Определение 2. Суммой двух комплексных чисел называется комплексное число

.

Т.е. отдельно складывются действительные и мнимые части.

Вычитание двух комплексных чисел определяется, как действие обратное сложению, т.е.

.

Произведение двух комплексных чисел определяется по формуле:

Деление комплексных чисел определяется, как действие обратное умножению, т.е.

.

«Хитрые» формулы умножения и деления легко объясняются. Чтобы получить формулу умножения, надо перемножить комплексные числа как двучлены, учитывая, что ,а затем отделить действительную часть от мнимой. Чтобы получить частное от деления ,надо освободиться от мнимой единицы в знаменателе, домножив числитель и знаменатель «на сопряженное»:

Итак, комплексные числа можно складывать, вычитать и делить. С буквой i при этом надо обращаться так, как если бы она была действительном числом, но помнить, что . Следовательно,. Т.о. степени выше четвертой вычисляются по формуле, где к целое положительное число.

Пример 1.1. Найти действительную и мнимую части комплексного числа .

Решение. Требуется представить число z в виде z = x + iy , где x и y являются вещественными числами. Проведем элементарные преобразования

.

Пример 1.2. К комплексному числу найти число противоположное, сопряженное и обратное. Данное числоz и все полученные числа записать в алгебраической и показательной форме. Изобразить их на комплексной плоскости.

Решение. Требуется представить число z в алгебраической форме, т.е. в виде z = x + iy , где x и y являются вещественными числами и показательной форме, т.е. . Проведем элементарные преобразования

.

В данном случае х = 1, у = –1. Следовательно, показательная форма числа имеет вид

.

Итак мы нашли число z в алгебраической и показательной формах.

Рис.2 Противоположное число к данному, т.е. которое при сложении с данным дает 0, очевидно, имеет вид .

Сопряженное число, симметричное относительно вещественной оси

Обратное число к z, т.е.z^–1 которое при умножении на z дает 1, в алгебраической форме находится домножением на сопряженное

;

в показательной форме записывается просто .

Пусть комплексные числа заданы в тригонометрической или показательной форме

Тогда при умножении модули их перемножаются, аргументы складываются

При делении модуль частного равен частному модулей, аргумент частного равен разности аргументов делимого и делителя

Из правил умножения комплексных чисел получается формула степени комплексного числа с натуральным показателем n:

.

Положив в данной формуле r = 1, получим формулу Муавра:

Определение 3. Корнем n-й степени из комплексного числа называется такое комплексное число, n-я степень которого равна подкоренному выражению.

Отсюда получаем формулу:

,

– берется арифметический,kпридаются значения 0, 1, …,n-1. При других целых значенияхkнайденные значения корня повторяются . Геометрически этиnзначений корня изобразятся вершинами правильногоn-угольника, вписанного в окружность, в центром в нулевой точке, радиусом, вершины которого имеют полярные координаты

Пример 1.3. Найти все значения корней 8-степени из комплексного числа и построить их на комплексной плоскости.

Решение. Представим комплексное число в показательной форме

,

следовательно,

Всего будет восемь корней, общая формула для корня восьмой степени имеет вид

Все корни расположены на окружности радиуса с центром в нуле, и делят эту окружность на восемь равных частей.

Рис.3

Т.е. все корни имеют одинаковый модуль равный и получаются из одного из корней последовательным поворотом на кратныйугол.

2. Области и кривые на комплексной плоскости.

По аналогии с вещественной плоскостью (вещественным пространством ) строится топология комплексной плоскости C. Задать топологию – значит определить какие множества будут называться открытыми и какие замкнытуми.

Самое простое открытое множество – это открытый круг. С помощью модуля комплексного числа его задать особенно просто – это все комплексные числа из круга с центром в точке , радиуса p, Причем, т.к. неравенство в задании круга строгое, то точки лежащие на окружности в этот круг не включаются. Т.е. это круг без граничной окружности, поэтому его целесообразно назвать открытым. Теперь можно дать определение открытого и замкнутого множеств.

Определение 4. Множество М из С называется открытым, если любая точка из М принадлежит М вместе с открытым кругом не нулевого радиуса. Множество М из С называется замкнутым, если оно является дополнением некоторого открытого множества.

Обычно, определение замкнутых множеств дают, как множества содержащие все свои предельные точки или множества, содержащие свою границу. Ясно, что открытые и замкнутые множества являются дополнениями друг друга. Все эти определения замкнутых множеств для нашего случая эквивалентны. К сожалению, существуют множества, которые не открыты и не замкнуты. Таким будет открытый круг, если к нему добавить любую точку на плоскости не попадающую в данный круг.

Для того, чтобы дать определение области, нам потребуется понятие непрерывной кривой.

Определение 5. Множество называется непрерывным образом отрезкаили непрерывной кривой, если вещественные функциинепрерывны на отрезке. Если функциинепрерывно дифференцируемы на отрезке, то называется главдкой кривой. При этом называется параметрическим представлением кривой.

Для каждой непрерывной кривой  фиксируется одно из двух взаимно противоположных направлений движения подвижной точки , соответствующее возрастанию или убыванию параметра. В первом случае есть начало, – конец кривой, а во втором случае эти точки меняются местами. Кривая, начальная и конечная точки которой совпадают, называется замкнутой. Если одна и та же точка кривой соответствует двум или более различным значениям параметра, из которых по крайней мере одно отлично от а и b, то такая точка называется кратной. Непрервыная кривая, не имеющая кратных точек, называется жордановой или простой. Иными словами, если отображение, определяющее кривую взаимнооднозначно, то кривая жорданова или простая. Если начальная и конечная точки кривой совпадают, то жорданова кривая называется замкнутой. Если две любые точки множества М можно соеденить непрерывной кривой, то это множество называется линейно связным. Для открытых множеств понятия линейной связности и просто связности совпадают.