
- •8. Решение линейных однородных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами
- •Пример 4.Найти частное решение уравнения , удовлетворяющее начальным условиями. Составляем характеристическое уравнение
- •9. Линейные неоднородные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
- •10. Методы нахождения частных решений неоднородных линейных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами
- •Пример 1. Найти частное решение уравнения.
- •Пример 2. Найти частное решение уравнения .
- •Пример 7. Пусть .
- •D Соответствующее однородное уравнение будет .
- •Решая характеристическое уравнение , находим корни
- •. Следовательно, общее решение однородного уравнения есть
- •11. Системы дифференциальных уравнений
- •Метод нахождения интегрируемых комбинаций
- •Метод исключения неизвестных
- •Понятие о системах линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами
- •Учебное издание Романов Юрий Иванович
- •115998, Москва, ул. Садовническя, 33
Пример 7. Пусть .
D Соответствующее однородное уравнение будет .
Решая характеристическое уравнение , находим корни
. Следовательно, общее решение однородного уравнения есть
.
Будем искать частное решение неоднородного
уравнения в форме
.
Дифференцируя, получим
,
Подставляя
,
и
в исходное уравнение, будем иметь
Приравнивая коэффициенты при
и
справа
и слева, получим систему
.
Решая эти уравнения совместно, находим
=1,
и, следовательно,
.
Отсюда общее решение неоднородного
уравнения будет иметь вид
.
Пример 8. Найти общее решение
уравнения.
D Имеем.
Так как
(
-
корни характеристического уравнения
), то частное решение данного уравнения
ищем в виде:
.
Далее имеем
,
.
Подставляя эти выражения производных
в данное уравнение и приравнивая
коэффициенты при
и
:
,
получаем
,
−4
=0,
т.е.
=0,
.
Таким образом, общее решение данного уравнения:
.
В заключение рассмотрим теорему, которую применяют при решении линейных неоднородных уравнений, в правой части которых линейная комбинация функций, указанных в случаях I-III.
Теорема. Если− решение уравнения
,
(9.1а)
а
-
решение уравнения
,
(9.1б)
то сумма
является решением уравнения
.
(9.1в)
Доказательство.Составим
суммуи
подставим ее в левую часть
уравнения (9.1в). Получим
+
+
=
,
так как по условию выражение в первой
скобке равно f1(x),
а выражение во второй скобке равно.
Следовательно
-
решение уравнения (9.1в).
Теорема доказана.
Пример 9.Решить уравнение.
DХарактеристическое
уравнениеимеет корни
.
Поэтому общее решение соответствующего однородного уравнения
.
Так как правая часть состоит из суммы
двух функций
и
,
то, в соответствии с доказанной теоремой,
частное решение данного уравнения ищем
в виде:
.
Имеем
,
Подставляя
и
в исходное уравнение, получаем
.
Отсюда
,
т.е.
,
,
.
Общее решение уравнения имеет вид:
.
Лекция 12.
11. Системы дифференциальных уравнений
Система дифференциальных уравнений вида
|
(11.1) |
где х1,х2, … хn– неизвестные функции независимой переменнойt, называетсянормальной системой (системой в нормальной форме) или системой, разрешённой относительно производных от неизвестных функцийxi=xi(t). Если правые части нормальной системы дифференциальных уравнений являются линейными функциями относительно х1,х2, …хn, то система дифференциальных уравнений называется линейной.
Нормальная система двух дифференциальных уравнений первого порядка записывается в виде:
.
(11.2)
Решением системы (11.2) называется всякий
набор из двух функций,
обращающих оба уравнения системы в
тождества.
Задача Коши для системы (11.2) состоит в
том, чтобы найти такое решение, которое
при
принимало бы заданные значения:
|
(11.3) |
Общее решение системы (11.2) содержит две
произвольные постоянные С1,С2, фиксируя которые находят
любое частное решение в области изменения
начальных условий.
Неявная запись решений:
|
(11.4) |
Соотношения (11.4) называют первыми интегралами системы.
Геометрически решение
определяет
некоторую линию (интегральную кривую
системы) на плоскости
.
Если считать, что аргументtиграет роль времени, то указанная кривая
будет служить траекторией точки,
движущейся на плоскости
.
В этом случае
определяет вектор скорости. С механической
точки зрения система (11.2) означает
задание поля скоростей в каждый момент
времениt, а решение
задачи Коши равносильно нахождению
траектории точки, движущейся под
воздействием этого поля и занимающей
в начальный момент времени
положение
(a,b).
Плоскость
,
на которой рассматривается движение,
называетсяфазовой.
Рассмотрим два метода решения систем дифференциальных уравнений в нормальной форме.