2.3.2. Основные характеристики затухающих колебаний
1. Критический
коэффициент сопротивления среды
– это такой коэффициент, при котором в
системе происходит апериодическое
движение. При этом изменение
смещения груза к положению равновесия
происходит в отсутствие колебательного
движения (кривая 1 или 2 на рис. 2.6).
Убывание смещения тела в механической системе по кривым 1 или 2, либо по кривой, расположенной между ними, зависит от начальных условий (например, от того, сообщили или нет маятнику после выведения его из положения равновесия начальную скорость).
Так как при r = rк колебательное движение отсутствует, то
;
(2.22)
Для
в среде наблюдается апериодическое
движение тела, а при
в среде происходят затухающие колебания.
Рис. 2.6
2. Время релаксации τ – это время, в течение которого амплитуда колебаний убывает в e раз (e - основание натурального логарифма) [3]
,
. (2.23)
За время
релаксации в системе совершается
полных колебаний [3]
. (2.24)
3. Логарифмический декремент затухания δ характеризует уменьшение амплитуды за период колебаний и численно равен
. (2.25)
4. Добротность Q системы вводят [3] как величину, определяющую потери энергии колебаний системы за один условный период колебаний,
(2.26)
2.4. Вынужденные механические колебания
2.4.1. Уравнение вынужденных механических колебаний
Если на колеблющуюся систему, кроме упругой (квазиупругой) силы и силы сопротивления, действует внешняя, периодически изменяющаяся сила, то в системе происходят вынужденные механические колебания.
Внешняя сила пополняет энергию системы, расходуемую на работу против силы сопротивления. Поэтому в системе с течением времени устанавливаются вынужденные колебания с постоянной амплитудой (незатухающие колебания).
Пусть внешняя сила изменяется
с частотой
по гармоническому закону:
.
Тогда в проекции на направление движения
(ось
)
II закон Ньютона имеет вид
, (2.27)
Учитывая, что
,
,
и
,
получим
(2.28)
– это дифференциальное уравнение вынужденных механических колебаний.
При установившихся вынужденных колебаниях зависимость смещения тела от времени описывается уравнением
,
где частота
установившихся вынужденных колебаний
равна частоте внешней силы
,
амплитуда
и начальная фаза
определяются соотношениями:
(2.29)
.
(2.30)
В данном случае начальная фаза определяет сдвиг по фазе между установившимися вынужденными колебаниями и внешней силой.
2.4.2. Механический резонанс
Механический
резонанс – это явление резкого возрастания
амплитуды вынужденных колебаний [3] при
приближении частоты вынуждающей силы
к некоторой характерной для данной
системы частоте
.
Резонансную частоту находим как частоту, при которой амплитуда вынужденных колебаний достигает максимального значения (знаменатель выражения (2.29) при этом имеет минимум):
,
откуда получаем выражение
. (2.31)
Амплитуда колебаний при резонансе равна:
. (2.32)
В случае, если
(сопротивление среды отсутствует), из
формулы (2.31) следует, что
,
а амплитуда вынужденных колебаний
.
Рис. 2.7
Зависимость амплитуды колебаний от частоты вынуждающей силы называется резонансной кривой.
На рис. 2.7 представлены резонансные кривые для различных значений коэффициента затухания . Высота и ширина резонансного пика, зависят от коэффициента затухания .