записать W = 5 мВ, тогда как в промежуточных вычислениях это же значение напряжения следует записывать W = 5 10 3 ;
все промежуточные расчеты следует выполнять с использованием не менее трех значащих цифр, если условие задачи не требует проведения вычислений с большей точностью. Если известна (вычислена) погрешность результата, то при окончательной записи его следует округлить с учетом величины погрешности. При этом надо руководствоваться положениями: наименьшие разряды числовых значений результата измерений и численных показателей точности (погрешности) должны быть одинаковы; значащих цифр численных показателей точности измерений должно быть не более двух. Например, если в результате расчета получилось значение погрешности 0,2371, то его надо округлить до 0,24. Затем надо округлить результат измерения таким образом, чтобы наименьшие разряды результата и погрешности были одинаковыми, т.е. результат 15,632 при погрешности 0,24 следует округлить до 15,63;
необходимые рисунки и графики должны быть выполнены карандашом на миллиметровой бумаге. На графиках должны быть отмечены расчетные точки;
в конце работы необходимо привести перечень использованной литературы, поставить дату и подпись.
КОНТРОЛЬНОЕ ЗАДАНИЕ
Задача 1. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ СЛУЧАЙНЫХ ПОГРЕШНОСТЕЙ
Вариант 0
Случайные погрешности измерения одного и того же напряжения вольтметром распределены по нормальному закону со средним квадратическим от-
клонением мВ. Систематическая погрешность отсутствует.
Какова вероятность того, что погрешность однократного измерения напряжения этим вольтметром не превысит по абсолютной величине 100 мВ?
Вариант 1
Результаты измерения одного и того же тока содержат случайные погрешности, распределенные по нормальному закону со средним квадратическим отклонением мА. Систематическая погрешность отсутствует.
Какова вероятность того, что случайная погрешность однократного измерения превысит по абсолютной величине 12 мА?
Вариант 2
В результате исследования амперметра установлено, что 95 % случайных погрешностей измерений одного и того же тока, выполненных с его помощью, не превышают 20 мА.
Полагая, что случайные погрешности измерения распределены по нормальному закону, а систематическая погрешность отсутствует, определите
4
среднее квадратическое отклонение случайной погрешности и доверительный интервал погрешности при доверительной вероятности 0,997.
Вариант 3
В результате исследования вольтметра установлено, что 99,7% случайных погрешностей измерения одного и того же напряжения не превосходят60 мВ. Полагая, что случайные погрешности измерения распределены по нормальному закону, а систематическая погрешность отсутствует, определите вероятности того, что погрешность однократного измерения напряжения не превысит по абсолютной величине 20, 40 мА.
Вариант 4
Случайная погрешность измерения сопротивления резистора складывается из двух составляющих, средние квадратические отклонения которых равны соответственно 1,5 и 1,1 Ом. Определите среднее квадратическое отклонение погрешности однократного измерения сопротивления и доверительный интервал погрешности однократного измерения при доверительной вероятности 0,997. Закон распределения случайной погрешности измерения принять нормальным.
Вариант 5
Исследованиями установлено, что 99,7% случайных погрешностей измерения одного и того же тока микроамперметром не превосходят 48 мкА. Полагая, что случайные погрешности измерения распределены по нормальному закону, а систематическая погрешность исключена, определите среднее квадратическое отклонение случайной погрешности и доверительные интервалы погрешности измерения тока при доверительных вероятностях 0,68 и 0,95.
Вариант 6
Исследованием измерительного моста установлено, что при измерении сопротивлений погрешности измерения имеют случайный характер и подчиняются нормальному закону распределения, причем 950 измерений одного и того же сопротивления из 1000 сопровождались погрешностями, не превышающими по абсолютной величине 0,15 Ом. Определите среднее квадратическое отклонение случайной погрешности и доверительные интервалы погрешностей однократного измерения сопротивления для доверительных вероятностей 0,68 и 0,997.
Вариант 7
Необходимо измерить ток I = 4А. Имеются два амперметра: один класса точности 0,5 с пределами измерения 0 - 20 А, другой класса точности 1,5 с пределами измерения 0 - 5 А. Определите у какого из амперметров основная погрешность (абсолютная) меньше и какой из них лучше использовать для измерения указанного тока. Полагая, что класс точности приборов характеризует предельно допустимую, случайную погрешность однократного измерения тока
5
при доверительной вероятности 0,997, определите среднее квадратическое отклонение случайных погрешностей обоих амперметров. Распределение случайных погрешностей амперметров нормальное.
Вариант 8
Результаты измерения одного и того же тока содержат случайные составляющие погрешности, распределенные по нормальному закону со средним
квадратическим отклонением = 4 мА. Систематическая погрешность отсутствует. Какова вероятность того, что при однократном измерении тока случайная погрешность измерения превысит по абсолютной величине 12, 8 мА.
Вариант 9
Имеются два вольтметра: c классами точности 0,5 и 1,0. Пределы измерения вольтметров одинаковы (0 - 100 В). Определите какой из этих вольтметров позволит измерить напряжение 1 и 10 В с наименьшей относительной погрешностью.
Примечание. Статистические характеристики случайной погрешности во всех вариантах задачи получены обработкой больших групп данных (n >50).
Задача 2. ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ПРЯМЫХ ИЗМЕРЕНИЙ
СМНОГОКРАТНЫМИ НАБЛЮДЕНИЯМИ
Внеизменных условиях получена группа из n наблюдений одного и того же напряжения. Результаты наблюдений приведены в табл. 1.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 1 |
|
№ |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
наблюдения |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Напряжение, |
37,9 |
38,0 |
38,3 |
37,8 |
38,4 |
38,3 |
38,0 |
38,4 |
38,2 |
37,9 |
мВ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Полагая, что систематическая погрешность в результатах наблюдений отсутствует, а случайные погрешности имеют нормальный закон распределения, найдите оценку результата измерения и границы погрешности результата измерения при доверительной вероятности 0,95.
Число наблюдений n в группе для вариантов задачи принять в соответствии с табл. 2. Значения результатов наблюдений берутся из табл. 1.
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
Таблица 2 |
|
№ |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
6 |
7 |
8 |
|
9 |
|
варианта |
|
|
|
|
|
9 |
|
|
|
|
|
n |
10 |
5 |
6 |
7 |
8 |
10 |
9 |
8 |
|
7 |
|
Пример. Для варианта 7 берутся первые 9 наблюдений (табл. 1). |
|
|
|||||||||
Значения коэффициента Стьюдента tq |
для заданного числа наблюдений |
||||||||||
и доверительной вероятности 0,95 приведены в табл. 3.
6
|
|
|
|
|
|
Таблица 3 |
|
n |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
|
tq |
2,78 |
2,57 |
2,45 |
2,36 |
2,31 |
2,26 |
|
Задача 3. ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ СОВМЕСТНЫХ ИЗМЕРЕНИЙ
Для построения зависимости сопротивления проводника от температуры выполнены совместные измерения температуры t и сопротивления R . Результаты измерений приведены в табл. 4.
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 4 |
|
Вариант |
T1, |
T2, |
T3, |
T4, |
R1, |
R2, |
R3, |
|
R4, |
|
0C |
0C |
0C |
0C |
Ом |
Ом |
Ом |
|
Ом |
0 |
20 |
30 |
40 |
50 |
49,9 |
51,0 |
53,3 |
|
54,9 |
1 |
50 |
60 |
70 |
80 |
55,0 |
57,2 |
58,8 |
|
60,4 |
2 |
10 |
20 |
30 |
40 |
105,0 |
109,0 |
112,0 |
|
118,0 |
3 |
30 |
40 |
50 |
60 |
113,0 |
118,5 |
120,3 |
|
125,0 |
4 |
10 |
20 |
30 |
40 |
55,1 |
57,9 |
59,1 |
|
62,0 |
5 |
30 |
40 |
50 |
60 |
60,0 |
63,0 |
64,0 |
|
66,1 |
6 |
100 |
120 |
130 |
160 |
76,0 |
79,2 |
82,0 |
|
89,1 |
7 |
15 |
25 |
35 |
45 |
56,0 |
59,0 |
60,2 |
|
63,5 |
8 |
50 |
60 |
70 |
80 |
121,9 |
125,0 |
131,0 |
|
134,1 |
9 |
20 |
30 |
40 |
60 |
49,9 |
51,1 |
53,3 |
|
56,9 |
Полагая, что зависимость сопротивления от температуры линейна и описывается формулой Rt = R0(1+ αt),где R0 - сопротивление проводника при 0 0С,- температурный коэффициент сопротивления, t - температура, в 0С, построить график зависимости R = f(t), воспользовавшись для этого методом наименьших квадратов. Нанести на график также зависимости R = f(t) с учетом предельных отклонений расчетных значений параметров.
При расчетах принять, что погрешность измерения температуры пренебрежимо мала, а среднее квадратическое отклонение случайной погрешности
измерения сопротивления R = 0,2 Ом. Распределение случайной погрешности измерения сопротивления - нормальное.
Задача 4. ОЦЕНИВАНИЕ ПОГРЕШНОСТИ КОСВЕННЫХ ИЗМЕРЕНИЙ
Варианты 0 - 4
Электрический двигатель постоянного тока используется для подъема массы m на высоту h. При этом коэффициент полезного действия двигателя e определяется как отношение работы mgh, совершенной двигателем к энергии WIt, подведенной к нему:
e mghWIt ,
где W, I - напряжение и ток двигателя;
t - время, в течение которого работал двигатель;
7
g - ускорение свободного падения.
Оцените погрешность косвенного измерения КПД двигателя, если m, h, W, и I измерены с относительными погрешностями, указанными в табл. 5. Погрешность определения g пренебрежимо мала.
|
|
|
|
|
Таблица 5 |
Вариант |
|
Погрешность измерения величины, % |
|
||
|
m |
h |
W |
I |
t |
0 |
1 |
1 |
0,5 |
0,5 |
5 |
1 |
0,5 |
1,5 |
0,2 |
0,5 |
3 |
2 |
1,5 |
1 |
0,3 |
0,3 |
5 |
3 |
1 |
1 |
1 |
0,5 |
3 |
4 |
0,7 |
1,5 |
0,5 |
1 |
3 |
Оценку погрешности измерения КПД выполните для случаев, когда погрешности, указанные в табл. 5, являются систематическими, случайными и независимыми.
Варианты 5 - 9
Производится косвенное измерение ускорения свободного падения g с помощью математического маятника. Известно, что период колебаний маятни-
ка T 2 |
l |
, где l - длина маятника. Измерив T и l, можно найти |
g 4 2 |
l |
. |
|
g |
T 2 |
|||||
|
|
|
|
Оцените погрешность косвенного измерения ускорения свободного падения, если l и T измерены с относительными погрешностями, указанными в табл. 6. Значение определено точно (погрешностью определения пренебречь).
|
|
|
|
8 |
Таблица 6 |
Вариант |
5 |
6 |
7 |
9 |
|
Погрешность |
|
|
|
|
|
измерения |
0,1 |
0,2 |
0,3 |
0,05 |
0,1 |
l , % |
|
|
|
|
|
Погрешность |
|
|
|
|
|
измерения |
0,2 |
0,1 |
0,3 |
0,1 |
0,3 |
Т, % |
|
|
|
|
|
Оценку погрешности измерения g выполнить для случаев, когда погрешности (табл. 6), являются: систематическими, случайными и независимыми.
Полагая, что измеренные значения l = 92,9 см, Т = 1,9 с, вычислите значение ускорения свободного падения g и абсолютную погрешность g его оп-
ределения, записав результат в виде g g , м/с2 .
8