- •Ю.И.Романов
- •Свойства определителей
- •Применение теории определителей к решению и исследованию систем линейных уравнений
- •Однородная система трех линейных уравнений
- •Матрицы. Операции над ними
- •Виды матриц
- •Равенство матриц
- •Линейные операции над матрицами
- •Произведение матриц
- •Умножение на единичную матрицу
- •Понятие обратной матрицы
- •Нахождение матрицы, обратной данной
- •Применение теории матриц к решению и исследованию систем линейных уравнений
- •Понятие о ранге матрицы
Умножение на единичную матрицу
На основании правила умножения матриц получаем:
АЕ = |
а11 |
а12 . |
1 |
0 |
= |
а11 |
а12 |
а21 |
а22 |
0 |
1 |
а21 |
а22 | ||
|
|
|
|
|
|
|
|
EA= |
1 |
0 . |
а11 |
а12 |
= |
а11 |
а12 |
0 |
1 |
а21 |
а22 |
а21 |
а22 , | ||
|
|
|
|
|
|
|
|
т.е. АЕ = ЕА = А (11)
Произведение квадратной матрицы любого порядка на соответствующую единичную матрицу равняется первоначальной матрице. Таким образом, при умножении матриц единичная матрица играет роль единицы, поэтому и называется единичной.
Понятие обратной матрицы
Если А – квадратная матрица, то обратной по отношению к А называется матрица, которая, будучи умноженной на А (как справа, так и слева), даёт единичную матрицу. Обозначив обратную матрицу через А-1, запишем
А-1А = АА-1 = Е (12)
Если обратная матрица А-1 существует, то матрица А называется обратимой. Операция вычисления обратной матрицы называется обращением матрицы. Для того, чтобы квадратная матрица А имела обратную, необходимо и достаточно, чтобы матрица А была невырожденной.
Нахождение матрицы, обратной данной
Пусть дана невырожденная матрица
|
а11 |
а12 |
а13 |
|
А= |
а21 |
а22 |
а23 |
|
|
а31 |
а32 |
а33 |
|
|
а11 |
а12 |
а13 |
|
|
DА = |
а21 |
а22 |
а23 |
≠ 0 | |
|
а31 |
а32 |
а33 |
|
Обратной матрицей А-1 будет матрица
|
A11/DА |
A21/DА |
A31/DА |
|
|
|
A-1 = |
A12/DА |
A22/DА |
A32/DА |
, |
|
( 13 ) |
|
A13/DА |
A23/DА |
A33/DА |
|
|
|
где Аij – алгебраическое дополнение элемента аij определителя DA.
Убедиться в этом можно, умножая матрицу А на матрицу А-1. Например, элементы с11 и с23 определяются так:
···
c23=a21···=
== 0
В итоге
|
а11 |
а12 |
а13 |
A11/DА |
A21/DА |
A31/DА |
|
1 |
0 |
0 |
|
С=AA-1= |
а21 |
а22 |
а23 |
A12/DА |
A22/DА |
A32/DА |
= |
0 |
1 |
0 |
=E |
|
а31 |
а32 |
а33 |
A13/DА |
A23/DА |
A33/DА |
|
0 |
0 |
1 |
|
Матрица
|
A11 |
A21 |
A31 |
|
|
|
= |
A12 |
A22 |
A32 |
|
|
( 14 ) |
|
A13 |
A23 |
A33 |
|
|
|
называется матрицей, присоединённой к А. (Используется также обозначение ). Обратная матрица А-1 через присоединённую выражается так:
= |
1 |
( 15 ) | |
DA |
Обратную матрицу будем находить по следующей схеме:
1. Находим определитель матрицы А.
2. Находим алгебраические дополнения всех элементов аij матрицы и записываем новую матрицу.
3. Меняем местами строки и столбцы полученной матрицы (транспонируем матрицу).
4. Умножаем полученную матрицу на 1/DA.
Пример 6. (Лена Иванова, КШ-061).
Дана матрица
|
2 |
5 |
7 |
A = |
6 |
3 |
4 |
|
5 |
-2 |
-3 |
Найти обратную матрицу.
1. Вычисляем определитель матрицы А:
|
2 |
5 |
7 |
|
2 |
5 |
7 |
|
|
DA = |
6 |
3 |
4 |
= |
0 |
-12 |
-17 |
= |
(492 - 493) = -1 |
|
5 |
-2 |
-3 |
|
0 |
-29/2 |
-41/2 |
|
|
Так как DA ≠ 0, то матрица А является невырожденной, и, значит, можно найти матрицу А-1.
2. Находим алгебраические дополнения элементов этого определителя:
A11 = |
3 |
4 |
= -1, |
A21= - |
5 |
7 |
= 1, |
A31= |
5 |
7 |
= -1, |
-2 |
-3 |
-2 |
-3 |
3 |
4 |
A12= - |
6 |
4 |
= 38, |
A22= |
2 |
7 |
= -41, |
A32= - |
2 |
7 |
= 34, |
5 |
-3 |
5 |
-3 |
6 |
4 |
A13 = |
6 |
3 |
= -27, |
A23=- |
2 |
5 |
= 29, |
A33= |
2 |
5 |
= -24. |
5 |
-2 |
5 |
-2 |
6 |
3 |
Следовательно,
|
-1 |
1 |
-1 |
|
1 |
-1 |
1 |
A-1 = (-1) |
38 |
-41 |
34 |
= |
-38 |
41 |
-34 |
|
-27 |
29 |
-24 |
|
27 |
-29 |
24 |
Лекция 4.