5.4.2. Туннельный эффект.

Потенциальным барьером называется область пространства, в которой потенциальная энергия частицы больше, чем в соседних областях.

Постановка задачи. Рассмотрим одномерную задачу о движении частиц с энергией W вдоль оси . Частицы из области 1 налетают на прямоугольный потенциальный барьер (область 2) высотой , причем W< (см. рис. 5.7, а). Что же происходит с частицами при их встрече с потенциальным барьером?

Согласно законам классической механики все частицы, для которых W< , отражаются от потенциального барьера и летят обратно. Проникновение таких частиц в области 2 и 3 (область за барьером) невозможно.

Решение уравнения Шредингера. В квантовой механике чтобы описать движение микрочастиц, при их встрече с потенциальным барьером, необходимо решить уравнение Шредингера в трех областях (см. рис. 5.7, а) Запишем уравнение Шредингера для каждой из областей и сразу приведем их решения.

Область 1: ,

.

Область 2:

,

.

Область 3: ,

, .

Из решения уравнения Шредингера для второй области видно, что не носит волнового характера, т.е. ее нельзя представить в виде гармонической функции синуса (косинуса). Это означает, что частица не может находиться в этой области сколь угодно долго, по истечении определенного промежутка времени она должна покинуть эту область пространства [4]. В третьей области пространства отражения нет, поэтому отраженной волны в области не будет.

Рис. 5.7

Полученные в ходе решения уравнения Шредингера для трех областей волновые функции, необходимо «сшить» на границе этих областей, т.е. наложить на волновые функции стандартные условия.

На рис. 5.7, б приведен график зависимости квадрата модуля волновой функции от координаты с учетом стандартных условий (условий сшивания), накладываемых на волновые функции на границах потенциального барьера. Из рис. 5.7, б видно, что вероятность обнаружения микрочастицы внутри потенциального барьера (вторая область) уменьшается с ростом координаты и что вероятность найти микрочастицу в области 3 (область за барьером) будет отлична от нуля [4].

Анализ полученного решения. При встрече микрочастиц с потенциальным барьером возникает туннельный эффект – явление проникновения частиц сквозь высокий (W < U₀) потенциальный барьер. Коэффициент прозрачности D потенциального барьера – величина, определяющая вероятность проникновения частиц сквозь потенциальный барьер и равная отношению интенсивности волны, прошедшей потенциальный барьер, к интенсивности волны, падающей на барьер. Это отношение интенсивностей волн можно найти с учетом условий сшивания, накладываемых на волновую функцию на границах потенциального барьера (см. рис. 5.7) [4]

. (5.19)

Как следует из формулы (5.19), коэффициент прозрачности прямоугольного потенциального барьера зависит от массы частицы ( ), ширины барьера ( ) и соотношения между высотой потенциального барьера и полной энергией налетающей на него частицы ( ).

В случае потенциального барьера произвольной формы (рис. 5.7,в), коэффициент прозрачности барьера определяется по формуле:

. (5.20)

Туннельный эффект объясняет многие наблюдаемые на опыте явления, такие например, как – распад ядер, холодную эмиссию электронов из металла и т.д.