18-09-2014_16-26-39 / комплексые числа (Семенкина)

Федеральное агентство образования Российской Федерации

Сибирский государственный университет имени академика М.Ф. Решетнева

Типовой расчет

по теории функций комплексного переменного

Составитель:

профессор Семенкина О.Э.

кафедра высшей математики

Красноярск 2007

Условия задач для приведенных ниже вариантов:

1. Найти все значения корня.

2. Представить в алгебраической форме.

3. Вычертить область, заданную неравенствами.

4. Проверить, что u(v) является действительной (мнимой) частью аналитической функции. Восстановить аналитическую в окрестности точки z₀ функцию f(z) по известной действительной части u(x,y) или мнимой v(x,y) и значению f(z₀).

5. Вычислить интеграл от функции комплексного переменного по данной кривой.

6. Найти все лорановские разложения данной функции по степеням z для четных вариантов и z-z₀ для не четных вариантов.

7. Данную функцию разложить в ряд Лорана в окрестности точки z₀.

8. Для данной функции найти изолированные особые точки и определить их тип.

9. Найти вычеты функции f(z).

10. Вычислить интеграл.

11. Вычислить интеграл.

Вариант 1 Вариант 2 Вариант 3

1. . 1. . 1. .

2. Arctg (2-i). 2. Arch (3i). 2. Arcsin 4.

3. |z+i|≤2, |z-i|>2. 3. |z+1|≥1, |z+i|<1. 3. |z-1|<1, arg z≤π/4, arg (z-1)>π/4.

4. u=x³-3xy²-x, f(0)=0. 4. u=-2xy-2y, f(0)=i. 4. u=x/(x²+y²) x, f(1)=2.

5. ; 5. ; 5. ;

AB – отрезок прямой, ABC – ломаная, L – граница области:

z_A=0, z_B=1+i. z_A=i, z_B=1, z_C=0. {1<|z|<2, Re z>0}.

6. . 6. . 6. .

7. . 7. . 7. .

8. . 8. . 8. .

9. f(z) = . 9. f(z) = . 9. f(z) = .

10. . 10. . 10.

11. 11. 11.

Вариант 4 Вариант 5 Вариант 6

1. . 1. . 1. .

2. (-i)⁵ⁱ . 2. Arctg(). 2. Arcsin 17/8.

3. |Re z|≤1, |Im z|<2. 3.<2, Re z≤1, Im z<-1. 3. |z-1|>1, -1≤Im z<0, 0≤Re z<3.

4. v=e^-ysin x, f(0)=1. 4. v=1-, f(1)=1+i. 4. v=2xy+x, f(0)=0.

5. ; 5.; 5. ;

AB:{y=x²; z_A=0, z_B=1+i}. ABC – ломаная, L: {|z|=1, Im z≤0}.

z_A=0, z_B=-1+i, z_c=1+i.

6. . 6. . 6.

7. . 7. . 7. .

8. . 8. . 8..

9. f(z) = 9. f(z) = . 9. f(z) = .

относительно полюса z = π.

10. . 10. . 10. .

11. 11. 11.

Вариант 7 Вариант 8 Вариант 9

1. . 1. . 1. .

2. Arctg (-i/3). 2. Arcctg (). 2. sh (2-πi).

3. |z-1|≤1, |z+1|>2. 3. |z+i|<2, 0<Re z≤1. 3. |z-1-i|≥1, 0≤Re z<2, 0<Im z≤2.

4. v=2xy-2y, f(0)=1. 4. v=x²-y²-x, f(0)=0. 4. u=, f(0)=1.

5. ; 5. ; 5. ;

AB – отрезок прямой, AB: {|z|=1, Im z≥0}, L: {|z|=1, Re z≥0}.

z_A=1, z_B=1-i. BC – отрезок, z_B=1, z_C=2.

6.. 6. . 6.

7. . 7. . 7. .

8. . 8. . 8. .

9. f(z) = . 9. f(z) =. 9. f(z) =

относительно полюса z = 2π.

10. . 10. . 10. .

11. 11. 11.

Вариант 10 Вариант 11 Вариант 12

1. . 1. . 1. .

2. Arcctg (). 2. cos (π/6+2i). 2. Arctg ().

3. 2, Re z<1, Im z>-1. 3. |z+i|>1, -π/4≤arg z<0. 3. |z-1+i|≥1, Re z <1, Im z ≤-1.

4. u=e^-ycos x+x, f(0)=1. 4. v=sin y, f(0)=2. 4. v=2xy+2x, f(0)=0.

5. ; 5. ; 5. ;

AB – отрезок прямой, ABC – ломаная, L: {|z|=4, Re z≥0}.

z_A=0, z_B=2+2i. z_A=0, z_B=-1, z_C=i.

6. . 6. . 6..

7. . 7. . 7. .

8. . 8. tg²z. 8. .

9. f(z) =. 9. f(z) =. 9. f(z) =.

10. . 10. . 10. .

11. 11. 11.

Вариант 13 Вариант 14 Вариант 15

1. . 1. . 1. .

2. Arcth (). 2. Arctg (). 2. Arcsin ().

3. |z-i|≤2, 0<Im z<2. 3. |z-1-i|<1, |arg z|≤π/4. 3.|z-2-i|≥1, 1≤Re z<3, 0<Im z≤3.

4. v=2xy+y, f(0)=0. 4. u=y-2xy, f(0)=0. 4. u=e^x(x∙cos y-y∙sin y), f(0)=0.

5. ; 5. ; 5. ;

AB – отрезок прямой, ABC – ломаная, L: {|z|=R, Im z≥0}.

z_A=1, z_B=i. z_A=0, z_B=1, z_C=i.

6. . 6. . 6. .

7. . 7. . 7. .

8. . 8. . 8.

9. f(z) =. 9. f(z) =. 9. f(z) =.

10. . 10. .10. .

11. 11. 11.

Вариант 16 Вариант 17 Вариант 18

1. . 1. . 1. .

2. Arctg (). 2. Arcth (). 2. Arcsin 1.

3. |z-i|≤2, Re z>1. 3. |z|≤1, arg (z+i)>π/4. 3.|z-i|<1, arg z≥π/4, arg (z+1-i)≤π/4.

4. v=y-, f(1)=2. 4. v=3x²y-y³, f(0)=1. 4. u=x²-y²-2x+1, f(0)=1.

5. ; 5. ; 5. ;

AB: {y=x²; z_A=0, z_B=1+i}. ABC – ломаная, L: {|z|=R; Im z≥0}.

z_A=0, z_B=-1+i, z_C=i.

6. . 6. . 6..

7. . 7. . 7. .

8. e^1/z/sin(1/z). 8. . 8. th z.

9. f(z) =. 9. f(z) =. 9. f(z) =.

относительно полюса z = π/2.

10. . 10. . 10. .

11. 11. 11.

Вариант 19 Вариант 20 Вариант 21

1. . 1. . 1. .

2. Arccos (-3i) . 2. 1²ⁱ. 2. Arctg ().

3. |z+1|<1, |z-i|≤1. 3. |z|<2, Re z≥1, arg z<π/4. 3. |z+i|<1, -3π/4≤arg z≤-π/4.

4. v=x²-y²+2x+1, f(0)=i. 4. u=e^-ycos x, f(0)=1. 4. u=cos y, f(0)=2.

5. ; 5. ; 5. ;

AB – отрезок прямой, L: {|z|=1, Re z≥0}. AB: {|z|=1, Re z≥0, Im z ≥0}.

z_A=1+i, z_B=0.

6. . 6. . 6. .

7. . 7. . 7.

8. ctg πz. 8. . 8. .

9. f(z) = 9. f(z) = tg z. 9. f(z) =.

относительно полюса z=π/2.

10. . 10. . 10. .

11. 11. 11.

Вариант 22 Вариант 23 Вариант 24

1. . 1. . 1. .

2. Arcth (). 2. Arctg (-5i/3). 2. Arcth ().

3. |z+i|≥1, |z|<2. 3. |z-i|≤1, 0<arg z<π/4. 3. 1<<2, Re z> 0, 0≤Im z≤1.

4. v=e^-ysin x+y, f(0)=1. 4. v=-, f(0)=1. 4. u=x³-3xy²+1, f(0)=1.

5. ; 5. ; 5. ;

AB – отрезок прямой, ABC – ломаная, L: {|z|=1, Im z≥0}. z_A=0, z_B=1+2i. z_A=0, z_B=1+i, z_C=i.

6. . 6. . 6. .

7. . 7. . 7. .

8. . 8. . 8. .

9. f(z) =ctg z 9. f(z) =. 9. f(z) =.

относительно полюса z=π.

10. . 10. . 10. .

11. 11. 11.

Вариант 25 Вариант 26 Вариант 27

1. . 1. . 1. .

2. Arcsin (-1). 2. Arcsh (-4i). 2. Arcth ().

3. |z+1|≥1, |z+i|<1. 3. |z+i|<2, 0<Re z≤1. 3. |z-i|≤1, -π/2<arg (z-i)<π/4.

4. u=, f(1)=1+i. 4. v=e^xcos y. f(0)=1+i. 4. v=e^x(y∙cosy+x∙siny), f(0)=0.

5. ; 5. ; 5. ;

AB: {y=x³, z_A=0, z_B=1+i.}. ABC – ломаная, L: {|z|=1, Im z≥0}. z_A=0, z_B=1, z_C=2i.

6. . 6. . 6. .

7. . 7. . 7. .

8. . 8. . 8. .

9. f(z) =. 9. f(z) =. 9. f(z) =.

относительно полюса z=π/2.

10. . 10. . 10. .

11. 11. 11.