Лекция 2

Скалярное, векторное и смешанное произведения

векторов

Скалярное, векторное и смешанное произведения. Определения, свойства, выражения в координатной форме

2.1. Скалярное произведение двух векторов и

его свойства

Определение 1. Скалярным произведением векторов и называется число

. (2.1)

Заметим, что в формуле (2.1)

и ,

поэтому можно дать определение скалярного произведения и в иной, равносильной форме, иногда более удобной.

Определение . Скалярным произведением векторов и называется число

. (2.2)

Геометрические свойства скалярного произведения даются теоремами 1 и 2.

Теорема 1. Два вектора и перпендикулярны тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю.

Доказательство.

Необходимость. Пусть .

Достаточность. Пусть .

Случай 1. (либо , либо ). Так как направление не определено, считаем в этом случае, что .

Случай 2. , . В равенстве (2.1), определяющем , , , а .

Теорема 2. Для любых двух векторов и , если , , угол является острым тогда и только тогда, когда , и тупым – тогда и только тогда, когда .

Доказательство. Отметим, что, так как и , знак скалярного произведения совпадает со знаком .

Следовательно, .

Обратно, .

Аналогично, .

Обратно, .

Алгебраические свойства скалярного произведения:

1. ;

2. ;

3. ;

4. , если ; , если .

Доказательство свойства 1.

Так как и , то из формулы (2.1), определяющей скалярное произведение, непосредственно следует, что .

Доказательство свойства 2. Применяем определение (и формулу (2.2)):

.

Доказательство свойства 3. Опять привлекаем определение и формулу (2.2):

.

Доказательство свойства 4. Заметим, что , поэтому

.

Замечание 1. Свойства 2 и 3 справедливы также в форме:

) ;

) .

Действительно, например, для имеем:

.

Аналогично обосновывается ).

Доказанные алгебраические свойства дают возможность, перемножая линейные комбинации векторов, группировать коэффициенты, как при перемножении многочленов.

Пример. Пусть , , – декартов базис, , . Найти .

Имеем

.

Теорема 3. Пусть , , – декартов базис, , . Тогда .

Доказательство. Имеем

.

Следствие. Пусть , , – декартов базис, , , , . Тогда

. (2.3)

В самом деле, из формулы (2.1), определяющей скалярное произведение, находим

,

и соотношение (2.3) доказано.

В частности, .

2.2. Векторное произведение двух векторов и его свойства

Определение 2. Векторы , , называются упорядоченной тройкой или просто тройкой, если указано, какой из них является первым, какой – вторым, какой – третьим.

Запись , , будем понимать так, что – первый, – второй, – третий вектор.

Определение 3. Пусть , , не компланарны. Тройка , , называется правой (левой), если после приведения векторов , и к одному началу, вектор располагается по ту сторону от плоскости, определяемой и , откуда кратчайший поворот от к (от первого вектора ко второму) кажется совершающимся против часовой стрелки (для левой – по часовой стрелке) (рис.2.1).

Если две тройки обе правые или обе левые, они называются тройками одной ориентации, в противном случае – противоположной ориентации.

Из векторов , и можно составить шесть троек:

, , ; , , ; , , ; (2.4)

, , ; , , ; , , . (2.5)

Все тройки (2.4) – одной ориентации, и все тройки (2.5) – тоже одной ориентации, но каждая из троек (2.4) с любой тройкой (2.5) имеет противоположную ориентацию.

Упражнение. Показать, что тройки , , и , , имеют противоположную ориентацию.

Определение 4. Декартова система координат называется правой (левой), если базисные векторы , , составляют правую (левую) тройку.

Для определенности будем далее считать, что декартова система координат – правая (рис.2.2).

Определение 5. Векторным произведением вектора на вектор называется вектор , который удовлетворяет следующим трем условиям:

1) ;

2) , ;

3) тройка , , правая.

Векторное произведение будем далее обозначать .

Замечание 1. Длина равна площади параллелограмма, построенного на векторах и , приведенных к одному началу (рис.2.3).

Определение 6. Ортом вектора , , называется вектор , имеющий с одинаковое направление и такой, что .

Замечание 2. Из определения орта следует равенство .

(В самом деле, и векторы и имеют одинаковое направление.)

Замечание 3. Если – орт векторного произведения , а – площадь параллелограмма, построенного на и , приведенных к одному началу, то .

(Доказательство следует из определения 6.)

Теорема 4. Векторы и коллинеарны тогда и только тогда, когда .

Доказательство. Необходимость. Пусть и коллинеарны. Тогда

.

Достаточность. Пусть .

Случай 1. (либо , либо ). Так как направление нулевого вектора не определено, можем считать, что коллинеарен .

Случай 2. , . Так как , а и , то и коллинеарен (угол , либо ).