Глава 5. Кривые и поверхности второго порядка

§1

. Эллипс, гипербола и парабола

Эллипс

Эллипсом называется множество точек (на плоскости), сумма расстояний от которых до двух данных точек этой плоскости равно заданному положительному числу : .

Примечание: предполагается, что .

Точки называются фокусами эллипса.

Центр эллипса – середина отрезка, соединяющего фокусы. Центр эллипса является его центром симметрии.

Площадь эллипса:

Уравнение эллипса в канонической системы координат

Е

сли начало координат поместить в центр эллипса, а ось абсцисс выбрать так, чтобы она содержала фокусы, то уравнение эллипса примет вид , где и – координаты точки пересечения эллипса с осями координат. Числа и – полуоси эллипса (большая и малая).

Если , то .

Окружность – частный случай эллипса. Она получается при .

Эксцентриситет эллипса: .

Это число удовлетворяет неравенству и показывает “степень вытянутости” эллипса. Для окружности .

Э

ллипс, не являющийся окружностью, имеет две директрисы – прямые, перпендикулярные прямой и расположенные на расстоянии от центра.

Эллипс является геометрическим местом точек, для которых отношение расстояния до фокуса к расстоянию до директрисы равно эксцентриситету:

О

птическое свойство эллипса: Если прямая касается эллипса в точке , то фокальные радиусы и образуют равные углы с касательной . Другими словами: лучи света, выпущенные из одного фокуса, отразившись от эллипса, пройдут через другой фокус.

Гипербола

Г

иперболой называется множество точек , разность расстояний от которых до двух данных точек равна заданному числу :

.

Примечание: предполагается, что .

Точки – фокусы гиперболы.

Центр гиперболы – середина отрезка .

Центр гиперболы является ее центром симметрии.

Уравнение гиперболы в канонической системе координат

Е

сли начало координат поместить в центр гиперболы, а за ось абсцисс принять прямую , то уравнение гиперболы примет вид , где и – координаты точки пересечения гиперболы с осями координат.

Если – расстояние от начала координат до фокуса, то .

О

си – оси гиперболы (действительная и мнимая). Числа и – действительная и мнимая полуоси.

Прямые и – асимптоты гиперболы. Гипербола состоит из двух ветвей (одна в полуплоскости , другая – ).

Эксцентриситет гиперболы: . Для гиперболы .

Директрисы – прямые, перпендикулярные действительной оси и расположенные на расстоянии от центра.

Г

ипербола является геометрическим местом точек , для которых отношение расстояния до фокуса к расстоянию до директрисы равно эксцентриситету: .

Оптическое свойство гиперболы:

Касательная к гиперболе является биссектрисой угла между фокальными радиусами, проведенными в точку касания, т.е. биссектрисой угла .

Другими словами: лучи света, выпущенные из фокуса , отразившись от гиперболы, будут образовывать расходящийся пучок лучей, причем лучи, противоположные отраженным, проходят через фокус .

П арабола

Параболой называется геометрическое место точек , расстояние от которых до данной точки (фокуса) равно расстоянию до данной прямой (директрисы): , где – фокус, а – директриса.

Эксцентриситет параболы считается равным единице: .

Ось параболы – прямая, проходящая через фокус и перпендикулярная директрисе. Ось параболы является ее осью симметрии. Вершина параболы – точка параболы, лежащая на оси.

Уравнение параболы в канонической системе координат. Если начало координат поместить в вершину параболы, а ось абсцисс направить по оси параболы от вершины к фокусу, то уравнение параболы примет вид .

Уравнение директрисы: . Координаты фокуса: .

О

птическое свойство параболы: Касательная к параболе образует равные углы с осью параболы и фокальным радиусом, проведенным в точку касания.

Другими словами: лучи света, выпущенные из фокуса параболы, отразившись от нее, будут образовывать пучок прямых, параллельных оси.

§ 2. Приведение к каноническому виду уравнения кривой второго порядка

Общее уравнение кривой второго порядка имеет вид

причем предполагается, что среди чисел есть хотя бы одно ненулевое.

Существует система координат (называемая канонической), в которой уравнение кривой второго порядка имеет вид, приведенный в таблице (канонический вид).

	эллипс
	гипербола
	парабола
	мнимый эллипс (эта “кривая” не имеет действительных точек)
	на действительной плоскости “кривая” имеет лишь одну точку
	две пересекающиеся прямые
	две параллельные прямые
	две совпадающие прямые
	две мнимые параллельные прямые (“кривая” не имеет ни одной действительной точки)

Задача 1. Изобразить кривую, найти ее характеристики:

Р

ешение. Надо привести это уравнение к каноническому виду. Выделим полные квадраты по и по Следовательно, данная кривая является эллипсом. Его центр: Полуоси: Для нахождения координат фокусов находим параметр (половину расстояния между фокусами): Отсюда получаем фокусы: Эксцентриситет:

Задача 2. Составить уравнение гиперболы с асимптотами касающейся оси

Р

ешение. Уравнения асимптот гиперболы с центром имеют вид Следовательно, центр гиперболы имеет координаты

и Нарисуем гиперболу, учитывая, что она касается оси абсцисс.

Из рисунка видно, что Так как то Так как действительная ось гиперболы параллельна оси то в правой части уравнения будет вместо Отсюда получаем уравнение:

Задача 3. Найти площадь области, ограниченной кривой

Решение. В случае, когда коэффициенты при и равны друг другу, то поворотом системы координат на угол в можно избавиться от произведения в уравнении кривой. Напишем формулы поворота на угол

(здесь – координаты точки в исходной системе координат, а – координаты той же точки в системе координат, повернутой на угол . При получаем прямые и обратные формулы:

Подставим обратные формулы в уравнение кривой:

Следовательно, . Отсюда

)

Рис. 5.30

. Рисуем оси эллипса, находим отрезки и (его полуоси). Далее строим отрезок (рис. 5.34) и фокусы эллипса.

Задача 4. Установить, что уравнение

определяет эллипс, найти его центр и полуоси.

Решение. Преобразуем это уравнение:

, или

, или

.

Положим и уравнение примет вид Это уравнение эллипса с полуосями и .

Задача 5. Установить, что уравнение определяет гиперболу, найти ее центр и полуоси.

Подберём угол , после поворота на который уравнение кривой не будет содержать произведения переменных и . Подставим формулы поворота в заданное уравнение , которое лучше переписать в виде :

,

,

.

Найдём такой угол , чтобы в последнем уравнении не содержалось слагаемое . Достаточно положить, , то есть , .

Тогда преобразование примет вид

- поворот против часовой стрелки вокруг точки , а уравнение кривой (5.28) в новой системе координат:

- это уравнение гиперболы с полуосями и центром в точке (рис. 5.16).