2.5.2. Биения
Биения − это колебания, с периодически изменяющейся амплитудой, получающиеся в результате сложения двух гармонических колебаний одного направления с близкими частотами. Сами биения не являются гармоническими колебаниями.
Выведем
уравнение биений. Для этого рассмотрим
два гармонических колебания х1
и х2, происходящих в одном
направлении с близкими частотами (
>>
)
и равными амплитудами (для удобства
расчетов):
.
Тогда результирующее колебание будет происходить по закону
, (2.37)
где при выводе
формулы (2.37) была учтена формула сложения
косинусов ( 
).
Первый
сомножитель в выражении (2.37) изменяется
со временем значительно медленнее
второго (
),
поэтому можно считать, что результирующее
колебание
представляет собой колебание с циклической
частотой
и с изменяющейся со временем амплитудой
[3]
. (2.38)
Под периодом
биений – понимают период изменения
амплитуды результирующего колебания:
, (2.39)
где
– циклическая частота биений [3].
На рис. 2.10
приведены графики зависимости амплитуды
биений
и смещения
м.т. от времени t [3].
Рис. 2.10
В общем случае,
когда складываются колебания близких
частот, но не равных амплитуд, амплитуда
результирующего колебания (биений)
изменяется в пределах, заключенных в
интервале от
до (
).
Приведем пример биений: источником двух звуковых сигналов является звуковой генератор. Сначала генерируются сигналы разных частот, таких, что человек различает эти сигналы как отдельные. По мере сближения с помощью звукового генератора частот этих сигналов, человек начинает вместо двух разных сигналов слышать один, но с переменной амплитудой (биения). При выравнивании частот сигналов человек слышит один звуковой сигнал с постоянной амплитудой.
Биения можно
использовать, например: 1) для настройки
музыкальных инструментов, при анализе
восприятия звуков человеком; 2) для
определения частоты какого-либо
гармонического электрического колебания.
Для этого на вход осциллографа подают
гармонические колебания от звукового
генератора (частоту
этих колебаний можно изменять) и
гармонические колебания с неизвестной
частотой
от какого-либо источника. По наблюдаемой
на экране осциллографа картине биений
определяют период биений
и частоту колебаний (
)
[3].
2.5.3. Сложение взаимно перпендикулярных колебаний. Фигуры Лиссажу
Рассмотрим материальную
точку, одновременно участвующую в двух
взаимно перпендикулярных колебаниях,
происходящих вдоль осей
и
, (2.40)
В общем случае, в результате
сложения этих колебаний материальная
точка будет двигаться по траектории,
определяемой соотношением их частот,
амплитуд и разности начальных фаз
[3].
а) Пусть частоты складываемых колебаний одинаковы
Проводя математические преобразования и избавляясь от временной зависимости, получим уравнение траектории результирующего движения:
(2.41)
Рассмотрим некоторые примеры сложения взаимно перпендикулярных колебаний.
1)
;
;
;
(2.42)
– уравнение прямой. Траектория движения в этом случае изображена на рис. 2.11, а.
2)
;
;
(2.43)
– уравнение прямой. Траектория результирующего движения изображена на рис. 2.11, б.
3)
(2.44)
– уравнение эллипса (при
получается окружность). Траектория
результирующего движения изображена
на рис. 2.11, в.
Рис. 2.11
Направление движения точки по траектории определяется разностью начальных фаз (см. рис. 2.11, в).
Все изображенные на рис. 2.11 траектории движения м.т. называют фигурами Лиссажу. В случае, если частоты складываемых колебаний различны, получаются фигуры Лиссажу более сложной формы.
Фигуры Лиссажу можно применять для определения частоты какого-либо гармонического колебания (сигнала). Для этого нужно на входы х и у осциллографа подать два сигнала – с известной (колебание поступает от генератора электромагнитных колебаний, его частоту можно плавно изменять) и неизвестной частотой. Изменяя частоту генератора можно добиться устойчивой фигуры Лиссажу и, зная по ее виду отношение частот складываемых колебаний определить неизвестную частоту [3].