§ 5. Ортогональные операторы. Ортогональные матрицы

Пусть – евклидово пространство. Линейный оператор называется ортогональным, если он не изменяет скалярного произведения, т.е. для любых

(19)

Из определения следует, что ортогональный оператор не изменяет длин векторов и углов между ними, т.е. сохраняет все геометрические свойства фигур. На плоскости или в трёхмерном пространстве ортогональный оператор определяет движение (например, поворот, симметрию относительно прямой, точки, плоскости).

Матрицу линейного оператора будем обозначать также буквой Для ортогонального оператора имеет место утверждение:

Теорема. Линейный оператор является ортогональным в том и только том случае, если его матрица в ортонормированном базисе удовлетворяет условию

(20)

Условие (20) равносильно условию

Отметим ещё одно свойство ортогональных операторов: собственные значения ортогонального оператора по модулю равны 1. Таким образом, если – собственное значение ортогонального оператора, то для некоторого

Матрица, удовлетворяющая условию (20), называется ортогональной матрицей. У ортогональной матрицы обратная матрица совпадает с транспонированной. Ортогональную матрицу можно определить и по-другому: ортогональная матрица – это матрица перехода от одного ортонормированного базиса к другому.

Задача 9. Найти общий вид ортогональной матрицы размера

Решение. Пусть – ортогональная матрица. Так как то мы имеем: Отсюда получаем систему уравнений:

Первое уравнение даёт, что при некотором Из второго получаем: а значит, при некотором Подставляя в последнее уравнение системы, получим: т.е. Таким образом, общий вид ортогональной -матрицы таков:

или

В унитарном пространстве линейный оператор сохраняющий скалярное произведение (т.е. ), называется унитарным. Его матрица в ортонормированном базисе удовлетворяет равенству где обозначает, как и раньше, транспонирование, а – матрица, полученная из матрицы заменой каждого элемента на комплексно сопряжённый. Если обозначить то условие на матрицу будет выглядеть так: Матрица, удовлетворяющая этому условию, называется унитарной. Собственные значения унитарного оператора (и унитарной матрицы) по модулю равны 1.

§ 6. Симметрические (самосопряжённые) операторы

Линейный оператор где – евклидово пространство, называется симметрическим, или самосопряжённым, если для любых векторов выполняется равенство

(21)

В унитарном пространстве также рассматриваются линейные операторы, удовлетворяющие условию (21), они называются, как и в действительном случае, самосопряжёнными, но слово “симметрический” к ним не применяется.

Необходимые и достаточные условия того, чтобы оператор был симметрическим, даёт следующая теорема.

Теорема. Если линейный оператор является симметрическим, то в любом ортонормированном базисе матрица оператора является симметрической (т.е. ). Наоборот, если матрица оператора в некотором ортонормированном базисе симметрическая, то оператор симметрический.

Для любого оператора сопряжённый оператор определяется условием В каждом ортонормированном базисе его матрица является транспонированной к матрице оператора Симметрический (самосопряжённый) оператор – это оператор, совпадающий с сопряжённым.

Важные свойства симметрических операторов описывает следующая теорема.

Теорема. Пусть – симметрический линейный оператор. Тогда:

1. собственные значения оператора действительны;

2. собственные векторы, соответствующие различным собственным значениям, ортогональны друг другу;

3. пространство имеет ортонормированный базис, состоящий из собственных векторов оператора

Задача 10. Найти ортонормированный базис из собственных векторов линейного оператора, заданного следующей матрицей в ортонормированном базисе:

Решение. Найдём собственные значения и собственные векторы линейного оператора (здесь мы линейный оператор и его матрицу обозначаем одной буквой ). Напомним, что собственные значения определяются из характеристического уравнения где – единичная матрица. Имеем:

Корни характеристического уравнения: Теперь найдём собственные векторы: они находятся из системы линейных уравнений

При имеем:

Найдём фундаментальную систему решений этой системы. Будем считать свободными переменными, а – связанной. Составим таблицу

1	0
0	1	1

Таким образом,

При имеем:

Фундаментальное решение системы:

Мы видим, что вектор перпендикулярен векторам (так и должно быть ввиду сформулированной выше теоремы). Векторы не ортогональны, поэтому к ним следует применить процесс ортогонализации. Положим Из условия получаем: Отсюда Мы получили ортогональный базис из собственных векторов: Ортонормированный базис из собственных векторов мы получим, разделив каждый из этих векторов на его длину:

В случае унитарного пространства матрица самосопряжённого оператора в ортонормированном базисе удовлетворяет следующему условию: (это комплексный аналог условия симметричности которое мы имели в евклидовом пространстве). Матрица, удовлетворяющая этому условию, называется эрмитовой. Условие эрмитовости матрицы может быть записано также в виде В заключение приведём таблицу соответствия понятий в евклидовом и унитарном пространствах.

евклидово пространство		унитарное пространство
симметрическая матрица		эрмитова матрица
симметрический (самосопряжённый) оператор		самосопряжённый оператор
ортогональная матрица		унитарная матрица
ортогональный оператор		унитарный оператор