Теорема доказана.
Следствие. Все базисы линейного пространства состоят из одного и того же числа векторов.
Действительно, пусть
(I) и
(II) - два базиса в
.
Допустим,
.
Так как система (I) - базис,
то в силу теоремы 5 это означает, что
система (II) линейно
зависима. Это противоречит тому, что
(II) - базис. Отсюда
.
Допустим теперь, что
.
Так как система (II) - базис,
то в силу теоремы 5 это означает, что
система (I) линейно зависима.
Это противоречит тому, что (I)
- базис. Следовательно,
.
Вместе эти два заключения дают
.
Определение 6. Число векторов в любом базисе линейного пространства называется размерностью линейного пространства.
Для размерности линейного пространства
принято обозначение
.
В рассмотренных примерах:
если - линейное пространство всех геометрических векторов пространства,
;если - линейное пространство всех многочленов степени ,
;если - линейное пространство всех квадратных матриц порядка 2,
.