![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Ярославский государственный университет
- •2. Геометрическая (лучевая) оптика
- •3. Законы отражения и преломления света
- •4. Явление полного внутреннего отражения
- •1. Линзы. Ход лучей и построение изображений
- •2. Аберрации (погрешности) линз
- •3. Устройство и ход лучей в микроскопе
- •1. Волновые явления. Принцип Гюйгенса
- •2. Интерференция света
- •3. Дифракция света на круглом отверстии. Зоны Френеля
- •4. Дифракция Фраунгофера от щели
- •5. Дифракционная решетка
- •6. Дисперсия света
- •7. Поглощение света
- •1. Поляризованный свет
- •2. Методы получения поляризованного света
- •3. Явление вращения плоскости поляризации
- •Квантовая оптика
- •1. Тепловое излучение
- •2. Формулы Рэлея-Джинса и Планка
- •1. Фотоэффект
- •2. Тормозное рентгеновское излучение
- •3. Опыт Боте. Фотоны. Давление света
- •4. Эффект Комптона
- •6. Фотолюминисценсия
- •Квантовая физика и физика атома
- •1. Модели атома
- •1.1. Закономерности атомных спектров
- •1.2. Модель атома Томсона
- •1.3. Опыты Резерфорда. Ядерная модель атома
- •1.4. Постулаты Бора. Опыт Франка-Герца
- •Элементарная боровская теория атома водорода
- •1. Гипотеза де-Бройля. Волновые свойства вещества
- •2. Уравнение Шредингера
- •3. Квантово-механическое описание движения микрочастиц
- •4. Свойства волновой функции. Квантование
- •5. Частица в бесконечно глубокой одномерной потенциальной яме. Прохождение частиц через потенциальный барьер
- •6. Прохождение частицы через барьер
- •Квантово механическая теория атома водорода
- •Ядерная физики и физика элементарных частиц
- •1. Состав и характеристика атомного ядра
- •2. Масса и энергия связи ядра
- •3. Природа ядерных сил
- •4. Радиактивность
- •5. Ядерные реакции
- •Фундаментальные взаимодействия и элементарные частицы
4. Свойства волновой функции. Квантование
Значение уравнении Шредннгера далеко не исчерпывается тем, что с его помощью можно найти вероятность нахождения частицы в различных точках пространства. Из этого уравнения и из условий, налагаемых на волновую функцию, непосредственно вытекают правила квантования энергии. Упомянутые условия состоят в том, что волновая функция в соответствии с ее физическим смыслом должна быть однозначной, конечной и непрерывной во всей области изменении переменных х, у и z. В уравнение Шредингера входит в качестве параметра полная энергия частицы Е. В теории дифференциальных уравнений доказывается, что уравнения такого вида, как уравнение Шредингера, имеют решения, удовлетворяющие сформулированным выше условиям (т. е. однозначные, конечные и непрерывные), не при любых значениях параметра Е, а лишь при некоторых избранных значениях. Эти избранные значения называются собственными значениями параметра, а соответствующие им решения уравнения – собственными функциями задачи.
Отметим, что волновые функции должны быть всегда «нормированы» таким образом, чтобы
. (9)
Интегрирование производится по всей области изменения переменных х, у и z. Интеграл (9) представляет собой сумму вероятностей нахождения частицы во всех возможных элементах объема, т. е. вероятность обнаружить частицу в каком-либо месте пространства. Эта вероятность есть вероятность достоверного события и, следовательно, должна быть равна единице.
5. Частица в бесконечно глубокой одномерной потенциальной яме. Прохождение частиц через потенциальный барьер
Чтобы пояснить сказанное в предыдущем параграфе, рассмотрим конкретный пример, достаточно простой для того, чтобы уравнение Шредингера можно было легко решить.
Исследуем поведение частицы в бесконечно глубокой одномерной потенциальной яме. Предположим, что частица может двигаться только вдоль оси х. Пусть движение ограничено непроницаемыми для частицы стенками: х = 0 и х = l. Потенциальная энергия U имеет в этом случае следующий вид (рис. 8, а): она равна нулю при 0 < х < l и обращается в бесконечность при х < 0 и х > l.
Поскольку
функция
зависит только от одной координатых,
уравнение (4) будет иметь вид:
. (10)
За
пределы потенциальной ямы частица
попасть не может, поэтому вероятность
обнаружить частицу, а следовательно и
-функция
за пределами ямы равна нулю. Далее, из
условия непрерывности следует, что
должна быть равна нулю и на границах
ямы:
и
. (11)
Рис. 8. |
Рис. 9. |
Выражения
(11) и определяют те условия, которым
должны удовлетворять решения уравнения
(10), имеющие физический смысл. В области,
где
не равна тождественно нулю, уравнение
(10) принимает следующий вид:
. (12)
(U
в
этой области равна нулю). Введя обозначение
получим уравнение, хорошо известное из
теории колебаний:
. (12)
Решения такого уравнения, как известно, имеют вид:
.
Условиям
(11) можно удовлетворить соответствующим
выбором постоянных
и
.
Из условия
получаем, что
.
Далее, должно выполняться условие:
,что
возможно лишь в случае, если
(n
= 1, 2 3, …) (13)
(n
= 0 отпадает, поскольку при этом получается
тождественно равна нулю и частица нигде
не находится).
Из (13) вытекает, что решения уравнения (12) будут иметь физический смысл не при всех значениях энергии Е, а лишь при значениях, удовлетворяющих соотношению:
(n
= 1, 2 3, …).
Таким образом, не прибегая ни к каким дополнительным предположениям (как это пришлось сделать Бору), мы получили квантование энергии частицы и нашли собственные значения этой энергии:
(n
= 1, 2 3, …). (14)
Схема
энергетических уровней изображена на
рис. 8, б. Произведем оценку расстояний
между соседними уровнями для различных
значений массы частицы т
и
ширины ямы l.
Разность энергий двух соседних уровней
равна
.
Если взятьт
порядка
массы молекулы,
а
l
порядка 10 см
(молекулы
газа в сосуде), получается энергия
10-32n
эрг. Столь густо расположенные
энергетические уровни будут практически
восприниматься как сплошной спектр
энергии, так что хотя квантование энергии
в принципе будет иметь место, но на
характере движения молекул сказываться
не будет.
Аналогичный
результат получается, если взять т
порядка
массы электрона при тех же размерах ямы
(свободные электроны в металле). В этом
случае
будет иметь порядок 10-28n
эрг или 10-16n
эВ.
Однако
совсем иной результат получается для
электрона, если область, в пределах
которой он движется, будет порядка
атомных размеров (10-8см).
В
этом случае
будет иметь порядок 10-10n
эрг или 102n
эВ. Очевидно, что в этом случае дискретность
энергетических уровней будет проявляться
весьма заметным образом.
Собственными функциями, как следует из условия (13), будут
. (15)
Для нахождения коэффициента а воспользуемся условием нормировки (9), которое в данном случае запишется следующим образом:
.
На
концах промежутка интегрирования
подынтегральная функция обращается в
нуль. Поэтому значение интеграла можно
получить, умножив среднее значение
(равное,
как известно, 1/2) на длину промежутка l.
В результате получится:
,
откуда
.
Таким
образом, собственные функции имеют вид:
(n
= 1, 2, 3, …) (16)
Графики
функций (16) изображены на рис. 9, а. На
рис. 9, б дана плотность вероятности
обнаружения частицы на различных
расстояниях от стенок ямы,
равная
.
Как следует из графиков, частица в
состоянии прип
=
2 не может быть обнаружена в середине
ямы и вместе с тем одинаково часто бывает
как в левой, так и в правой половине ямы.
Такое поведение частицы, очевидно, не
совместимо с представлением о траекториях.
Отметим, что согласно классическим
представлениям все положения частицы
в яме равновероятны.