2.8.3. Волновое уравнение

Уравнения (2.71), (2.72) плоской волны, распространяющейся в положительном (отрицательном) направлении оси Ох являются решениями дифференциального уравнения второго порядка, называемого волновым:

. (2.75)

Если плоская гармоническая волна распространяется в произвольном направлении, которое можно задать радиус-вектором , то ее волновое уравнение и уравнение волны запишутся, соответственно, следующим образом

, (2.76)

Вопросы и задания для самоконтроля к лекции 6

1. Сформулируйте определения поперечной и продольной волны. В каких средах они могут распространяться?

2. Выберите утверждения, которые Вы считаете верными для волны, распространяющейся в упругой среде?

1. Фронт волны является волновой поверхностью;

2. Волновые поверхности при распространении волны перемещаются;

3. Частицы среды вместе с волной не перемещаются, перемещается только фронт волны

4. Волновых поверхностей может быть бесконечное множество.

3. Для двух точек плоской гармонической волны, расстояние между которыми l = 3/4, разность фаз колебаний равна…

1) =4π/3 2) =3π/2 3) =π/2 4) =π

4. Чему равна длина волны с частотой 4 Гц, распространяющейся по шнуру со скоростью 8 м/с?

5. На рисунке приведены фотография плоской волны, распространяющейся в упругой среде вдоль оси 0х, в некоторый момент времени и зависимость скорости колебаний произвольной частицы среды от времени. Используя приведенные зависимости, определите фазовую скорость волны и максимальную скорость колебаний частиц среды.

Лекция 7

Основные понятия и законы, которые должны быть освоены в ходе лекции: определение электромагнитной волны (ЭМВ, основные свойства ЭМВ; волновое уравнение; объемная плотность энергии электромагнитной волны; поток энергии; вектор Умова – Пойтинга.

2.9. Электромагнитные волны

2.9.1.Основные свойства электромагнитных волн. Волновое уравнение

Электромагнитной волной (ЭМВ) называется процесс распространения в пространстве с конечной скоростью неразрывно связанных друг с другом переменных электрического и магнитного полей.

Существование ЭМВ вытекает из теории Максвелла, в основе которой лежат два постулата: 1) переменное магнитное поле порождает в окружающем пространстве вихревое электрическое поле (явление электромагнитной индукции); 2) переменное электрическое поле, в свою очередь, порождает в окружающем пространстве вихревое магнитное поле.

За счет непрерывного взаимопревращения электромагнитное поле распространяется в пространстве в виде электромагнитных волн.

Теория Максвелла не только предсказала возможность существования электромагнитных волн, но и установила их основные свойства [4].

1. В электромагнитной волне (ЭМВ) вектора напряженности электрического поля и магнитной индукции совершают колебания в одинаковой фазе:

. (2.77)

Кроме того, вектора напряженности электрического поля и магнитной индукции совершают колебания (рис. 2.21) в плоскости, перпендикулярной скорости распространения волны: , . Следовательно ЭМВ – поперечная волна [4]. Как видно из рис. 2.21, на котором изображена "моментальная фотография ЭМВ", вектора , и образуют правую тройку.

Рис. 2.21

Уравнения (2.77) являются решениями волновых уравнений ЭМВ [4]:

(2.78)

В левой части волновых уравнений (2.78) использовано обозначение оператора Лапласа:

. (2.79)

2. Электромагнитные волны могут распространяться как в веществе, так и в вакууме. Скорость распространения ЭМВ в среде зависит от электрических и магнитных свойств вещества.

Скорость с распространения ЭМВ в вакууме является максимальной и выражается через электрическую (₀) и магнитную (₀) постоянные:

. (2.80)

В любой среде электромагнитные волны распространяются со скоростью , меньшей, чем в вакууме:

, (2.81)

где – абсолютный показатель преломления данного вещества, зависящий от относительной диэлектрической  и относительной магнитной проницаемости  среды [4]. Таким образом, скорость ЭМВ в веществе равна

. (2.82)

3. Если электромагнитная волна попадает на границу раздела двух сред с различными абсолютными показателями преломления n₁ и n₂, то происходит отражение и преломление ЭМВ (рис. 2.22). При этом выполняются следующие законы [4]:

- падающий, отраженный и преломленный лучи, а также перпендикуляр к границе раздела сред, восстановленный в точке падения луча, лежат в одной плоскости (рис. 2.22);

- закон отражения: ;

- закон преломления:

, (2.83)

где n₂₁ – относительный показатель преломления второй среды относительно первой.

Рис. 2.22

Кроме того, при переходе ЭМВ из одной среды в другую, период Т волны и ее частота ν остаются неизменными, а скорость  и длина волны λ изменяются, так как

, (2.84)

где  – длина волны в вакууме, _ср – длина волны в среде.

Рассматривая отражение электромагнитной волны от границы раздела двух сред, необходимо учитывать соотношение между показателями преломлений этих двух сред. Так, если ЭМВ отражается от оптически более плотной среды ( ), то фаза колебаний вектора изменяется на (вектора и направлены в противоположные стороны, рис. 2.23,а). При этом фаза вектора не изменяется (вектора и сонаправлены, рис. 2.23,а) [3]. При отражении ЭМВ от оптически менее плотной среды ( ), наоборот, изменяется скачком на фаза колебаний вектора магнитной индукции, при этом фаза колебаний вектора остается прежней (рис. 2.23,б).

Рис. 2.23

Изменение на фазы векторов или , означает что при отражении падающей на границу раздела двух сред плоской ЭМВ, тройка векторов , и поворачивается на угол 180⁰ либо вокруг вектора (если , рис. 2.23,а), либо вокруг вектора (если , рис. 2.23,б) [3].

4. Электромагнитные волны материальны. Распространяясь в пространстве, они обладают массой, импульсом, производят давление на поверхность, на которую они падают [4].

5. В любой момент времени объемные плотности энергии электрического ( ) и магнитного ( ) полей электромагнитной волны одинаковы:

, (2.85)