Определение угловой скорости маятника

Согласно закону сохранения энергии, при повороте кинетическая энергия вращательного движения маятника J_м²/2 переходит в потенциальную энергию, равную работе A по закручиванию стальной проволоки. На основании закона Гука упругий момент проволоки пропорционален углу поворота  маятника:

M =  D (4)

где D – коэффициент пропорциональности, называемый модулем кручения.

Знак «минус» указывает на то, что упругий момент проволоки направлен в сторону, противоположную положительному отклонению маятника.

Элементарная работа против сил упругости по закручиванию проволоки на угол d равна:

dA = –Md = Dd (5)

Проинтегрировав это выражение в пределах от  = 0 до  = _max , получим:

A = D (_max)²/2 (6)

Тогда, приравнивая максимальную кинетическую энергию маятника (при достижении максимальной скорости ) и его максимальную потенциальную энергию (в момент максимального угла закручивания ), имеем:

J_м(_max)²/2 = D(_max)²/2 (7)

или после преобразований:

(J_м/D)^1/2 = _max / _max (8)

Второй закон Ньютона для вращательного движения баллистического маятника, можно написать в виде:

M = J_м ε (9)

где ε = d ²  / dt ² – угловое ускорение маятника.

Так как при попадании пули маятник начнет совершать колебания под действием упругого момента проволоки, то, учитывая (4), можно написать:

J_м  d ²  / dt ² + D = 0 (10)

Решив это уравнение, получим выражение для периода колебаний Т₁:

Т₁ = 2(J_1м/D)^1/2 (11)

Подставив в это выражение (8), получим:

Т₁ = 2_max / _max (12)

И отсюда:

_max = 2_max /Т₁ (13)

Итак, мы нашли угловую скорость маятника.

Определение момента инерции маятника

Если мы изменим момент инерции маятника, изменив расстояние между грузами, то для нового положения грузов период колебаний запишется в виде:

Т₂ = 2(J_2м/D)^1/2 (14)

Тогда, из (11) и (14) следует:

J_1м/J_2м = Т₁²/Т₂² (15)

А поскольку, согласно теореме Штейнера,

J_iм = J₀ + 2mR_i² (16)

где m – масса грузов, то, подставляя это соотношение в (11) и (14), получим для грузов на расстоянии R₁ и R₂ соответственно :

Т₁ = 2(J₀/D + 2mR₁²/D)^1/2 (17)

Т₂ = 2(J₀/D + 2mR₂²/D)^1/2 (18)

Решая систему этих двух уравнений относительно J₀, получаем выражение для момента инерции крестовины маятника:

J₀ = 2m (R₂²T₁² – R₁²T₂²) / (T₂² – T₁²) (19)

Подставив это выражение в уравнение (16) для i = 1 и 2, получим:

J_1м = 2mT₁² (R₂² – R₁²) / (T₂² – T₁²) (20)

J_2м = 2mT₂² (R₂² – R₁²) / (T₂² – T₁²) (21)

Теперь, подставив в уравнение (2) найденные значения угловой скорости и момента инерции получим окончательное выражение для вычисления скорости пули:

Порядок выполнения работы:

1. Нажать клавишу «сеть» секундомера и прогреть установку 5 мин.

2. Установить риску на одной из мишеней маятника против нулевого деления шкалы, для чего ослабить стопорный винт в нижнем кронштейне и развернуть подвес в требуемом направлении, затянуть стопорный винт.

3. Максимально раздвинуть цилиндры на стержне 1, измерить величину R₁, т.е. расстояние между осью маятника и серединой одного из цилиндров (рис. 1) и записать в таблицу.

4. Включить и поставить на нуль секундомер, нажав клавишу «сброс».

5. Отвести маятник на угол 15 – 20^O. Отпустив маятник, нажать кнопку «пуск» и убедиться, что прибор фиксирует число и время колебаний маятника.

6. Зарядить пусковое устройство, для чего одну из его подвижных ручек повернуть вверх и вложить пулю, затем возвратить эту ручку в исходное положение. Потянуть обе подвижные ручки на себя до щелчка.

7. Заложить пулю в стреляющее устройство. Убедившись, что маятник находиться в состоянии покоя, произвести «выстрел», для чего одну из подвижных ручек опустить вниз. Пуля застрянет в пластилиновой мишени и сообщит маятнику начальный момент импульса, в результате чего маятник отклонится от положения равновесия.

8. Изменить максимальный угол отклонения _max , и перевести его в радианы, учитывая, что 1^O = 0,0175 радиан.

9. Линейкой измерить расстояние l от оси до точки попадания пули. Значения _max и l занести в таблицу.

10. Произвести 5-10 выстрелов и определить средние значения угла отклонения маятника и расстояния от оси до точки попадания пули.

11. Для определения периода колебаний маятника отклонить (рукой) маятник на угол, определенный в п. 8, после чего отпустить маятник и одновременно нажать «пуск» секундомера.

12. С помощью встроенного в прибор секундомера ФМП-14 измерить время t₁ нескольких колебаний и вычислить период по формуле

T₁ = t₁/n₁,

где n₁ – число колебаний, определяемое с помощью индикатора. Останавливается секундомер клавишей «стоп». Показания секундомера занести в таблицу. Измерения провести не менее 5 раз и определить средние значения периода колебаний.

13. Уменьшить момент инерции маятника, максимально сблизив грузы и измерить величину R₂ – расстояние между осью маятника и серединой одного из цилиндров. Записать значение R₂ в таблицу.

14. Повторить операции 11 и 12 при новом положении грузов. Результаты измерений t₂, n₂ и T₂ занести в таблицу.

15. Определить по формуле (22) скорость пули.

16. Оценить погрешность измерений.

Таблица.

№ п/п

mп , кг

m, кг

max , рад

l, м

R1, м

t1, c

n1

T1 , c

R2 , м

t2 , c

n2

T2 , c

v , м/с

1

2

3

4

5

Средние значения

max

l

t1

n1

T1

t2

n2

T2

v

Масса пули m_п =2·10^-3 кг, масса цилиндрических грузов m = 0,200 кг. Число колебаний при определении периода должно быть около 10 (n₁ ≈ n₂ ≈ 10).

Контрольные вопросы:

1. Какие колебания называются гармоническими?

2. Что такое баллистический маятник?

3. Какие законы сохранения применяются для описания абсолютно упругого и абсолютно неупругого соударений?

4. Сформулируйте закон сохранения момента импульса.

5. Сформулируйте второй закон Ньютона для вращательного движения.

6. На основе закона сохранения момента импульса и закона сохранения механической энергии вывести формулу скорости пули для данной лабораторной работы.

УЧЕБНОЕ ИЗДАНИЕ

Макаров Игорь Евгеньевич, д.х.н. профессор

Юрик Тамара Константиновна, к.х.н. доцент

Крутильный баллистический маятник

Методические указания к лабораторной работе

Компьютерная верстка Юрик Т. К.

Технический редактор Киреев Д.А.

Ответственный за выпуск Морозов Р.В.

Бумага офсетная. Печать на ризографе.

Усл.печ.л. Тираж экз. Заказ

Информационно-издательский центр МГУДТ