0

c1e

cosx c2e

e2x ;

cosx)

sinx)

cosx

cosx c sinx 0

e2x ;

(2e

cosx

sinx) c2

(2e

sinx e

cosx)

cosx

c cosx c sinx 0

;

c1(2cosx sinx) c2(2sinx cosx)

cosx

c cosx

c (2cosx sin x)

c cosx

(2sin x cosx)

;

cosx

1 sin x

sin x

2cosx sin x 2cosx cos2

;

sin2 x cos2

;

cosx

sin x

cosx

sin x

; c sin x

sin x

cosx

. Теперь находим c (x)

и c

(x):

cosx

sin x 1

1 sin x

cosx

c (x)

sin x dx

d cosx ln

cosx

; c (x)

dx x .

cosx

103

Значит,

y e2x cosxln

cosx

xe2x sinx и общее решение исходного уравнения

y y y c e2x cosx c e2x cosx e2x cosx ln

cosx

xe2x sinx .

12. y

2xy

4y; y(0) 1; y (0)

Будем искать решение этой задачи Коши в виде:

y x y x0

y x

x x0

y x

x x0

y x

x x0

...

По условию задачи имеем: x0 0, y x0 y(0) 1, y x0 y (0) 2.

y 0

2 0 2 4 1 4. Таким образом, решение исходной задачи Коши по

формуле имеет вид:

y x y x

y x

x x

y x

x x

y x

x x

...

... 1 2x 2x2 ....

Ответ:

y x 1 2x 2x2 ...

Замечание к задаче 12.

Если при вычислении старших производных, получаются нулевые значения

y n x0 , то необходимо продифференцировать заданное уравнение и подставить

в него значения x0, y x0 и производных y x0 , …, y n 1 x0 , и так делать до

тех пор, пока не получите 3 ненулевых члена в формуле .

13. Найти кривую, у которой точка пересечения любой касательной с осью абсцисс равноудалена от точки касания и от начала координат.

Пусть

y y(x) искомая кривая. Уравнение касательной к ней в произвольной

точке (x,y) имеет вид Y y y (X x) (здесь X

и Y координаты точек

касательной). Точка пересечения этой касательной с осью абсцисс имеет

координаты: Y 0 X x

;

X x

. Расстояния от этой точки до точки

касания и до начала координат соответственно равны

(0 y)2

. По условию задачи

;

104

y2 x2

2xy

;

2xy x2 y2 ;

2xy

. Делим числитель и

y 2

x2 y2

знаменатель дроби на

: y

. Решаем это (однородное) уравнение:

2u u u3

u u3 ;

u ,

y ux ,

y u x u

; u x u

; u x

1 u2

u u3

1 u2

dx x

;

x ;

. Разложим подынтегральную

1 u2

u(u2 1)

дробь в правой части этого равенства на простые:

1 u2

Bu D ; 1 u2 A(u2

1) (Bu D)u . Положим u 0 1 A .

u(u2 1)

u2 1

Приравняем коэффициенты при u2

и u в левой и правой частях:

B 2 ; D 0 . Теперь имеем:

;

A B 1

du ln

d (u2 1)

;

ln(u

1) ln

;

cx ;

u2 1

cx ;

c ; x2 y2

. Таким образом, решение

x2 y2

исходной задачи можно записать в виде x2 y2

cy .

14. Известно, что количество радиоактивного вещества, распадающегося за единицу времени, пропорционально имеющемуся в рассматриваемый момент количеству этого вещества. Пусть за 30 дней распалось 50% первоначального количества вещества. Через сколько времени останется 1% от первоначального количества вещества?

По условию задачи y ky , где y(t) количество вещества в момент времени t . Решаем это уравнение с разделяющимися переменными: dydt ky ; dyy kdt ;

dy	k dt c ; ln	y	kt c ;	y	ekt c ekt ec ;	y ec ekt , то есть	y cekt . Из


y
y

этой

формулы y(0) c , то есть c это количество вещества в начальный момент

105

										ce30k			c
										ce30k
времени. Если x искомый момент времени, то из условия имеем:												2		;
											xk		c
										ce
										ce		100
			1			30k ln 1 ln2						100
e30k			1			30k ln 1 ln2
				2				2		. Делим второе уравнение на первое:
				2	;			2		. Делим второе уравнение на первое:
		xk		1			ln	1	ln100 2ln10
e						xk
e				100		xk		100
				100				100
	x		2ln10			; x	60ln10		60 2,303	60 3,323 199,4.
30				ln2		; x	ln2		60 2,303	60 3,323 199,4.
30				ln2			ln2		0,693

Ответ: через 200 дней.

106

План УМД на 2013/2014 уч.г.,

Юрий Львович Александров Наталья Петровна Андреева Роберт Владимирович Арутюнян Андрей Валентинович Куприн Александр Рафаилович Лакерник Аркадий Михайлович Райцин

СБОРНИК КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ И МЕТОДИЧЕСКИХ УКАЗАНИЙ ДЛЯ ИХ ВЫПОЛНЕНИЯ ПО ТЕМАМ

по темам

ОПРЕДЕЛЕННЫЕ И НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ. КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ.

ТЕОРИЯ ПОЛЯ. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ.

для бакалавров по специальностям 210700, 230100, 230400, 210400

Подписано в печать __.__.13. Формат 60x90 1/16 Объем усл.п.л. Тираж 500 экз. Изд №___ Заказ ____

ООО «Информпресс-94». Москва, ул. Авиамоторная, д. 8а, стр. 5

107

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 / 1111

Соседние файлы в предмете Высшая математика

#
05.12.20241.48 Mб1Билеты экзамен.pdf
#
04.12.2024950.34 Кб1Вышмат.pdf
#
04.12.202412.93 Mб36ОТВЕТЫ К ЗАЧЕТУ 1 СЕМ.docx
#
04.12.202416.63 Кб2Список вопросов для экзамена по высшей математике.docx