Рис.12.11.
Таким образом, для определения амплитуд гармоник тока на выходе НЭ необходимо знать U3 и S (из аппроксимированной характеристики), а также параметры входного напряжения U0 и U .
Определив из (12.7) угол отсечки θ , а из (12.9) амплитуду импульсов тока Imax , легко найти амплитуду любой из гармоник тока
Imk = Imax αk. |
(12.13) |
Необходимо лишь в справочнике отыскать значение
αk =αk (θ) .
Аппроксимация степенным полиномом
Это наиболее универсальный метод аппроксимации характеристик НЭ. Задача аппроксимации сводиться к тому, чтобы характеристику НЭ представить в виде шаблона
y(x)=α0 +α1 (x − x0 ) +α2 (x − x0 )2 +α3 (x − x0 )3 +..., |
(12.14) |
Где x - независимая переменная (u илиi ), x0 -рабочая тоска характеристики,
αi -коэффициент аппроксимации.
Рабочая точка выбирается в пределах рабочего участке характеристики. Количество используемых членов и соответственно степень полинома зависит от формы характеристики и условий расчета. Чем сложнее конфигурация характеристики НЭ, тем выше степень полинома, больше членов он содержит и соответственно сложнее расчет нелинейной цепи.
Для определения коэффициентов аппроксимации используют в основном два метода:
I.Выбранных точек.
Суть его заключается в следующем. На характеристике НЭ выбирают точки
с координатами xi и yi - (рис. 12.12). Количество их определяется степенью полинома и равно n +1, где n - степень аппроксимирующего полинома.
Рис.12.12
В каждой выбранной точке определяют абсциссу xi и ординату yi .в вида
численных значений и подставляют в выражение (12.14). Всего получают n +1 уравнений, в которых неизвестными будут являться коэффициенты
α0 ,α1,α2 ,...,αn
y |
=α |
0 |
+α |
1 |
(x |
− x |
0 |
) +α |
2 |
(x |
− x |
0 |
)2 |
+... +α |
n |
(x − x |
0 |
)n , |
} |
|
||
1 |
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|||||||||
y2 =α0 |
+α1 (x2 |
− x0 ) +α2 (x2 − x0 ) |
2 +... +αn (x2 |
− x0 )n , |
(12.15) |
|||||||||||||||||
......................................................................................... |
||||||||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||||||
yn =α0 |
+α1 (xn − x0 ) +α2 (xn − x0 )2 +... +αn (xn − x0 )n . |
|
||||||||||||||||||||
В выбранных точках аппроксимирующая функция наиболее точно совпадает с заданной характеристикой. Поэтому для аппроксимации следует выбирать наиболее характерные точки: перегиба, рабочую и наиболее быстрого
измененияфункции y(x) ит.д.Значение y(x) врабочейточкеМ(см.рис.12.12)
равно коэффициенту α0 .
Обычно бывает достаточно (для большинства расчётных задач) для аппроксимации характеристики полинома I-ой, II-ой или III-ей степени. Лишь в каких-то отдельных случаях требуется использовать полином более высокой степени.
2.Метод Тейлора.
В этом методе характеристику НЭ y(x) раскладывают в ряд Тейлора в окрестности рабочей точки М ( x0 , y0 )
y(x) = y(x |
) + y'(x |
)(x |
− x |
) + |
1 |
|
y"(x |
)(x − x )2 |
|
+...+ |
|||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
0 |
0 |
|
|
0 |
|
2! |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
+ |
yn (x )(x − x )n |
=α |
0 |
+α |
(x − x |
) +... |
+α |
n |
(x |
− x |
)n. |
||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||||||||
|
n! |
0 |
0 |
|
|
1 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
(12.16) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Аппроксимирующие коэффициенты данного полинома равны |
|||||||||||||||||||||||||
коэффициентам ряда Тейлора |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
α |
|
= |
|
|
yα (x |
|
). |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n! |
|
(12.17) |
|||||||||||
α0 = y(x); α1 = y'(x0 );…; |
|
n |
|
|
|
|
0 |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Для их вычисления необходимо знать величину y и n ее производных в рабочей точке.
Для нелинейного сопротивления, например, требуется знать ток в рабочей
точке ВАХ, значение крутизны S0 в рабочей точке и n −1 ее производных
(рис.12.13)
Если ВАХ аппроксимируется полиномом первой степени (см.рис.12.13), то
необходимознать i0 =α0 и S0 =α1 |
длярабочейточкеМ.Аппроксимирующий |
полином в этом случае будет |
|
i(u) = i0 +S0 (u −u0 ) , |
(12.18) |
где S0 = tgα . |
|
Рис.12.13.
Если необходимо использовать аппроксимирующий полином второй степени, то необходимо графически или расчёты путём определить производную
крутизны S в рабочеё точке, как
α2 = dS(u) |u=u = d 2i(u) |u=u du 0 du2 0
Получи аппроксимирующий полином
i(u) =i0 +S0 (u −u0 ) +α2 (u −u0 )2 .
Метод Тейлора лучше подходит для случая слабого входного воздействия.