2.2.2. Уравнение незатухающих гармонических колебаний. Основные характеристики незатухающих колебаний.

Гармонические колебания происходят в замкнутой механической системе ( = 0) под действием упругой (квазиупругой) силы, в отсутствие сил трения (сопротивления). Полная механическая энергия системы при этом сохраняется.

Согласно II закону Ньютона

,

Учитывая, что и вводя обозначение , получим

(2.2)

– дифференциальное уравнение свободных незатухающих колебаний.

Решениями этого дифференциального уравнения являются функции:

, (2.3)

где – смещение от положения равновесия в момент времени ; – амплитуда колебаний, т.е. максимальное смещение (взятое по модулю) от положения равновесия; – циклическая частота незатухающих колебаний – скалярная физическая величина, численно равная числу полных колебаний, совершенных за секунд; – начальная фаза колебаний – определяет фазу колебаний в начальный момент времени;. – фаза колебаний – величина, определяющая смещение от положения равновесия в данный момент времени.

Кроме того, к основным характеристикам колебаний относятся также следующие величины: – период незатухающих колебаний, т.е. промежуток времени, за которое совершается одно полное колебание; – частота колебаний, численно равная числу полных колебаний, совершенных системой за 1 секунду.

, (2.4)

. (2.5)

В случае пружинного маятника циклическая частота и период незатухающих колебаний равны соответственно:

, (2.6)

а для математического маятника, с учетом того, что :

, (2.7)

Рассмотрим, как изменяются со временем скорость и ускорение колеблющегося тела. Пусть смещение тела от положения равновесия изменяется по закону косинуса:

. (2.8)

Учитывая определения скорости и ускорения тела, запишем:

, (2.9)

, (2.10)

где и – амплитудные (максимальные) значения скорости и ускорения колеблющегося тела, соответственно.

Графики зависимостей (2.8) – (2.10) при представлены на рис. 2.3

Рис. 2.3

Тело, совершающее гармонические колебания, обладает и кинетической, и потенциальной энергией:

(2.11)

. (2.12)

Поскольку в системе нет неконсервативных сил, то полная механическая энергия W системы не изменяется:

. (2.13)

На рис. 2.4 приведены графики зависимости кинетической, потенциальной энергии системы, отвечающие зависимостям (2.11), (2.12) при , а также полной энергии.

Как видно из графиков, приведенных на рис. 2.3 и 2.4, период изменения потенциальной и кинетической энергий в два раза меньше, чем для смещения х.

Рис. 2.4

2.3. Затухающие колебания

2.3.1. Уравнение затухающих колебаний

В реальных условиях механические колебания всегда происходят в какой-либо среде. В этом случае на тело, совершающее колебания, действуют квазиупругая (или упругая) сила и сила сопротивления среды , которая в при малых скоростях движения тела прямо пропорциональна его скорости движения и направлена противоположно ей.

, (2.14)

где коэффициент называют коэффициентом сопротивления среды.

Работа силы сопротивления приводит к уменьшению механической энергии замкнутой системы и уменьшению амплитуды колебаний. С помощью второго закона Ньютона выведем зависимость смещения х тела от положения равновесия с течением времен:

(2.15)

, (2.16)

, (2.17)

где параметр называют коэффициентом затухания.

Уравнение (2.16) является дифференциальным уравнением затухающих колебаний. Его решением является функция (уравнение затухающих колебаний в интегральной форме)

, (2.18)

где  – частота затухающих колебаний, зависящая от собственной частоты ₀ и коэффициента затухания:

. (2.19)

Амплитуда A(t) затухающих колебаний с течением времени уменьшается и определяется выражением

, (2.20)

Графики зависимости от времени t амплитуды колебаний и смещения приведены на рис. 2.5.

Рис. 2.5

Согласно формуле (2.13) полная механическая энергия колебаний пропорциональна квадрату их амплитуды. Поэтому энергия колебаний убывает также по экспоненциальному закону

. (2.21)

Затухающие колебания не являются строго периодическими вследствие уменьшения со временем их амплитуды. Однако под периодом T затухающих колебаний понимают минимальный промежуток времени, за который колеблющееся тело дважды отклоняется в одну сторону (рис.2.5). Период затухающих колебаний называют также условным периодом.