подгон 2018 (легендарный) / 1 семестр / Практикум по линейной алгебре в Matlab / ПР по Алгебре в среде MATLAB / ржавинская лекции / Лекция_10_2

Теорема доказана.

Следствие. Все базисы линейного пространства состоят из одного и того же числа векторов.

Действительно, пусть (I) и (II) - два базиса в .

Допустим, . Так как система (I) - базис, то в силу теоремы 5 это означает, что система (II) линейно зависима. Это противоречит тому, что (II) - базис. Отсюда .

Допустим теперь, что . Так как система (II) - базис, то в силу теоремы 5 это означает, что система (I) линейно зависима. Это противоречит тому, что (I) - базис. Следовательно, .

Вместе эти два заключения дают .

Определение 6. Число векторов в любом базисе линейного пространства называется размерностью линейного пространства.

Для размерности линейного пространства принято обозначение .

В рассмотренных примерах:

1. если - линейное пространство всех геометрических векторов пространства, ;

2. если - линейное пространство всех многочленов степени , ;

3. если - линейное пространство всех квадратных матриц порядка 2, .

135