2.6.2. Уравнения незатухающих электромагнитных колебаний.

Поскольку в идеальном колебательном контуре полная энергия остается постоянной:

, (2.45)

то ее производная по времени равна нулю: ;

. (2.46)

Учитывая, что , а и вводя обозначение , преобразуем уравнение (2.46)к виду

. (2.47)

Уравнение (2.47) описывает изменение заряда на обкладках конденсатора с течением времени и является дифференциальным уравнением свободных электромагнитных колебаний. Решением уравнения (2.47) является гармоническая функция

, (2.48)

где – циклическая частота незатухающих колебаний; – начальная фаза; – амплитудное (максимальное) значение заряда на обкладках конденсатора.

Период свободных электромагнитных колебаний

. (2.49)

Получим закон изменения силы тока в колебательном контуре с течением времени:

, (2.50)

где – амплитудное значение силы тока в контуре.

Зависимость от времени разности потенциалов на обкладках конденсатора:

, (2.51)

где – амплитудное значение напряжения на конденсаторе.

На рис. 2.13. представлены графики зависимостей (2.48), (2.50), (2.51) при начальной фазе колебаний .

Рис. 2.13

Рассмотрим зависимости от времени энергии электрического и магнитного полей:

. (2.52)

. (2.53)

На рис. 2.14 приведены графики, выражающие зависимости (при ) энергии электрического и магнитного поля в колебательном контуре, а также полной энергии W контура от времени. Из приведенных графиков видно, что период изменения энергии электрического (магнитного поля) в два раза меньше периода колебаний заряда (силы тока) в контуре.

Рис. 2.14

2.7. Затухающие электромагнитные колебания

2.7.1. Уравнение затухающих электромагнитных колебаний

Если колебательный контур (рис. 2.15) обладает активным сопротивлением R, то полная энергия контура с течением времени уменьшается вследствие выделения джоулева тепла на резисторе R при протекании через него тока. В таком контуре будут наблюдаться затухающие электромагнитные колебания.

Рис. 2.15

Выведем уравнение затухающих электромагнитных колебаний. Изменение полной энергии контура за единицу времени равно выделяющейся тепловой мощности на сопротивлении R:

; (2.54)

. (2.55)

Учитывая, что , а ; и, вводя обозначение

, (2.56)

получим

. (2.57)

Уравнение (2.57) является дифференциальным уравнением затухающих электромагнитных колебаний. Решением этого уравнения является функция, описывающая изменение заряда на обкладках конденсатора с течением времени:

, (2.58)

где – амплитуда колебаний заряда на обкладках конденсатора. С течением времени убывает по экспоненциальному закону:

. (2.59)

Коэффициент затухания β, входящий в показатель экспоненты, характеризует быстроту уменьшения амплитуды колебаний, а частота затухающих колебаний связана с собственной частотой соотношением

(2.60)

На рис. 2.16 изображен график зависимости заряда на обкладках конденсатора от времени.

Рис.  2.16

Полная энергия колебательного контура уменьшается со временем по закону:

. (2.61)

Как видно из формул (2.21) и (2.61), энергия системы как в случае механических, так и электромагнитных затухающих колебаний убывает по экспоненциальному закону.