§ 2. Неравенство Шварца. Геометрия евклидовых пространств

В любом евклидовом пространстве для векторов справедливо неравенство Шварца:

(5)

В конкретных евклидовых пространствах это неравенство имеет свой специальный вид. Например, в пространстве со скалярным произведением, определённым по формуле (1), неравенство (5) – это неравентво Коши – Буняковского:

(6)

а в пространстве функций со скалярным произведением (2) неравенство (5) превращается в интегральное неравенство

(7)

В унитарном пространстве неравенство Шварца имеет вид

(8)

Геометрия евклидовых пространств

Скалярное произведение позволяет ввести в евклидовом пространстве понятия длины вектора и угла между векторами. А именно, длина вектора вычисляется по формуле

(9)

Часто длину вектора называют нормой и обозначают Далее, из неравенства Шварца (5) следует, что для любых ненулевых векторов выполняется неравенство Поэтому можно ввести понятие угла между векторами, этот угол мы будем вычислять по формуле

(10)

которая совпадает с формулой школьного курса геометрии в случае обычных векторов плоскости или трёхмерного пространства.

Длина вектора, определённая по формуле (9), обладает обычными свойствами длины:

Задача 2. Найти длины сторон и величины углов треугольника в пространстве если

Решение. Имеем:

и аналогично Отсюда

Далее, имеем: Следовательно, Вычислим ещё одну сторону треугольника: Так как то Наконец,

Задача 3. Найти угол между стороной -мерного куба и его диагональю.

Решение. Можно считать, что ребро куба равно 1. Расположим -мерный куб так, чтобы его вершины имели координаты где каждое равно 0 или 1. Вектор, направленный по стороне, равен а вектор, направленный по диагонали, равен Найдём угол между этими векторами:

§ 3. Ортогональные и ортонормированные системы векторов. Процесс ортогонализации Грама – Шмидта

Векторы евклидова (или унитарного) пространства называются ортогональными (записывается: ), если

Для ненулевых векторов ортогональность означает, что угол между векторами равен нулевой вектор ортогонален любому вектору пространства.

Система векторов евклидова пространства называется ортогональной системой, если при Ортонормированная система векторов – такая система, в которой векторы попарно ортогональны друг другу и длины векторов равны 1: при и при всех Это можно записать следующим образом:

(11)

Вводя символ Кронекера определение ортонормированной системы векторов можно записать компактно:

Заметим, что из ортогональной системы векторов, если все векторы ненулевые, легко сделать ортонормированную систему. А именно, пусть – ортогональная система векторов. Тогда – ортонормированная система.

Задача 4. Доказать, что ненулевые ортогональные векторы линейно независимы.

Доказательство. Пусть – попарно ортогональные векторы и пусть Умножив это равенство скалярно на получим: Отсюда Ввиду произвольности мы получаем, что векторы линейно независимы.