Вопросы и задания для самоконтроля к лекции 3

1. Что называют квазиупругой силой? Чему равен коэффициент квазиупругой силы в случае математического маятника?

2. Четыре системы с одинаковыми массами m и различными коэффициентами упругости k, совершают гармонические колебания в соответствие с нижеприведенными уравнениями. Для какой системы коэффициент упругости наименьший?

1) x = 6sin(3πt+π), см. 4) x = 5cos(5πt+π/2), см.

2) x = 3cos(2πt+π), см. 8) x = 2sin(4πt+π/2), см.

3. Что называют логарифмическим декрементом затухания?

4. Материальная точка совершает затухающие колебания в соответствие с законом . Логарифмический декремент затухания колебаний λ = 0,001. Определите коэффициент затухания  и частоту  затухающих колебаний.

5. Амплитуда затухающих колебаний математического маятника за 1 минуту уменьшилась вдвое. Во сколько раз уменьшится амплитуда за время 4 минуты?

6. Сформулируйте определение механического резонанса. Приведите встречающиеся примеры проявления механического резонанса.

Лекция 4

Основные понятия и законы, которые должны быть освоены в ходе лекции: векторная диаграмма, биения, фигуры Лиссажу.

2.5. Сложение гармонических колебаний

2.5.1. Диаграмма вектора амплитуды. Сложение гармонических колебаний одного направления и одинаковой частоты

Гармонические колебания можно представить с помощью вектора амплитуды, вращающегося вокруг точки O с угловой скоростью  (рис. 2.8). Длина этого вектора равна амплитуде колебаний. В начальный момент времени угол между вектором амплитуды и положительным направлением оси x равен начальной фазе колебаний. Тогда проекция вектора на ось в момент времени t = 0 равна . С течением времени проекция на ось Oх вращающегося вектора амплитуды изменяется по гармоническому закону . Такой способ представления гармонических колебаний называют векторной диаграммой или диаграммой вектора амплитуды.

Рис. 2.8

С помощью векторной диаграммы удобно складывать колебания одинаковой частоты и одного направления. Рассмотрим подробнее.

Пусть тело одновременно участвует в двух гармонических колебаниях одинаковой частоты, происходящих в одном направлении согласно законам

, (2.33)

. (2.34)

Результирующее движение представляет собой сумму колебаний и и будет также гармоническим колебанием той же циклической частоты [3]

.

Рис. 2.9

Чтобы найти амплитуду и начальную фазу результирующего колебания воспользуемся диаграммой вектора амплитуды. Из точки O проведем вектора и под углами ₀₁ и ₀₂ к оси (рис.2.9) и приведем их во вращение с угловой скоростью .

Проекции векторов и на ось при этом совершают гармонические колебания в соответствии с уравнениями (2.33, 2.34). Результирующее колебание будет изображаться проекцией на ось вектора , полученного из векторов и по правилу параллелограмма [3]. Из построения на рис.2.9 и теоремы косинусов следует, что

, (2.35)

, (2.36)

где A – амплитуда, – начальная фаза результирующего колебания.

Рассмотрим некоторые частные случаи сложения колебаний.

1. ,

т.е. если разность фаз складываемых колебаний равна четному числу π, то тогда колебания максимально усиливают друг друга.

2. ,

т.е. если разность фаз складываемых колебаний равна нечетному числу π, то тогда колебания максимально ослабляют друг друга [3].

3. .