2. Уравнение Шредингера
Обнаружение волновых свойств микрочастиц делало необходимым создание новой механики, которая бы могла описать данные свойства. Эта механика получила название квантовой.
Основным уравнением квантовой механики является уравнение Шредингера:
, (2)
которое
нельзя вывести из каких-либо известных
ранее соотношений, аналогично второму
закону Ньютона в классической механике.
Его следует рассматривать как исходное
основное предположение, справедливость
которого доказывается тем обстоятельством,
что все вытекающие из него следствия
самым точным образом согласуются с
опытными фактами. Состояние микрочастицы
в этом уравнении описывается так
называемой волновой функцией (x,
y,
z,
t)
– пси функцией, которая может быть
найдена путем решения данного уравнения.
Остальные величины, входящие в эго
уравнение, имеют следующие значения: i
– мнимая единица;
(h–
постоянная
Планка), m
– масса частицы,
–
оператор
Лапласа (
),U
–
потенциальная энергия частицы.
Как следует из уравнения (2), вид волновой функции определяется потенциальной энергией U, т. е., в конечном счете, характером тех сил, которые действуют на частицу. В общем случае, U есть функция координат и времени. Для стационарного силового поля U волновая функция распадается на два множителя, одни из которых зависит только от времени, а второй – только от координат:
, (3)
где Е – полная энергия частицы.
В самом деле, подстановка функции (3) в уравнение (2) дает:
.
Сокращая
все члены этого уравнения на общий
множитель
и
произведя соответствующие преобразования
получим дифференциальное уравнение,
определяющее функцию
:
(4)
Уравнение (4) называется уравнением Шредингера для стационарных состояний. В дальнейшем мы будем называть его просто уравнение Шредингера.
К
уравнению Шредингера можно прийти путем
следующих рассуждений. Из опытов по
дифракции микрочастиц вытекает, что
параллельный пучок частиц обладает
свойствами плоской волны, распространяющейся
в направлении движения частиц. Уравнение
плоской волны, распространяющейся в
направлении оси х
имеет,
как известно, записывается
или в комплексном виде:
, (5)
подразумевая, что надо принимать во внимание вещественную часть этого выражения.
Согласно
гипотезе де-Бройля свободному движению
частицы соответствует плоская волна с
частотой
и
длиной волны
.
Заменяя
и р
в выражении (5) энергией и импульсом
частицы в соответствии с (1), получим
волновую функцию для свободной частицы,
движущейся в направлении оси х:
. (6)
Чтобы найти дифференциальное уравнение, которому удовлетворяет фуикция (6), воспользуемся соотношением между Е и р: Е = 2р2/m.
Продифференцировав функцию (6) один раз по t a второй раз дважды по х, получим:
Из
этих соотношений можно выразить Е
и р2
через функцию
и ее производные:
Подставляя последние выражения в соотношение Е = 2р2/m получим дифференциальное уравнение:
.
В общем случае, если направление волны не совпадает с осью х фаза колебаний будет зависеть от всех координат: х, у и z и уравнение будет совпадать с уравнением Шредингера (4) для случая U = 0 (частица по условию свободна):
. (7)
Таким образом, мы получили уравнение Шредингера для свободно движущейся частицы. Теперь следует обобщить уравнение (7) на случай частицы, движущейся в потенциальном поле сил, когда полная энергия Е слагается из кинетической энергии Т и потенциальной энергии U: E = T + U. Произведя такую замену, мы придем к уравнению (4).
Необходимо, однако, подчеркнуть, что приведенные рассуждения не могут рассматриваться как вывод уравнения Шредингера. Их цель – пояснить, каким образом можно было прийти к установлению вида волнового уравнения для микрочастицы. Доказательством же правильности уравнения Шредингера может служить лишь согласие с опытом тех результатов, которые получаются с помощью этого уравнения.