5.2. Соотношения неопределенностей Гейзенберга
5.2.1. Соотношения неопределенностей как проявление волновых свойств
В отличие от
классических частиц, микрочастицы
обладают волновыми свойствами, в связи,
с чем возникают ограничения на применимость
таких понятий, как координата, импульс,
время, энергия, траектория движения и
т.д., для описания движения микрочастиц.
Эти ограничения устанавливаются
соотношениями неопределенностей
Гейзенберга, согласно которым
произведение неопределенностей (
)
двух сопряженных величин (А, В) не может
быть меньше постоянной Планка
[4]:
. (5.2)
В формуле
(5.2) в правой части в разных учебных
пособиях записывают либо
,
либо
,
либо h (важен порядок
величины, а не конкретная цифра).
Сопряженными называют величины, которые не могут иметь одновременно точных значений [4]. Так, в квантовой механике сопряженными величинами являются следующие пары величин: координата и соответствующая ей проекция импульса микрочастицы, а также энергия и время.
Приведем ряд примеров на соотношение неопределенностей Гейзенберга.
1. Сопряженными
величинами являются координата и
соответствующая ей проекция импульса
.
Тогда для них соотношение (5.2) можно
записать в виде
. (5.3)
Неравенство вида (5.3) является можно записать и для оставшихся двух координат и проекций импульса на соответствующие координатные оси:
, (5.4)
Однако координата микрочастицы и не соответствующая ей проекция импульса (т.е. проекция импульса на другую координатную ось), могут быть одновременно определены с большой точностью. В таких случаях можно записать:
.
Сопряженными величинами являются энергия и время (А = W, В =t). Для них соотношение (5.2) запишется в виде
. (5.5)
В формуле
(5.5)
– энергия частицы в квантовом состоянии,
– неопределенность (ширина, размытие
или разброс) по энергии данного квантового
состояния,
– неопределенность времени жизни
частицы в данном квантовом состоянии
[4].
5.2.2. Условия применимости классической механики для описания движения микрочастиц
Соотношение неопределенностей Гейзенберга можно использовать в качестве критерия применимости законов классической или квантовой механики для описания движения микрочастиц. Движение микрочастицы описывается в рамках классической механики, если к ее движению можно применить понятие траектории, т.е. одновременно с большой точностью определить (задать) координату и соответствующую проекцию импульса микрочастицы:
<<1,
<<1
. (5.6)
В формуле (5.6) величина L представляет собой характерный размер установки (размер области локализации частицы).
Перемножая неравенства в формуле (5.6) и используя соотношение неопределенностей Гейзенберга (5.3), а также формулу де Бройля (5.1), получим
<<1,
<<1
. (5.7)
Как следует из формулы (5.7), классическая механика применима для описания движения микрочастицы в случае, если длина волны де Бройля частицы существенно меньше размера ее области локализации.
Рассмотрим некоторые примеры, поясняющие условия (5.6) и (5.7).
1. Электрон
движется в электронно-лучевой трубке
длиной l = 0,10 см.
Ускоряющее напряжение на трубке U
= 10 кВ. За счет расходимости пучка
электронов радиус пятна на экране
(размер области локализации электрона)
составляет L =
м.
Оценим точность задания импульса электрона. Из рис. 5.4 видно, что
,
т
.е.
импульс электрона задан с большой
степенью точности.
Рис. 5.4
Оценим точность задания координаты электрона с помощью соотношения неопределенностей Гейзенберга (5.3):
.
Видим, что координата электронов тоже может быть определена с высокой степенью точности. Таким образом, к описанию движения электронов в электронно-лучевой трубке могут быть применены законы классической механики.
2. Движение электрона в
атоме. Размеры атома составляют
(размеры области локализации электрона).
Из теории Бора для атома водорода
известно, что скорость электрона на
первой боровской орбите равна
.
Оценим длину волны де Бройля, соответствующую
электрону в атоме водорода [4]
.
Как следует из полученного оценочного соотношения, при описании движения электрона в атомах необходимо применять законы квантовой механики.