Федеральное агентство по образованию Сибирский государственный аэрокосмический университет
имени академика М. Ф. Решетнева
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ГОРИЗОНТАЛЬНОЙ СОСТАВЛЯЮЩЕЙ НАПРЯЖЕННОСТИ МАГНИТНОГО ПОЛЯ ЗЕМЛИ
Методические указания к выполнению лабораторной работы 1
Красноярск 2005
УДК 550.383.(076.5)
Рецензент доктор физико-математических наук, профессор Е. В. БАБКИН
Определение горизонтальной составляющей напряженно-
сти магнитного поля Земли: Метод. указания к выполнению лабо- раторной работы 1 / Сост. Т. А. Слинкина, А. Г. Баранов, СибГАУ. Красноярск, 2005. 28 с.
В методических указаниях приведена краткая теория магнитного поля Земли, описана экспериментальная установка, изложена методика проведения эксперимен- та. Даны вопросы и список рекомендуемой литературы, необходимые для подготов- ки, проведения и защиты работы.
© Сибирский государственный аэрокосмический университет имени академика М. Ф. Решетнева, 2005
2
Лабораторная работа 1
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ГОРИЗОНТАЛЬНОЙ СОСТАВЛЯЮЩЕЙ НАПРЯЖЕННОСТИ МАГНИТНОГО ПОЛЯ ЗЕМЛИ
Цель работы: определить горизонтальную составляющую на- пряженности магнитного поля Земли.
Приборы и принадлежности: тангенс – гальванометр, милли- амперметр, потенциометр, двойной переключатель, источник посто- янного тока.
КРАТКИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ
Земля представляет собой огромный магнит, полюса которого лежат вблизи географических полюсов: вблизи северного географи- ческого полюса расположен южный магнитный S, а вблизи южного географического – северный магнитный N. Магнитное поле Земли в первом приближении совпадает с магнитным полем диполя «аб» (рис. 1), помещенного в центре Земли. По последним гипотезам, поле Земли связано с токами, циркулирующими по поверхности ядра Зем- ли, а отчасти с намагниченностью горных пород и токами в радиаци- онных поясах.
Рис. 1
Магнитное поле Земли на экваторе направлено горизонтально (точка В), а у магнитных полюсов – вертикально (точка А).
3
В остальных точках земной поверхности магнитное поле Земли на- правлено под некоторым углом (точка К).
Величину проекции напряженности земного магнитного поля
Н на горизонтальную плоскость называют горизонтальной состав-
ляющей магнитного поля Земли Нг. Направление этой составляю-
щей принимается за направление магнитного меридиана, а верти-
кальная плоскость, проходящая через него, называется плоскостью магнитного меридиана. Угол ϕ между направлением магнитного по- ля Земли и горизонтальной плоскостью называют углом наклонения, а угол β между географическим и магнитным меридианом – углом склонения.
Магнитная стрелка, которая может вращаться лишь около вер- тикальной оси, будет отклоняться в горизонтальной плоскости толь- ко под действием горизонтальной составляющей магнитного поля Земли (Нг). Это свойство магнитной стрелки используется в тангенс- гальванометре для определения Нг. Тангенс-гальванометр представ- ляет собой плоскую вертикальную катушку радиусом R с некоторым числом витков N.
В центре катушки в горизонтальной плоскости расположен компас. Магнитная стрелка компаса при отсутствии тока в катушке будет расположена по магнитному меридиану Земли NS (рис. 2).
Рис. 2
4
Поворотом катушки около вертикальной оси можно добиться совмещения плоскости катушки с плоскостью магнитного меридиа- на. Если после такой установки катушки по ней пропустить ток, то магнитная стрелка повернется на некоторый угол a. Объясняется это тем, что на магнитную стрелку будут действовать два поля: первое – горизонтальная составляющая напряженности поля Земли Нг и вто- рое – созданное током – Нк.
Под действием этих полей магнитная стрелка займет такое по- ложение равновесия, при котором равнодействующая двух полей Н будет совпадать с линией, соединяющей полюса стрелки.
На рис. 2 NS – направление магнитного поля Земли; А и В – се- чения витка катушки горизонтальной плоскостью; N1S1 – магнитная стрелка компаса, помещенная в центре катушки; Нг – вектор горизон- тальной составляющей напряженности магнитного поля Земли; Нк – вектор напряженности магнитного поля, созданного током в катушке.
Обратите внимание на расположение магнитных силовых линий вокруг проводника с током; в точке А ток идет на нас (показан точкой), в точке В ток идет от нас (показан крестиком). Магнитное поле тока (век- тор Нк) направлено перпендикулярно к плоскости витков.
По рис. 2 видно, что
tg a = Hк ,
Нг
и, следовательно, |
|
|
|
|
|
|
Нг |
= |
|
Hк |
. |
(1) |
|
|
|
|||||
|
|
|
tg a |
|
||
Величина напряженности поля Нк, созданного током в центре |
||||||
витка, вычисляется по закону Био– Савара– Лапласа: |
|
|||||
Нк |
= |
J |
, |
(2) |
||
|
||||||
|
|
2R |
|
где J – ток, текущий в витке (А); R – радиус витка катушки (м). Напряженность магнитного поля в катушке с числом витков N
вычисляется по выражению (2) с учетом числа витков. Подставляя значение Нк в формулу (1), получим
Нг = |
JN |
. |
(3) |
|
2R × tg a |
||||
|
|
|
||
|
5 |
|
|
Этой формулой пользуются для опытного определения Нг.
В системе СИ напряженность магнитного поля измеряется в А/м.
ИЗМЕРЕНИЯ И ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ
Схема проведения опыта изображена на рис. 3.
Е
Рис. 3
1.Установить: 1) тумблер К включения источника питания Е –
вположение «ВЫКЛ»; 2) потенциометр П1 блока питания – в крайнее левое положение; 3) переключатель тока П2 в катушке тангенс- гальванометра – в среднее положение.
2.Поворачивая корпус компаса тангенс-гальванометра, совмес- тить северный полюс магнитной стрелки с «О» градусной шкалы.
3.Осторожно поворачивая катушку тангенс-гальванометра около вертикальной оси, добиться совмещения плоскости катушки с плоскостью магнитного меридиана.
4.Включить источник питания Е тумблером К.
5.Установить переключатель П2 тока в катушке тангенс- гальванометра в верхнее или нижнее положение.
6.Плавно увеличивая потенциометром П1 ток в катушке тан-
генс-гальванометра от 0 до 100…150 мА (через 10…15 мА), каждый раз измерять отклонение магнитной стрелки компаса вправо (a′) и
влево (a′′) от направления плоскости магнитного меридиана. Изме- няется направление отклонения магнитной стрелки при изменении направления тока в катушке. Направление тока меняется переключа- телем П2.
6
7. Для каждого опыта найти aср |
= a¢ + a¢¢ и Нг по формуле |
|
2 |
Н= JN .
г2R × tg aср
8.Вычисляют среднее значение горизонтальной составляющей магнитного поля Земли.
Все наблюдения и результаты вычислений записывают в таблицу.
|
|
′ |
′′ |
|
tg a |
ср |
Нг, |
Нг |
, |
П/п |
J, A |
a , |
a , |
aср |
|
|
ср |
||
град |
град |
|
|
А/м |
А/м |
||||
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
1.Как устроен тангенс-гальванометр?
2.По какой формуле определяется в этой работе значение горизонтальной составляющей напряженности магнитного поля Земли?
3.Для чего перед началом работы плоскость ка- тушки совмещают с плоскостью магнитного меридиана?
4.Как определяется направление напряженности магнитного поля; вектора магнитной индукции? Назови- те их единицы измерения.
5.Как вводится силовая характеристика магнитно- го поля – вектор магнитной индукции?
6.В чем состоит принципиальное отличие линий магнитной индукции стационарных магнитный полей от силовых линий электростатических полей?
7.Как найти силу, действующую в магнитном поле на малый элемент проводника с током и на участок про- водника конечной длины?
8.Как действует магнитное поле на помещенный в него замкнутый проводник с током?
9. Сформулируйте закон Био– Савара– Лапласа. r
Приведите примеры расчета В простейших магнитных полей проводников с током (магнитное поле прямоли- нейного проводника с током; магнитное поле в центре прямоугольного контура с током; магнитное поле круго- вого витка с током, магнитное поле соленоида).
8
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1.Детлаф, А. А. Курс физики / А. А. Детлаф, Б. М. Яворский. М.: Высш. шк., 1999.
2.Трофимова, Т. И. Курс физики / Т. И. Трофимо-
ва. М.: Высш. шк., 1985.
3.Савельев, И. В. Курс общей физики / И. В. Са- вельев. Т. 2. М.: Наука, 1978.
4.Зисман, Г. А. Курс общей физики / Г. А. Зисман, О. М. Тодес. Т. 2. М.: Наука, 1972.
5.Гершензон, Е. М. Курс общей физики, электри- чество и магнетизм / Е. М. Гершензон, Н. Н. Малов. М.: Просвещение, 1980.
9
ПР И Л О Ж Е Н И Е
1.МАГНИТНОЕ ПОЛЕ
ВXIX веке опытным путем были исследованы законы взаимо- действия постоянных магнитов и проводников, по которым пропус- кался электрический ток. Опыты показали, что подобно тому, как в пространстве, окружающем электрические заряды, возникает элек- трическое поле, так и в пространстве, окружающем токи и постоян-
ные магниты, возникает силовое поле, которое называется магнит-
ным.
Были установлены два экспериментальных факта:
1)магнитное поле действует на движущиеся заряды;
2)движущиеся заряды создают магнитное поле.
Этим магнитное поле существенно отличается от электроста- тического, которое действует как на движущиеся, так и на неподвиж-
ные заряды.
Магнитное поле не действует на покоящиеся заряды.
Опыт показывает, что характер воздействия магнитного поля на ток зависит от формы проводника, по которому течет ток; от рас- положения проводника и от направления тока.
Аналогично тому, как при исследовании электростатического поля использовался точечный пробный заряд, при исследовании маг-
нитного поля используется замкнутый плоский контур с током
(рамка с током), линейные размеры которого малы по сравнению с расстоянием до токов, образующих магнитное поле.
Ориентация контура в пространстве характеризуется направле-
нием нормали n к контуру.
В качестве положительного направления нормали принимается направление, связанное с током правилом правого винта (правилом
буравчика):
За положительное направление нормали принимается направление поступательного движения правого винта, головка которого вращается в направлении тока, текущего в рамке
(рис. П-1).
Магнитное поле оказывает на рамку с током ориентирующее действие, поворачивая ее определенным образом. Это свойство ис- пользуется для выбора направления магнитного поля.
10
За направление магнитного поля в данной точке принимается направление, вдоль которого располагается положительная нормаль к свободно подвешенной рамке с током, или направление, совпадаю- щее с направлением силы, действующей на северный полюс (N) маг- нитной стрелки, помещенной в данную точку поля.
Графически магнитное поле, так же как электростатическое, изображают с помощью линий магнитной индукции – линий, каса- тельные к которым в каждой точке совпадают с направлением векто-
ра магнитной индукции В (рис. П-1).
Линии магнитной индукции всегда замкнуты и охватывают проводники с током, в то время как линии электростатического поля
– разомкнуты (они начинаются на положительных и заканчиваются на отрицательных зарядах).
Рис. П-1
Картину силовых линий можно наблюдать, используя в качест- ве магнитных стрелок железные опилки, намагничивающиеся в ис- следуемом поле. Силовые линии прямого тока – это концентрические окружности, расположенные в плоскостях, перпендикулярных на- правлению тока (рис. П-2).
Направление линий индукции магнитного поля определяется по правилу буравчика: Если ввинчивать буравчик по направлению тока в проводнике, то направление движения рукоятки буравчика укажет направление линий магнитной индукции (рис. П-2).
Силовые линии магнитного поля кругового витка с током соз- дают картину, подобную полю короткого магнита (рис. П-3).
11
Магнитное поле называется однородным, если в каждой его точке магнитная индукция одинакова по величине и направлению. В этом случае магнитные силовые линии представляют собой равноот- стоящие параллельные прямые линии (рис. П-4).
Рис. П-2
Рис. П-3
12
Аналогично тому, как силовая характеристика электростатиче- ского поля – напряженность – определялась как сила, действующая на единичный пробный заряд, силовая характеристика
магнитного поля – магнитная индукция В – определяется макси-
мальным вращающим моментом, действующим на рамку с магнит- ным моментом равным единице, т. е. когда нормаль к рамке перпен- дикулярна направлению поля:
М = pm × B × sin a; pm |
= JS, то B = |
M max |
. |
|
|||
|
|
pm |
Рис. П-4
Если в данную точку магнитного поля помещать рамки с раз- личными магнитными моментами, то на них действуют различные
вращающие моменты, но отношение M max для всех контуров одно и pm
то же.
2.МАКРОТОКИ И МИКРОТОКИ
Вдальнейшем мы будем различать макроскопические токи, т. е. электрические токи, протекающие по проводникам в электриче- ских цепях и микроскопические токи, обусловленные движением электронов в атомах и молекулах.
Намагниченность постоянных магнитов является следствием существования в них микротоков.
Внешнее магнитное поле оказывает ориентирующее, упорядо-
чивающее действие на эти микротоки. r
Вектор магнитной индукции В характеризует результирующее
магнитное поле, создаваемое всеми макро- и микротоками. r
Поэтому, при одном и том же макротоке, вектор В в различ-
ных средах будет иметь разные значения. Магнитное поле макротока r
описывается вектором напряженности магнитного поля Н.
13
r |
r |
m0 – маг- |
Для однородной изотропной среды В = m0mН, где |
нитная постоянная; μ – магнитная проницаемость среды (величина
безразмерная. Она показывает во сколько раз магнитное поле макро-
токов усиливается за счет поля микротоков среды). r
Вектор магнитной индукции В – аналог вектора напряженно- r
сти электростатического поля Е. Эти величины определяют силовые
действия этих полей и зависят от свойств среды.
r
Аналогом вектора электрического смещения D является век- r
тор напряженности H магнитного поля.
Для магнитного поля, как и для электрического, справедлив принцип суперпозиции: магнитная индукция результирующего поля, создаваемого несколькими токами или движущимися зарядами, равна векторной сумме магнитных индукций полей, создаваемых каждым током или движущимся зарядом.
Пример 1. Два прямолинейных бесконечно длинных провод- ника с токами расположены перпендикулярно друг к другу и нахо-
дятся во взаимно перпендикулярных плоскостях (рис. П-5). Найти r
направление вектора В в точке А.
Рис. П-5
14
Пример 2. Два прямолинейных бесконечно длинных провод- ника с токами параллельны друг другу и лежат в одной плоскости
(рис. П-6). Найти направление В в точке А.
Рис. П-6
Пример 3. Два круговых витка с токами расположены в двух взаимно перпендикулярных плоскостях так, что центры этих витков
совпадают (рис. П-7). Найти направление В в точке О.
Рис. П-7
15
3.ЗАКОН БИО– САВАРА– ЛАПЛАСА
В1820 г. французские ученые Ж. Био и Ф. Савар исследовали магнитные поля, создаваемые при протекании тока по проводникам различной формы. На основании многочисленных опытов они при- шли к следующим выводам:
а) во всех случаях индукция магнитного поля электрического тока пропорциональна силе тока;
б) магнитная индукция зависит от формы и размеров провод- ника с током;
в) магнитная индукция в произвольной точке поля зависит от расположения этой точки по отношению к проводнику с током.
Био и Савар пытались получить общий закон, который позво- лял бы вычислять магнитную индукцию в каждой точке поля, созда- ваемого током, текущим по проводнику любой формы. Однако сде- лать это им не удалось.
Теоретически обобщил результаты опытов Био и Савара вы- дающийся французский математик, астроном и физик П. Лаплас. Он учел векторный характер магнитной индукции и высказал гипотезу о
том, что индукция В в каждой точке магнитного поля любого про-
водника с током представляет собой векторную сумму индукций dВ элементарных магнитных полей, создаваемых элементом тока. Под элементом тока понимают произведение тока J на элемент длины dl
проводника. Закон Био– Савара– Лапласа в дифференциальной форме
выражается следующей формулой:
dB = m0mJdl sin a |
, |
(3.1) |
4pr 2 |
|
|
где µ – магнитная проницаемость, характеризующая свойства среды
(для воздуха и вакуума µ = 1); m0 = 4p×10−7 |
Гн/м – магнитная посто- |
янная; a – угол между векторами Jdl и r ; |
r – радиус-вектор, иду- |
щий от элемента тока к точке, в которой определяется магнитная ин- дукция (рис. П-8).
В векторной форме закон Био– Савара– Лапласа записывается следующим образом:
|
|
r |
] |
|
|
dB = m0m |
× |
[Jdl × r |
. |
(3.2) |
|
r 3 |
|
||||
4p |
|
|
|
|
16
Из закона Био– Савара– Лапласа следует, что вектор магнитной
индукции dB в какой-либо точке А магнитного поля перпендикуля-
рен плоскости, в которой лежат векторы Jdl и r , и его направление
таково, что из конца вектора dB поворот вектора Jdl до совмещения с вектором r по кратчайшему пути виден происходящим против ча- совой стрелки (рис. П-8).
Рис. П-8
Такое же направление вектора dB дает правило буравчика: ес- ли ввинчивать буравчик по направлению тока в dl проводника, то на- правление движения рукоятки буравчика укажет направление линий магнитной индукции.
Результирующий вектор магнитной индукции B в произвольно выбранной точке А поля, созданного проводником с током конечной
длины, равен векторной сумме элементарных индукций dB в данной точке:
r |
|
B = ∫dB. |
(3.3) |
l
Рассмотрим примеры расчета магнитных полей тока, текущего по проводникам правильной геометрической формы.
17
Пример 1. Магнитное поле прямолинейного проводника с током.
Прямолинейный проводник MN лежит в плоскости чертежа
r
(рис. П-9). Векторы Jdl и r для всех участков прямолинейного про- водника лежат в плоскости чертежа. Поэтому в точке А все векторы
dB, характеризующие магнитные поля, создаваемые отдельными
участками нашего проводника, направлены перпендикулярно плос- |
||||||
кости чертежа (к нам). Это упрощает определение индукции |
r |
|||||
B ре- |
||||||
зультирующего магнитного поля, т. е. вектор |
r |
|
||||
B численно равен ал- |
||||||
гебраической сумме модулей векторов dB : |
|
|
|
|||
|
|
m0 Jdl sin a |
m0 J |
dl sin a |
|
|
B = ∫dB = ∫ |
|
= 4p ∫ |
|
. |
(3.4) |
|
4 r 2 |
r 2 |
|||||
l |
l |
p |
l |
|
|
|
dl |
r |
|
Рис. П-9
Чтобы произвести интегрирование, выразим dl и r через одну независимую переменную a. Из прямоугольного треугольника KCD
dl = CD sin a, а из треугольника CDA CD = r ·da, поэтому dl = r& × da . sin a
18
Обозначим через a длину перпендикуляра АЕ, опущенного из точки А
на проводник. Как видно по чертежу, r = a . sin a
Подставив r и dl в (3.4), получим
B = |
m |
0 |
J |
α2 sin a × da |
||
|
|
∫ |
|
, |
||
4p |
|
|||||
|
α1 |
a |
где a1 и a2 – значения угла a для крайних точек проводника MN. Проинтегрировав это выражение, находим
B = |
m0 J |
(cos a - cos a ). |
(3.5) |
||
4pa |
|||||
|
1 |
2 |
|
||
|
|
|
Если проводник MN бесконечно длинный, то a1 = 0º, a2 = 180º.
Тогда магнитная индукция в любой точке поля такого проводника с
током равна |
|
B = m0 J . |
(3.6) |
2pa |
|
Применим полученную формулу (3.5) к расчету магнитного поля в центре О прямоугольного витка ACDEA с током (виток лежит в плоскости чертежа). Легко видеть, что B = 2B1 + 2B2 (рис. П-10).
Стороны прямоугольника AE и CD обозначим b, а стороны AC и DE через а, тогда
B = m0 J |
4 |
(cos a |
- cos a |
|
) + |
4 |
(cos a |
- cos a |
|
) . |
|
|
21 |
|
22 |
||||||||
4p |
|
|
11 |
|
|
a |
12 |
|
|
||
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
а
b
Рис. П-10
19
Пример 2. Поле в центре кругового тока.
Пользуясь законом Био– Савара– Лапласа, определим магнит-
ную индукцию в центре кругового проводника с током (рис. П-11). r
Модуль вектора В может быть определен интегрированием:
|
|
|
2πr |
m |
|
Jdl sin a |
|
|
|
|
B = ∫dB = ∫ |
|
0 |
4pr 2 |
. |
|
|
||||
l |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
Учитывая, что r = const, а угол a = p , имеем: |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
B = |
m |
|
Jdl sin a 2πr |
m |
|
J |
(3.7) |
|||
|
0 |
4pr 2 |
|
|
∫dl = |
|
0 |
. |
||
|
|
|
|
|
0 |
2r |
|
Рис. П-11
Пример 3. Поле на оси кругового тока.
Найдем индукцию магнитного поля в точке А, расположенной на оси кругового тока радиуса R, на расстоянии h от центра круга
(рис. П-12).
Поле dB1, созданное элементом тока Jdl по (3.1):
|
= |
m0 Jdl sin a |
(3.8) |
||
dB1 |
|
|
. |
||
4p(R2 |
|
||||
|
|
+ h2 ) |
|
Разложим вектор dB1 на две составляющие: dB, направленную вдоль оси OA и dB′ перпендикулярную к ней. При суммировании по- лей всех элементов тока по длине окружности составляющие dB′ в сумме дадут нуль, поэтому поле В будет складываться лишь из сум- мы составляющих dB,
20