2 курс / Методички / 01

При h = 0 получаем закон Био– Савара– Лапласа для кругового тока (3.7).

Рис. П-12

r

4. ТЕОРЕМА О ЦИРКУЛЯЦИИ ВЕКТОРА В

r

Циркуляцией вектора B по заданному замкнутому контуру L называется следующий интеграл по этому контуру (рис. П-13):

r

∫B × dl = ∫ Bl × dl,

21

где dl – элемент длины контура, направленный вдоль обхода конту-

где n – число проводников с токами, охватываемых контуром L про- извольной формы.

Эта теорема справедлива только для поля в вакууме, поскольку для поля в веществе надо учитывать молекулярные токи. Каждый ток учитывается столько раз, сколько он охватывается контуром. Поло- жительным считается ток, направление которого связано с направле- нием обхода по контуру правилом правого винта.

лю. Такое поле является потенциальным. Циркуляция вектора В магнитного поля не равна нулю. Такое поле называется вихревым.

5. ПОТОК ВЕКТОРА МАГНИТНОЙ ИНДУКЦИИ

Потоком вектора магнитной индукции (магнитным потоком) через площадку dS называется скалярная физическая величина, рав- ная

22

r

dФm = B × dS = Bn × dS,

где Bn = B cos a – проекция вектора В на направление нормали n к

площадке dS; a – угол между векторами n и В; dS – вектор, модуль которого равен dS, а направление совпадает с направлением нормали n к площадке.

Поток вектора В может быть как положительным, так и отри- цательным в зависимости от знака cos α.

Поток вектора магнитной индукции через произвольную по- верхность S:

r

Фm = ∫ B × dS = ∫ Bn × dS.

S S

Единица магнитного потока – вебер (Вб).

6. ТЕОРЕМА ГАУССА ДЛЯ МАГНИТНОГО ПОЛЯ В ВАКУУМЕ

Поток вектора магнитной индукции сквозь любую замкнутую поверхность равен нулю:

r

∫B dS = 0.

Эта теорема отражает факт отсутствия магнитных зарядов, вследствие чего линии магнитной индукции не имеют ни начала ни конца и являются замкнутыми.

7. ЗАКОН ФАРАДЕЯ

Обобщая результаты опытов, Фарадей показал, что всякий раз, когда происходит изменение сцепленного с контуром потока магнит- ной индукции, в контуре возникает индукционный ток.

Возникновение индукционного тока указывает на наличие в цепи электродвижущей силы. Эта ЭДС называется электродвижущей силой электромагнитной индукции.

ЭДС электромагнитной индукции в контуре численно равна и противоположна по знаку скорости изменения магнитного потока сквозь поверхность, ограниченную этим контуром:

ei = - dФ . dt

23

Направление индукционного тока определяется по правилу Ленца: при всяком изменении магнитного потока сквозь поверхность, натянутую на замкнутый проводящий контур, в последнем возникает индукционный ток такого направления, что его магнитное поле про- тиводействует изменению магнитного потока.

8. ЭДС ИНДУКЦИИ В НЕПОДВИЖНЫХ ПРОВОДНИКАХ

Согласно закону Фарадея, возникновение ЭДС электромагнит- ной индукции возможно и в случае неподвижного контура, находя- щегося в переменном магнитном поле. Однако сила Лоренца на не- подвижные заряды не действует, поэтому в данном случае ею нельзя объяснить возникновение ЭДС индукции.

Кроме того, опыт показывает, что ЭДС индукции не зависит от рода вещества проводника, от состояния проводника, в частности, от его температуры, которая может быть неодинаковой вдоль проводни- ка. Следовательно, сторонние силы, индуцируемые магнитным по- лем, не связаны с изменением свойств проводника в магнитном поле, а обусловлены самим магнитным полем.

Максвелл для объяснения ЭДС индукции в неподвижных про-

водниках предположил, что переменное магнитное поле возбуждает в окружающем пространстве вихревое электрическое поле, которое и является причиной возникновения индукционного тока в провод- нике.

Вихревое электрическое поле не является электростатиче-

ским.

Силовые линии электростатического поля всегда разомкнуты – они начинаются и заканчиваются на электрических зарядах. Напро- тив, электрическое поле, возбуждаемое изменениями магнитного по- ля, имеет непрерывные силовые линии, т.е. представляет собой вих- ревое поле. Такое поле вызывает в проводнике движение электронов по замкнутым траекториям и приводит к возникновению ЭДС – сто-

ронними силами являются силы вихревого электрического поля. r

Циркуляция ЕB этого поля по любому контуру L проводника представляет собой ЭДС электромагнитной индукции

9. СИСТЕМА УРАВНЕНИЙ МАКСВЕЛЛА ДЛЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ

В теории Максвелла решается основная задача электродина-

мики: найти характеристики электромагнитного поля заданной сис- темы электрических зарядов и токов.

Теория Максвелла явилась величайшим вкладом в развитие классической физики. Она позволила с единой точки зрения охватить огромный круг явлений, начиная от электростатического поля непод- вижных зарядов и кончая электромагнитной природой света.

Теория Максвелла – макроскопическая. В ней рассматриваются макроскопические электромагнитные поля макроскопических заря- дов и токов, т. е. таких систем покоящихся и движущихся зарядов, пространственная протяженность которых неизмеримо больше раз- меров отдельных атомов и молекул.

Математическим выражением теории Максвелла служат четы- ре уравнения Максвелла, которые принято записывать в двух фор- мах: интегральной и дифференциальной. Уравнения в интегральной форме выражают соотношения, справедливые для мысленно прове- денных в электромагнитном поле неподвижных замкнутых контуров и поверхностей. Уравнения Максвелла в дифференциальной форме показывают, как связаны между собой характеристики электромаг- нитного поля и плотности электрических зарядов и токов в каждой точке этого поля. Дифференциальные уравнения Максвелла получа- ются из интегральных с помощью двух теорем векторного анализа:

теоремы Гаусса и теоремы Стокса.

Первое уравнение Максвелла в интегральной форме. Цир-

куляция вектора напряженности электрического поля по произволь- ному замкнутому контуру L равна взятой с обратным знаком скоро- сти изменения магнитного потока сквозь поверхность, натянутую на контур:

Это уравнение показывает, что источником электрического по- ля могут быть не только электрические заряды, но и меняющиеся во

времени магнитные поля.

Второе уравнение Максвелла. Обобщенная теорема о цирку- r

ляция вектора H :

25

Это уравнение показывает, что магнитные поля могут воз- буждаться либо движущимися зарядами (электрическими токами), либо переменными электрическими полями.

– плотность тока смещения.

Плотность тока смещения в данной точке пространства равна

скорости изменения вектора электрического смещения в этой точке.

Третье уравнение Максвелла – выражает теорему Гаусса для r

потока вектора электрического смещения D сквозь произвольную замкнутую поверхность S, охватывающую суммарный свободный заряд q:

∫ r r =

Dds q.

S

Если заряд распределен внутри замкнутой поверхности непре- рывно с объемной плотностью ρ, то третье уравнение Максвелла за- пишется следующей формулой:

Четвертое уравнение Максвелла является обобщением тео-

ремы Гаусса на переменное магнитное поле:

∫ r r =

Bds 0.

S

Это уравнение показывает, что магнитный поток через про- извольную неподвижную замкнутую поверхность, мысленно прове- денную в электромагнитном поле, равен нулю.

Величины, входящие в уравнения Максвелла, не являются не- зависимыми и между ними существует связь:

где ε0 и μ0 – соответственно электрическая и магнитная постоян-

ные; ε и μ – соответственно диэлектрическая и магнитная

проницаемости; γ – удельная электропроводность материала. Уравнения Максвелла не симметричны относительно электри-

ческого и магнитного полей. Это связано с тем, что в природе суще- ствуют электрические заряды, но нет зарядов магнитных.

Для стационарных полей ( E = const и B = const ) уравнения Максвелла примут вид

В данном случае электрические и магнитные поля независимы друг от друга, что и позволяет изучать отдельно постоянные элек- трическое и магнитное поля.

Воспользовавшись известными из векторного анализа теоре- мами Стокса и Гаусса

можно представить полную систему уравнений Максвелла в диффе- ренциальной форме:

Из уравнений Максвелла следует, что переменное магнитное поле всегда связано с порождаемым им электрическим полем, а пе- ременное электрическое поле всегда связано с порождаемым им маг- нитным, т. е. электрическое и магнитное поля неразрывно связаны друг с другом – они образуют единое электромагнитное поле.

27

Методическое издание

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ГОРИЗОНТАЛЬНОЙ СОСТАВЛЯЮЩЕЙ НАПРЯЖЕННОСТИ МАГНИТНОГО ПОЛЯ ЗЕМЛИ

Методические указания к выполнению лабораторной работы 1

Составители СЛИНКИНА Тамара Александровна БАРАНОВ Александр Григорьевич

Подписано в печать 12.01.2005. Формат 60×84/16. Бумага офисная. Гарнитура «Таймс». Печать плоская. Уч.-изд. л. 1,95. Усл. п. л. 1,62.

Тираж 200 экз. Заказ С

Отпечатано в отделе копировально-множительной техники СибГАУ. 660014, г. Красноярск, просп. им. газ. «Красноярский рабочий», 31.

28