5 курс / Психиатрия детская (доп.) / Нейропсихология / Govard_Gardner_Struktura_Razuma

единицами, но логика в своем "высшем проявлении" естественным путем перерастает в математику. Несомненно, числа составляют лишь небольшую часть математики в ее самом широком понимании: математики больше интересуются общими понятиями, чем отдельными вычислениями, стараясь сформулировать правила, которые можно было бы применить к самым разнообразным задачам. Но, как

лежат простые логические свойства — что-то напоминающее интуицию, которая свидетельствует о развитии у ребенка операционального мышления.

Как замечал сам Рассел, у логики и математики разная история, но в последнее время они нашли много точек соприкосновения: "Вследствие этого сейчас совершенно невозможно провести между ними черту, более того, эти две сферы уже стали одной. Они отличаются так же, как мальчик отличается от мужчины: логика — это юность математики, а математика — зрелость логики".

Какими бы ни были взгляды специалистов в

говорить о ряде взаимосвязанных способностей.

48 Рассел, Бертран (1872-1970) — английский философ, логик, математик, общественный деятель. Основоположник английского неореализма и неопозитивизма. Развил дедуктивно-аксиоматическое построение логики в целях логического обоснования математики. Автор (совместно с А. Уайтхедом) основополагающего труда по математической логике — "Основания математики" (1910-1913, в 3 т.). Нобелевская премия по литературе (1950). — Примеч. ред.

эмпирического наблюдения. Уайтхед сказал кратко: "Когда вы имеете дело с чистой математикой, вы вступаете в сферу полной и абсолютной абстракции"49. И действительно, в конечном итоге математики работают в мире выдуманных объектов и понятий, у которых нет прямых соответствий в реальной жизни, а первоочередной интерес логика связан с отношениями между утверждениями, а не с тем, как эти утверждения связаны с миром эмпирических фактов. Именно ученый- естествоиспытатель в первую очередь непосредственно связан с практикой.

Он должен выдвигать утверждения, модели и теории, которые, помимо того, что являются логически обоснованными и поддающимися математической обработке, должны еще и быть неразрывно связаны с фактами, установленными (и которые еще предстоит открыть) о жизни в этом мире. Однако даже эти характеристики должны быть временными. Научная теория часто выживает, даже несмотря на ее очевидное противоречие определенным эмпирическим фактам, а математическая истина может изменяться в связи с новыми открытиями и новыми требованиями, которые возникают перед характеристиками математических систем.

РАБОТА МАТЕМАТИКА

Если результат работы людей, одаренных в отношении лингвистического или музыкального интеллекта, доступен широкой общественности, то в математике наблюдается прямо противоположная ситуация. За исключением нескольких энтузиастов, большинство из нас может лишь издалека восхищаться идеями и трудом математиков. Эндрю Глисон, ведущий математик современности,

49 Цит. по: Уайтхед А. Н. Наука и современный мир // Уайтхед А. Н. Избранные работы по философии.: Пер. с англ.

— М.: Прогресс, 1990. — 720 с. — С. 77. — Примеч. ред.

использует образные обороты речи, чтобы описать такое удручающее положение дел.

Невероятно трудно объяснить неспециалисту истинное положение дел в математике. Топология, наука об организации пространства, похожа на величественные храмы некоторых религий. Иными словами, непосвященные в ее тайны могут любоваться этой красотой лишь снаружи.

Майкл Полани, известный ученый и философ, признавался, что ему самому недоставало необходимых интеллектуальных навыков, чтобы овладеть многими аспектами современной математики, которые другим специалистам, посвященным в тонкости этой науки, показались бы относительно банальными (как любят говорить сами математики). Понять, что требуется для математического мышления, можно, рассмотрев трудности расшифровки одного высказывания.

Невозможно доказать утверждение, которое было получено путем замены переменной — т.е. названия формы рассматриваемого утверждения — в форме этого высказывания: "Невозможно доказать утверждение, полученное путем замены в нем названия формы высказывания, которое находится под рассмотрением".

Как говорит Полани, для того чтобы понять это высказывание, необходимо перевести его в последовательность символов, а затем произвести над ними определенные действия. Ясно, что для понимания последовательности подобных символов требуется нечто большее, чем простое владение правилами лингвистического синтаксиса и семантики (хотя нужно особо отметить, что такие

математиков начала XX века. Пуанкаре затронул любопытную проблему: почему вообще возникают

которые, как предполагается, понятны любому нормальному человеку? Чтобы найти ответ, он просит нас представить длинную цепочку

следующего, проходит некоторое время, то существует вероятность, что несколько звеньев цепи будут утрачены — мы либо забудем условие, либо неосознанно в чем-то его изменим.

Если бы такая способность помнить и применять условие была неотъемлемой составляющей математического интеллекта, тогда (как считает Пуанкаре) математику потребовалась бы очень хорошая память или необычная способность концентрировать внимание. Но многие талантливые математики не отличаются ни мнемоническими задатками, ни хорошим вниманием, а большое

50 Пуанкаре, Жюль Анри (1854-1912) — французский математик, физик и философ, иностранный член Петербургской академии наук (1895). Труды по дифференциальным уравнениям, теории аналитических функций, топологии, небесной механике, математической физике. В труде "О динамике электрона" (1905, опубликован в 1906) независимо от А. Эйнштейна развил математические следствия "постулата относительности". В философии основатель конвенционализма.

— Примеч. ред.

при построении сложных умозаключений, по мнению Пуанкаре, заключается в том, что она управляется рассуждениями.

Математическое построение - это не только сопоставление силлогизмов. В данном случае эти силлогизмы располагаются в определенной последо- вательности, и порядок их расположения намного важнее, чем сами элементы. Если по отношению к этому построению у меня возникают особые чувства так сказать, интуиция, которая позволяет одним взглядом охватить всю це почку рассуждений, то мне больше не нужно бояться, как бы не забыть какой- либо элемент, ведь у каждого из них есть свое, установленное место в системе для запоминания которого мне не приходится прилагать никаких усилий.

А. Пуанкаре выделяет два вида способностей. Один из них — запоминание последовательных этапов в цепочке рассуждений, которого может быть достаточно и для удержания в памяти некоторых доказательств. Вторая способность — на его взгляд, намного более значимая — это понимание природы связей между умозаключениями. Если такое понимание присутствует, то подробности этапов построения доказательств уже не играют большой роли, потому что при необходимости их можно восстановить или даже создать заново. Применение такой способности на практике можно наблюдать, просто попытавшись воссоздать размышления самого Пуанкаре, как это было изложено выше. Если осознается суть доказательства, то его восстановление оказывается довольно простой задачей. Но когда человек не понял ход умозаключений, ему приходится полагаться на свою вербальную память, которая если и спасет его в данных обстоятельствах, вряд ли окажется очень устойчивой в будущем.

Хотя умственные способности, важные для любой деятельности, распределены среди населения неравномерно, можно назвать лишь несколько сфер, где совершенное владение этими навыками очевидно, а врожденный дар играет большую роль. Как говорит Пуанкаре, способность следовать цепочке умозаключений не так уж и уникальна, а вот умение делать значительные открытия в математике встречается намного реже.

Любой человек в состоянии создавать новые комбинации математических единиц... Но делать открытие означает создание не бесполезных комбинаций, а тех, которые имеют смысл и не очень распространены: открытие — это распознание, выбор... Среди выбранных комбинаций самыми плодотворными будут те, которые состоят из элементов, взятых из не связанных между собой плоскостей.

Очень мало найдется тех, кто способен стать значительным математиком. Не существует исключительно талантливых математиков. В каждом поколении есть всего несколько одаренных представителей, но математика просто не заметит отсутствия всех остальных. Люди, обладающие настоящим даром, проявляют себя буквально сразу же, и (по сравнению с другими дисциплинами) здесь очень мало энергии расходуется на ревность, горечь или обиду, ведь талант одаренных в математике людей не вызывает сомнений.

Каковы же отличительные черты таких людей? По словам Адлера, способности математика редко выходят за пределы этой области знания. Математики почти не бывают талантливыми финансистами или юристами. Что отличает такого человека, так это любовь к абстракции, "к исследованию сложных проблем под давлением мощных внешних сил, ведь за результаты своего труда ученый в конечном итоге отвечает перед реальной жизнью". Математик должен быть

беззаветно предан своему делу и обладать развитым скептицизмом: он не должен принимать на веру ни один факт, если тот не был убедительно доказан в ходе рассуждений, которые основываются на предварительно принятых универсальных принципах. Математика предоставляет ученому большую свободу для рассуждений — можно создать любую систему по своему желанию, но в конце концов любая математическая теория должна соответствовать законам физической реальности либо явно, либо через связь с основными принципами науки, которые в свою очередь напрямую соотносятся с материальным миром. Математика поддерживает и толкает вперед вера в то, что он может добиться совершенно нового результата, который навсегда изменит представление окружающих о математическом порядке: "Абсолютно новая математическая доктрина — это триумф, в котором чувствуется намек на бессмертие". Высказывания Адлера сходны с мыслями, которыми делился признанный математик старшего поколения Г. X. Харди.

Не вызывает сомнений тот факт, что математический дар — это один из самых специфических талантов, а математики как класс не слишком почитаются за их общие способности или многосторонность... Если человека можно в определенном смысле назвать настоящим математиком, то существует вероятность сто к одному, что в математике он окажется намного лучше, чем в любом другом виде деятельности... Он совершил бы глупость, если бы не воспользовался любым подходящим случаем развивать свой талант, а предпочел все время показывать средние результаты в иных сферах.

Подобно художнику или поэту, математик создает узоры, но их отличительная особенность состоит в том, что эти узоры более долговечны, ведь они состоят из идей: "У математика нет

незаменимая составляющая математического дара — это способность мастерски управляться с длинными цепочками умозаключений. Если бы биолог задумал изучить процесс движения у амебы, а затем применить эти сведения ко всем более совершенным уровням животного царства, заканчивая теорией о принципах ходьбы у человека, мы сочли бы такого ученого эксцентричным. Но, как заметил Эндрю Глисон, математик постоянно занимается именно этим. В очень запутанном контексте он применяет теории, возникшие на основе очень простых, и считает, что полученные результаты будут истинными не только в общих чертах, но и в мельчайших деталях. Первоначально такой процесс развития умозаключений может быть интуитивным. Многие математики говорят, что чувствуют решение или направление мысли задолго до того, как закончили тщательную проработку каждого этапа. Станислав Улам, современный математик, признается: "Если ты хочешь сделать что-то оригинальное, то речь уже идет не о цепочке силлогизмов. Иногда в подсознании появляются ощущения, которые как бы суммируют или подталкивают дальнейшее развитие проводимых поисков, при этом, вероятно, многие участки мозга действуют симультанно (т.е. одновременно.

— Примеч. ред.)". Пуанкаре говорит о математиках, которые "руководствуются своей интуицией и при первом же намеке делают быстрые, иногда случайные выводы, подобно стремительному

убедительной и для остальных, ее необходимо тщательно проработать, устранить малейшие неточности в определениях или в цепочке умозаключений, и этот аполлонический51 аспект остается жизненно важным для работы математика. Более того, как ошибки упущения (например, пропущенный этап рассуждений), так и ошибки добавления (выдвижение ненужных предположений) могут свести к нулю всю ценность математического открытия.

Развитие отрасли науки — в данном случае математики — начинается, когда находки нового поколения добавляются к тем, что были сделаны предыдущим. В прошлом образованный человек мог проследить за ходом математической мысли вплоть до ее современного состояния. Однако теперь, по крайней мере последнее столетие, это уже невозможно. (Примечательно, что хотя культурные сферы, которые стимулируют развитие разных видов интеллекта, продолжают совершенствоваться, ни одна из них не движется вперед столь таинственно, как логико-математическая мысль.) Более того, напоминая развитие человека, о котором я уже говорил, математика с годами становится все более абстрактной.

Альфред Адлер прослеживает этот путь. Первая абстракция — это идея числа как такового, а также идея того, что с его помощью становится возможным отличать друг от друга различные величины. Этот шаг был сделан в каждой культуре.

51 Аполлон — бог солнечного света, сын Зевса и Лето, брат Артемиды. Дихотомия "аполлонический-дионисийский" была введена Ф. Шеллингом для выражения сущности бога Аполлона как олицетворения формы и порядка в отличие от бурных, разрушающих все формы творческих порывов бога Диониса. Противопоставление аполлонического и дионисийского начала использовали также Г. Гегель, Ф. Ницше и Р. Вагнер. — Примеч. ред.

Затем следует создание алгебры, в которой числа рассматриваются как система и можно вводить переменные вместо определенных чисел. Переменные, в свою очередь, — это просто отдельные случаи более обобщенной сферы — области математических функций, где одна переменная находится в систематическом соотношении с другой. Эти функции не ограничиваются реальными понятиями, такими как длина или ширина, а могут придавать особое значение другим функциям, функциям функций или более длинным цепочкам последовательностей.

Другими словами, как отмечает Адлер, абстрагируясь и сначала обобщая понятие числа, затем понятие переменной и, наконец, понятие функции, можно подняться на чрезвычайно абстрактный и общий уровень мышления. Естественно, с каждым шагом вверх по лестнице абстракции некоторые будут сталкиваться со все большими трудностями, слишком болезненными или недостаточно оправданными, поэтому "сойдут с дистанции". Следует также упомянуть, что в математике существует и заметная тенденция находить простые выражения и возвращаться к фундаментальному понятию числа. Поэтому в данной отрасли науки найдется место и для тех, кто не слишком способен следовать длинной цепочке умозаключений или чересчур абстрактным методам анализа.

Решиться стать математиком непросто. Неудивительно потому, что для стороннего наблюдателя может показаться, что математиками становятся благодаря врожденному дару работать с числами и страстью к абстракции. Мир математиков отличается от мира обычных людей, и чтобы выжить

внем, нужно быть настоящим отшельником. Умение

втечение многих часов направлять энергию на