§ 3. Полярная, сферическая и цилиндрическая системы координат

П

Рис. 5.31 Рис. 5.32 Рис. 5.33

Рис. 5.34 Рис. 5.35

олярная система координат. Выберем на плоскости точку (полюс) и луч с вершиной (полярную ось) (рис. 5.36). Тогда каждая точка плоскости будет характеризоваться двумя числами: (полярный радиус) – расстояние от точки до полюса и (полярный угол).

П

Рис. 5.36

ри этом и Числа называются полярными координатами точки Используется запись Единственная точка, для которой координата не определена, – это полюс. Можно считать значение в полюсе равным любому заданному углу.

Замечание. Иногда считают, что или (в этом случае координата определена неоднозначно). Кроме того, в редких случаях разрешается даже неравенство (в этом случае точка откладывается не на полярном луче, а на луче, противоположном ему).

П

Рис. 5.37

усть на плоскости взята декартова система координат (рис. 5.37). Примем начало координат за полюс, а ось за полярную ось. Тогда связь между декартовыми и полярными координатами точки будет осуществляться по формулам

Обратные формулы:

при и при

При можно также написать

Примеры полярных уравнений:

1. – уравнение окружности радиуса с центром в полюсе.

2. – уравнение прямой

3. – уравнение кривой второго порядка (эллипса, гиперболы, параболы); здесь – эксцентриситет, полюс расположен в одном из фокусов, полярная ось совпадает с одной из главных осей кривой второго порядка (рис. 5.38).

4

Рис. 5.38 Рис. 5.39

. – трехлепестковая роза (рис. 5.39).

С

Рис. 5.40

ферическая система координат. Эта система координат вводится для точек пространства.

Опустим перпендикуляр из точки на плоскость (рис. 5.40). Сферическими координатами точки являются: – полярный радиус, – угол наклона вектора к плоскости (азимут) – угол между осью и вектором При этом считается, что Возможны другие соглашения о диапазоне изменения координат

Связь между декартовыми и сферическими координатами:

Примеры уравнений в сферической системе координат:

1. – уравнение сферы с центром в начале координат.

2. – уравнение конуса. 3. – уравнение цилиндра.

4. – уравнение конуса.

Ц

Рис. 5.41

илиндрическая система координат занимает промежуточное положение между декартовой и сферической системами. Цилиндрическими координатами точки пространства являются полярные координаты проекции точки на плоскость и аппликата точки (рис. 5.41).

Связь между декартовыми и цилиндрическими координатами точки:

Примеры уравнений поверхностей в цилиндрической системе координат:

1. – уравнение конуса.

2. – уравнение цилиндра.

3. Пусть на плоскости дан круг радиуса с центром на оси причем центр круга находится на расстоянии от начала координат (см. рис. 5.42). Тело, полученная вращением круга вокруг оси носит название тор (см. рис. 5.43).

Так как уравнение окружности на плоскости имеет вид