Алгебраические свойства векторного произведения:
1.
;
2.
;
3.
;
4. Для любого
.
Доказательство свойства 1.
Обозначим
,
.
Нам нужно доказать, что справедливо
равенство между векторами:
В соответствии с определением, данным
в лекции 1, нужно убедиться, что
и направления
и
совпадают.
Из определения 5 получаем
.
По определению 5
,
и
,
,
следовательно,
и
оба перпендикулярны плоскости
,
определяемой векторами
и
,
следовательно,
и
коллинеарны.
Пусть , и приведены к одному началу. Так как они составляют правую тройку, в соответствии с определением 3 с конца вектора кратчайший поворот от к кажется совершающимся против хода часовой стрелки. Тогда для любого вектора, расположенного по ту же сторону от , что и вектор , кратчайший поворот от к кажется совершающимся по ходу часовой стрелки, следовательно, вектор расположен по другую сторону от плоскости . Учитывая уже установленную коллинеарность и , получаем .
Свойство 2 примем без доказательства.
Доказательство свойства 3.
Обозначим
,
.
Случай 1.
.
Тогда
(так как
),
при этом
,
следовательно,
.
Случай 2.
.
а) Векторы
и
коллинеарны. Тогда по теореме 4
и
;
коллинеарен
(как произведение вектора
на число), следовательно,
коллинеарен
,
и по теореме 4
,
значит,
.
б) Векторы
и
не коллинеарны. Пусть
.
Тогда
.
Имеем
,
следовательно,
коллинеарен
.
С другой стороны,
,
поэтому
коллинеарен
.
Таким образом,
и
коллинеарны.
Так как , а , то направление совпадает с направлением вектора .
Направление
совпадает с направлением
,
а
,
следовательно, направление
совпадает с направлением
.
Итак, и коллинеарны и направления их совпадают, т.е. и свойство 3 в этом случае справедливо.
Пусть
.
Тогда
.
И
меем
и
коллинеарен
.
С другой стороны
и
коллинеарен вектору
.
Таким образом,
и
коллинеарны (и коллинеарны вектору
).
Вектор в соответствии с определениями 5 и 3 направлен таким образом, что с конца кратчайший поворот от к кажется совершающимся против хода часовой стрелки, тогда ( ), с конца кратчайший поворот от к кажется совершающимся по ходу часовой стрелки, следовательно, векторы и имеют противоположное направление.
Вектор
,
равный
,
тоже имеет направление, противоположное
направлению
,
таким образом,
и
направлены одинаково.
Учитывая доказанное ранее равенство
и коллинеарность
и
,
заключаем, что
,
– свойство 3 справедливо и в этом случае.
Доказательство свойства 4.
Так как любой вектор коллинеарен сам себе, то свойство 4, т.е. равенство , следует из теоремы 4.
Замечание. Свойства 2 и 3 справедливы также в форме:
).
;
).
.
В самом деле, докажем, например, :
.
Аналогично обосновывается .
Доказанные алгебраические свойства дают возможность, перемножая векторно линейные комбинации векторов, группировать коэффициенты, как при перемножении многочленов.
Теорема 5. Пусть
,
,
– декартов базис,
,
.
Тогда
.
Доказательство. Имеем
.
(2.6)
Найдем всевозможные векторные произведения базисных векторов.
В силу свойства 4
.
Так как базис , , декартов и длина каждого базисного вектора равна единице, каждое из оставшихся шести векторных произведений либо вектор базиса, либо противоположный ему. Векторы базиса образуют правую тройку, поэтому
,
,
,
(2.7)
а, привлекая свойство 1 и используя (2.7), получаем
,
,
,
Подставляя эти соотношения в (2.6), приходим к равенству
или
. (2.8)
Следствие. Пусть
,
,
– декартов базис,
,
.
Векторы
и
коллинеарны в том и только том случае,
когда
.
Действительно, и коллинеарны в том и только том случае (см. теорему 4), когда . Учитывая теорему 5, получаем: и коллинеарны в том и только том случае, когда
,
,
,
или
,
,
,
(2.9)
или
,
,
,
или
. (2.10)
Замечание.
Чтобы обойти трудность с равенством
нулю знаменателя в (2.10), договоримся в
том случае, когда
– координаты некоторых векторов
и
,
понимать равенство (2.10) как три равенства
(2.9).