16

Министерство образования российской федерации

^{МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ}

ДИЗАЙНА и ТЕХНОЛОГИИ

“ИЗУЧЕНИЕ ВЫНУЖДЕННЫХ КОЛЕБАНИЙ В КОЛЕБАТЕЛЬНОМ КОНТУРЕ”

^{Методические указания}

^{к лабораторной работе №95}

Москва-2002

Печатается по постановлению Редакционно-издательского Совета МГУДТ.

Работа обсуждена и рассмотрена на заседании кафедры физики и рекомендована к печати.

Заведующий кафедрой Шапкарин И.П.

Авторы:	доц. Разинова С.М.
	к.т.н. доц. Шапкарин И.П.

«Изучение вынужденных колебаний в колебательном контуре»

методические указания

г. Москва

типография МГУДТ, 2002

Методические указания содержат теоретическое введение и описание практической части лабораторной работы, связанной с изучением процессов, протекающих в колебательном контуре, если в него включен источник переменного напряжения.

 МГУДТ 2002.

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 95

Изучение вынужденных колебаний в колебательном контуре.

Цель работы: изучение амплитудно-частотных характеристик колебательного контура ; определение резонансной частоты, определение ширины резонансной характеристики и добротности контура.

Приборы и принадлежности: кассета ФПЭ-11, магазин емкостей МЕ, магазин сопротивлений МС, генератор низкочастотных сигналов PQ с усилителем РУ, электронный осциллограф РO.

Теоретическое введение

1. Вынужденные электромагнитные колебания

Электрическое сопротивление R любого реального колебательного контура отлично от нуля. Поэтому свободные электромагнитные колебания [1] в контуре постепенно затухают, т. к. часть энергии превращается на сопротивлении R во внутреннюю (выделяется тепло). Для получения незатухающих электромагнитных колебаний необходимо извне подводить энергию, компенсирующую потери. В этом случае в контуре возникают вынужденные электромагнитные колебания. Для этого необходимо включить в колебательный контур источник, обладающий ЭДС  изменяющейся по гармоническому закону (рис.1).

На основе второго закона Кирхгофа, для контура, приведенного на рис.1, можно написать:

,

где – напряжение на конденсаторе, – напряжение на сопротивлении R, – ЭДС самоиндукции, возникающая в катушке. Учитывая эти соотношения получим:

(1)

Дифференцируя (1) по времени, получим дифференциальное уравнение, которому должен удовлетворять ток в контуре :

или

(2)

Введем общепринятые обозначения , и вместо (2) имеем:

(3)

Уравнение (3) описывает вынужденные колебания тока в цепи, содержащей последовательно соединенные R,L и С. Решение этого уравнения при установившемся режиме колебаний имеет вид:

, (4)

где – амплитуда вынужденных колебаний тока, – частота изменения ЭДС питающей контур, j – угол сдвига фаз между изменениями этой ЭДС и тока в контуре. Наличие сдвига фаз j между и вызвано существованием в цепи нагрузки, по разному преобразующей подводимую энергию: резистивного сопротивления R и реактивных сопротивлений и.

Выражение (4) является решением уравнения (3) при определенных значениях иj .Для вычисления этих значений найдем

и подставим в (3).

Раскрывая синус и косинус суммы двух углов, получим вместо (3):

(5)

Для того, чтобы уравнение (5) было справедливым в любой момент времени t, коэффициенты при и должны быть равны 0, т.е.:

(6)

Для определения возведем оба уравнения системы (6) в квадрат и сложим:

Откуда найдем :

(7)

Учтя выражения для и 2b имеем:

(8)

Сдвиг фаз j между и найдем из первого уравнения системы (6):

(9)

Как видно из (8), амплитуда тока зависит от частоты вынужденных колебаний . При равенстве

, (10)

амплитуда тока достигает максимального значения . Это явление называется резонансом, которое наблюдается при совпадении собственной частоты и вынужденной частоты :

При этом реактивное сопротивление на емкости равно реактивному сопротивлению на индуктивности . Резонансная частота тока не зависит от активного сопротивления R.

Величина по (8) зависит от R: . При величина . Резонансные кривые показаны на рис.4 для разных активных сопротивлений контура R. При амплитуда тока также стремится к нулю (постоянный ток через конденсатор не идет, см. формулу (7)).

Согласно (9) сдвиг фазj между и зависит от : при и . При _, принимает положительные значения, т.е. ток опережает  по фазе. При , , т.е. ток в колебательном контуре отстает по фазе от приложенной . Зависимость j от приведена на рис.3. Кривые 1 и 2 соответствуют разным значениям сопротивления R контура.

При , т.е. при резонансе, сопротивления реактивных элементов контура X_L и X_C становятся равными, ток достигает максимального значения . Напряжение на индуктивности L и емкости C достигает максимальных величин и , равных по модулю, но противоположных по фазе. Векторная диаграмма для контура, содержащего последовательно соединенные R,L,C представлена на рис.2.

Итак, явление резонанса в последовательном контуре заключается в том что при определенной частоте внешней ЭДС равной - собственной частоте колебаний контура, амплитуда тока достигает максимального значения. При резонансе полное сопротивление контура равно его активному сопротивлению R и сдвиг фаз между и равен нулю. Контур действует как активное сопротивление.

В момент резонанса амплитудные значения напряжения на индуктивности и емкости равны по величине и достигают значения , которое может быть больше амплитудного значения внешней ЭДС . Поэтому явление резонанса в последовательном контуре называют резонансом напряжений.